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Integration von e^z^2: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:01 So 03.02.2013
Autor: john_bello

Hallo,
Ich habe folgende Aufgabe: [mm] \integral_{0}^{1}\integral_{0}^{x}\integral_{0}^{y}{xyz*e^z^2 dx} [/mm]
Und soll jetzt integrieren, doch wie integriere ich  [mm] e^z^2 [/mm] ??
Wenn ich es als 1/2z * [mm] e^z^2 [/mm] integrier dann muss ich im folgenden Schritt durch 0 teilen, also geht das wohl nicht...
Grüße

        
Bezug
Integration von e^z^2: Substitution
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:04 So 03.02.2013
Autor: Loddar

Hallo john_bello!


>  Ich habe folgende Aufgabe:  [mm]\integral_{0}^{1}\integral_{0}^{x}\integral_{0}^{y}{xyz*e^z^2 dx}[/mm]

Da fehlen aber noch die Differentiale $dy_$ und $dz_$ in dem Integral, oder?

Dem Integral [mm] $\integral{z*e^{z^2} \ dz}$ [/mm] kann man mit der Substitution $u \ := \ [mm] z^2$ [/mm] beikommen.


Gruß
Loddar


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Bezug
Integration von e^z^2: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:06 So 03.02.2013
Autor: john_bello

Ah, ja klar, dzdydx hatte ich vergessen, sorry dafür.
Okay... werd das gleich mal machen und mich dann nochmal melden, danke für die schnelle Antwort!

edit:
Also integriere ich einfach mit [mm] e^u [/mm] statt [mm] e^z^2 [/mm] und ersetze dann im letzten schritt wieder u durch [mm] z^2 [/mm]
Dann würde also dastehen: [mm] xyz*e^u [/mm] - [mm] e^u*xy [/mm] ?


Bezug
                
Bezug
Integration von e^z^2: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:12 So 03.02.2013
Autor: john_bello

Ah, ja klar, dzdydx hatte ich vergessen, sorry dafür.
Okay... werd das gleich mal machen und mich dann nochmal melden, danke für die schnelle Antwort!

edit:
Also integriere ich einfach mit $ [mm] e^u [/mm] $ statt $ [mm] e^z^2 [/mm] $ und ersetze dann im letzten schritt wieder u durch $ [mm] z^2 [/mm] $
Dann würde also dastehen: $ [mm] xyz\cdot{}e^u [/mm] $ - $ [mm] e^u\cdot{}xy [/mm] $ ?

Bezug
                        
Bezug
Integration von e^z^2: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:19 So 03.02.2013
Autor: M.Rex

Hallo

> Ah, ja klar, dzdydx hatte ich vergessen, sorry dafür.
>  Okay... werd das gleich mal machen und mich dann nochmal
> melden, danke für die schnelle Antwort!
>  
> edit:
>  Also integriere ich einfach mit [mm]e^u[/mm] statt [mm]e^z^2[/mm] und
> ersetze dann im letzten schritt wieder u durch [mm]z^2[/mm]
>  Dann würde also dastehen: [mm]xyz\cdot{}e^u[/mm] - [mm]e^u\cdot{}xy[/mm] ?  

Nein, schau dir unbedingt nochmal die Substitution an.

Hier hast du:

[mm] \int x\cdot e^{x^{2}}dx [/mm]

Nun substituiere u=x², dann gbekommst du als "Nebenprodukt"
[mm] \frac{du}{dx}=2x\Leftrightarrow dx=\frac{1}{2x}du [/mm]

Nun ersetze x² durch u und das dx ebenfalls durch den Nebenterm

Dann wird aus [mm] \int x\cdot e^{x^{2}}dx [/mm] das Integral
[mm] \int x\cdot e^{u}\cdot\frac{1}{2x}du [/mm]
Dankenswerterweise verschwindet das immer noch von der Integratonsvariable u abhängige x durch kürzen, du hast also das folgende Integral zu lösen. Du dürftest das x also nicht als konstanten Faktor vor das Integral ziehen.

[mm] \int\frac{1}{2}\cdot e^{u}du [/mm]

Und das ergibt:

[mm] \frac{1}{2}\cdot e^{u} [/mm]

Mit der Rücksubstitition ergibt sich also
[mm] \int x\cdot e^{x^{2}}dx=\frac{1}{2}\cdot e^{x^{2}} [/mm]

Marius


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Bezug
Integration von e^z^2: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:35 So 03.02.2013
Autor: john_bello

Okay... ich hab das gerade dann mal weitergeführt, hab diesen Schritt also quasi noch 2mal gemacht.
aus 1/2 * xy * [mm] e^z^2 [/mm] wurde dann 1/4 [mm] *x*e^y^2 [/mm] woraus dann wiederrum 1/8 * [mm] e^x^2 [/mm] wurde.
Stimmt das dann so? Rauskommen tut bei mir dann 1/8 * [mm] e^1 [/mm] - 1/8* [mm] e^0 [/mm]
Grüße


Bezug
                                        
Bezug
Integration von e^z^2: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:54 So 03.02.2013
Autor: M.Rex

Hallo

Du hast:

[mm] \integral_{0}^{1}\integral_{0}^{x}\integral_{0}^{y}{xyz\cdot{}e^{z^2} dzdydx [/mm]
[mm] =\integral_{0}^{1}\left(\integral_{0}^{x}\left(\integral_{0}^{y}{xyz\cdot{}e^{z^2} dz\right)dy\right)dx [/mm]
[mm] =\integral_{0}^{1}\left(\integral_{0}^{x}xy\cdot\left(\integral_{0}^{y}{z\cdot{}e^{z^2} dz\right)dy\right)dx [/mm]
[mm] =\integral_{0}^{1}\left(\integral_{0}^{x}xy\cdot\left(\frac{1}{2}\cdot{}e^{y^2}-\frac{1}{2}\cdot e^{0^{2}}\right)dy\right)dx [/mm]

[mm] =\integral_{0}^{1}\left(\integral_{0}^{x}xy\cdot\left(\frac{1}{2}\cdot{}e^{y^2}-\frac{1}{2}\right)dy\right)dx [/mm]

[mm] =\integral_{0}^{1}\left(\frac{1}{2}\left(x\cdot\integral_{0}^{x}y\cdot e^{y^2}dy-\integral_{0}^{x}1dy\right)\right)\right)dx [/mm]

[mm] =\integral_{0}^{1}\left(\frac{1}{2}\left(x\cdot\left(\frac{1}{2}\cdot e^{x^{2}}-\frac{1}{2}\cdot e^{0^{2}}\right)-\left(x-0\right)\right)\right)\right)dx [/mm]

[mm] =\integral_{0}^{1}\left(\frac{1}{2}\left(x\cdot\left(\frac{1}{2}\cdot e^{x^{2}}-\frac{1}{2}\right)-x\right)\right)\right)dx [/mm]

[mm] =\integral_{0}^{1}\left(\frac{1}{2}\left(x\cdot\left(\frac{1}{2}\cdot e^{x^{2}}-\frac{1}{2}\right)-x\right)\right)\right)dx [/mm]

[mm] =\integral_{0}^{1}\frac{1}{4}\cdot x\cdot e^{x^{2}}-\frac{1}{4}x-\frac{1}{2}xdx [/mm]

$ [mm] =\integral_{0}^{1}\frac{1}{4}\cdot x\cdot e^{x^{2}}-\frac{3}{4}xdx [/mm] $

Ich hoffe, ich habe mich jetzt nicht verrechnet, den letzen Schritt rechne bitte nochmal selber.

Marius

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