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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:20 Mo 03.11.2008 | | Autor: | Skyler |
| Aufgabe | | [mm] 2(x+y)^2 \le x-y \le x+y [/mm] |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
Guten Abend zusammen!
die oben angebene ungleichung ist der bereich über dir Menge T eines Zweidimensionalen Integrals [mm] \integral_{T}^{} sin(x+y)\, dx dy [/mm]
es müssen ja dazu die grenzen bestimmt werden,
nun muss doch die ungleichung gelöst werden um die grenzen zu bestimmen? dieses wurde in der uni mithilfe der jakobi matrix gelöst und dieses kann ich leider nich ganz nachvollziehren.
hier die vorgehensweise:
[mm] u_1 = x+y
u_2 = x-y [/mm]
[mm] X= \bruch{1}{2}(u_2+u_1) [/mm]
[mm] Y= \bruch{1}{2} (u_1-u_2) [/mm]
Koordinatentransformation:
[mm] ( \vec x = {x \choose y} = {(\bruch{1}{2} (u_2+u_1))\choose (\bruch{1}{2}(u_1-u_2))} = \Phi_{(\vec u)} [/mm]
[mm] \left| det J_ (\Phi_{(\vec u)) \right| [/mm] [mm] = \left| det \begin{pmatrix}
(\bruch{1}{2}) & (\bruch{1}{2}) \\
(\bruch{1}{2}) & (-\bruch{1}{2})
\end{pmatrix} \right| [/mm] [mm] = \left| -\bruch{1}{4} - \bruch{1}{4}\right| = \bruch{1}{2} [/mm]
Grenen:
[mm] 2(u_1)^2 \le u_2 \le u_1
2(u_1)^2 \le u_1 \gdw 2u_1 \le 1
\gdw u_1 \le \bruch{1}{2}
0 \le u_1 < \bruch{1}{2}[/mm]
nun hab ich meine grenzen ab hier weiß ich, doch das bestimmen der grenzen hab ich leider nicht verstanden. ich hoffe ich finde hier jemanden der mitweiterhelfen kann
vielen dank und grüße
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:37 Mo 03.11.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
Die jakobimatrix hat nichts mit den Grenzen zu tun, nur mit der Koordinatentransf. , d.h. womit du in deinem integral dxdy ersetzen kannst.
Die Grenzen selbst sind doch nur in die Bedingungen fuer x,y die u1,u2 eingesetzt.
Du musst schon genauer sagen, wo es hakt.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:11 Di 04.11.2008 | | Autor: | Skyler |
hey
also es hakt in erster linie bei dem schritt:n
$ X= [mm] \bruch{1}{2}(u_2+u_1) [/mm] $
$ Y= [mm] \bruch{1}{2} (u_1-u_2) [/mm] $
hier weiß ich nich wie man darauf kommt und warum man dann in koordinaten transformation so löst, ich kenne im prinzip nicht mein ziel, worauf ich hinarbeite. meine grenzen klar, aber wie?
gru0 Lukas
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Hallo!
Für gewöhnlich benutzt man eine Koordinatentransformation, um den Integranden leichter integrieren zu können (Stichwort Substitution), oder aber, um einfachere Grenzen zu bekommen.
In deinem Fall ist die Funktion ansich kein all zu großes Problem. Vielmehr ist die Angabe der Grenzen doch sehr unglücklich gewählt, wie willst du da deine Integrationsgrenzen herleiten?
Nun hast du diese Substitution, und du solltest nun einfach mal schaun, was aus dem Integranden und vor allem diesem Integrationsgebiet wird, wenn du diese Formeln für x und y einsetzt.
Hast du dir mal angeschaut, wie dein Integrationsgebiet aussieht? Ich habs mal gemacht:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Der rechte Teil der Ungleichung liefert dir den grauen Bereich, der linke Teil liefert dir den Bereich innerhalb der roten Hyperbel.
Alles zusammen ergibt diesen grünen Bereich.
Durch deine Transformation bekommst du neue Koordinatenachsen, die im 45°-Winkel zu den normalen Achsen stehen. In diesem Koordinatensystem würde dein Integrationsgebiet von einer einfachen Parabel und einer 45°-Graden eingegrenzt, das ist sehr viel einfacher als das hier.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: PNG) [nicht öffentlich]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:31 Di 04.11.2008 | | Autor: | Skyler |
super, das ist natürlich viel einfacher! aber das integrationsgebiet, hast du das ausgerechnet und dann gezeichnet? oder einfach zeichnen lassen, weil wir keinen taschenrechner benutzen dürfen! ich tue mich leider etwas schwer aus der ungleichung diese zeichnung zu sehen!
vllt könntest du mir dazu noch einen tip geben?
vielen dank und gruß
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:41 Di 04.11.2008 | | Autor: | Skyler |
ich habe die frage glaub ich falsch gestellt!
also cih verstehe schon dass ich
$ [mm] u_1 [/mm] = x+y [mm] u_2 [/mm] = x-y $
setze
wenn ich nun die ungleichung löse erhalte ich ja [mm] u_1 \le \bruch{1}{2}
[/mm]
aber bei einer substitution müssen ja die grenzen transformiert werden und das wird ja mit der jakobi matrix gemacht, dass verstehe ich leider nicht ganz!
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Hallo!
Ich habe das einfach mal zeichnen lassen. Auf den grauen Bereich kommt man selbst ja sehr schnell, die Hyperbel allerdings sieht ziemlich schlimm aus, wenn man versucht, sie so hinzuschreiben. Aber Derive kann ja Ungleichungen zeichnen...
Auf die Substitution kommt man in diesem Fall wohl am ehesten über die Grenzen, denn dann ergibt sich wie du geschrieben hast:
$ [mm] 2(u_1)^2 \le u_2 \le u_1$
[/mm]
Nun, die Jacobi-Matrix hat rein gar nichts mit den Grenzen selbst zutun! Die Jacobi-Matrix ist eher sowas wie ein Wichtungsfaktor:
Angenommen, du integrierst über die Fläche eines Quadrates: [mm] \iint_{x, y\in[0;2,54]}\,dx\,dy=6,45 [/mm] .
Dein Freund aus England rechnet aber in Zoll: [mm] \iint_{u, v\in[0;1]}\,du\,dv=1 [/mm] .
Das liegt daran, daß bei ihm die Längen- und damit Flächeneinheit ne andere Größe haben. Die Jacobimatrix liefert in dem Fall den Faktor 6,45, den dein Freund zusätzlich in seine Rechnung einbauen muß, damit das Ergebnis in DEINER Einheit rauskommt.
Aber Achtung: die Jacobi-Matrix ist selten eine Konstante, so ist die Einheitsfläche in Polarkoordinaten für größere Radien größer als für kleine!
Deine Grenzen jedenfalls mußt du mittels Substitution aus den alten irgendwie ausrechnen.
Hier siehst du, daß einerseits [mm] 2u^2_1
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