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| Aufgabe | Welche der folgenden Aussagen sind richtig?
[mm] 1.f:\,[a\,,\,b]\to\mathbb{R} [/mm] sei stetig und [mm] \int_{a}^{b}\big(f(x)\big)^2\,\mathrm{d}x\,=\,0\,.
[/mm]
Dann ist f(x)=0 für alle [mm] x\in[a\,,\,b]\,.
[/mm]
[mm] 2.f:\,[a\,,\,b]\to\mathbb{R} [/mm] sei stetig und [mm] \int_{a}^{b}|f(x)|\,\mathrm{d}x\,=\,0\,.
[/mm]
Dann ist f(x)=0 für alle [mm] x\in[a\,,\,b]\,.
[/mm]
[mm] 3.f:\,[-1\,,\,1]\to\mathbb{R} [/mm] sei integrierbar und achsensymmetrisch zur y-Achse.
Dann ist [mm] \int_{-1}^{1}f(x)\,\mathrm{d}x\,=\,2\,\int_{0}^{1}f(x)\,\mathrm{d}x\,.
[/mm]
[mm] 4.f:\,\mathbb{R}\to\mathbb{R} [/mm] sei integrierbar und es gelte [mm] \int_{0}^{t}f(x)\,\mathrm{d}x\,=\,-\,\int_{-t}^{0}f(x)\,\mathrm{d}x\, [/mm] für alle [mm] t\,\geq\,0\,.
[/mm]
Dann ist [mm] f(x)=0\, [/mm] für alle [mm] x\in\mathbb{R}\,.
[/mm]
[mm] 5.f:\,[a\,,\,b]\to\mathbb{R} [/mm] sei integrabel und [mm] \int_{a}^{b}f(x)\,\mathrm{d}x\,>\,0\,.
[/mm]
Dann ist [mm] f(x)\,\geq\,0\, [/mm] für alle [mm] x\in[a\,,\,b]\,.
[/mm]
[mm] 6.f:\,[a\,,\,b]\to\mathbb{R} [/mm] sei stetig und das Integral [mm] \int_{a}^{b}\frac{1}{f(x)}\,\mathrm{d}x [/mm] existiere.
Dann ist [mm] f(a)\,\neq\,0\, [/mm] und f(b) [mm] \,\neq\,0\,.
[/mm]
[mm] 7.f:\,[-1\,,\,1]\to\mathbb{R} [/mm] sei integrierbar und punktsymmetrisch um [mm] x=0\,.
[/mm]
Dann gilt [mm] \int_{0}^{1}f(x)\,\mathrm{d}x\,=\,-\,\int_{-1}^{0}f(x)\,\mathrm{d}x\,.
[/mm]
[mm] 8.f:\,[a\,,\,+\infty]\to\mathbb{R} [/mm] sei stetig und [mm] \lim_{x\to+\infty}\,f(x)\,=\,0\,.
[/mm]
Dann existiert das uneigentliche Integral [mm] \int_{a}^{\infty}f(x)\,\mathrm{d}x\,.
[/mm]
[mm] 9.f:\,[-1\,,\,1]\to\mathbb{R} [/mm] sei integrierbar und punktsymmetrisch um [mm] x=0\,.
[/mm]
Dann ist [mm] \int_{-1}^{1}f(x)\,\mathrm{d}x\,=\,0\,.
[/mm]
10.f:[a,b] [mm] \to \IR [/mm] sei stetig, f(x)>0 für alle [mm] x\in(a,b] [/mm] und f(a)=0
Wenn das uneigentliche Integral [mm] \int_{a}^{b}\frac{1}{\sqrt{f(x)}}\,\mathrm{d}x [/mm] existiert, dann existiert auch das uneigentliche Integral [mm] \int_{a}^{b}\frac{1}{f(x)}\,\mathrm{d}x\,.
[/mm]
[mm] 11.f:\,[-1\,,\,1]\to\mathbb{R} [/mm] sei integrierbar und punktsymmetrisch um [mm] x=0\,.
[/mm]
Dann ist [mm] \int_{-1}^{1}f(x)\,\mathrm{d}x\,=\,2\,\int_{0}^{1}f(x)\,\mathrm{d}x\,.
[/mm]
[mm] 12.f:\,[a\,,\,b]\to\mathbb{R} [/mm] sei stetig und [mm] \int_{a}^{b}|f(x)|\,\mathrm{d}x\,=\,0\,.
[/mm]
Dann ist f(x)=0 für alle [mm] x\in[a\,,\,b]\,.
[/mm]
[mm] 13.f:\,[a\,,\,b]\to\mathbb{R} [/mm] sei stetig und [mm] \int_{a}^{b}f(x)\,\mathrm{d}x\,=\,\int_{b}^{a}\,f(x)\,\mathrm{d}x\,.
[/mm]
Dann ist f(x)=0 für alle [mm] x\in[a\,,\,b]\,.
[/mm]
[mm] 14.f:\,[-1\,,\,1]\to\mathbb{R} [/mm] sei integrierbar und achsensymmetrisch zur y-Achse.
Dann ist [mm] \int_{-1}^{1}f(x)\,\mathrm{d}x\,=\,\int_{0}^{1}f(x)\,\mathrm{d}x\,.
[/mm]
15.
[mm] f:\,[-1\,,\,1]\to\mathbb{R} [/mm] sei integrierbar und achsensymmetrisch zur y-Achse.
Dann ist [mm] \int_{-1}^{1}f(x)\,\mathrm{d}x\,=\,0\,. [/mm] |
Hallo.
Dies ist eine längere Aufgabe, bei der es mir vor allem um das Verständnis geht.
Deswegen würde ich mich über Hilfe und Anregungen freuen.
Zur Aufgabe meine Lösungsvorschläge:
1.Man berechnet die Fläche einer quadrierten Funktion.
Da [mm] (f(x))^2=(y)^2 [/mm] gilt , sind also alle Werte positiv. Das heißt der Graph der Funktion verläuft oberhalb der x-Achse und zwar nur oberhalb.
Damit das Integral 0 wird müssten Abschnitte im negativen verlaufen, was nicht der Fall ist.
Die Aussage stimmt also.
2.Der Betrag der Funktion wird betrachtet.
Für y<0 gilt -y und für [mm] y\ge0 [/mm] gilt y=y.
Auch hier erhält man Werte die nur oberhalb des Graphen liegen.
Deswegen stimmt die Aussage. (Begründung 1).
3.Im Intervall [-1,1] ist die Funktion Achsensymmetrisch. [mm] \integral_{-1}^{1}{f(x) dx}=\integral_{-1}^{0}{f(x) dx}+\integral_{0}^{1}{f(x) dx}
[/mm]
Beide Integrale haben die selben Funktionswerte in ihrem Intervall und beide Integrale werden mit selben "Intervallwert" integriert nämlich 1.
Dadurch haben beide Integrale den gleichen Wert und die Aussage stimmt.
4.Ich wähle eine beliebiges [mm] t\ge0.
[/mm]
Nun soll:
[mm] \integral_{0}^{t}{f(x) dx}=-\integral_{-t}^{0}{f(x) dx} [/mm] gelten, wenn f(x)=0 ist.
Beide Integrale haben den gleichen Intervallwert t. (damit meine ich, dass man von links nach rechts integriert und dadurch die Rechtsecklänge der einzelnen kleinen Rechtecke unter dem Graphen positiv sind).
Die Werte hingegen unterscheiden sich in den Intervallen. So würde
[mm] \integral_{-t}^{t}{f(x) dx}=0 [/mm] sein, denke ich.
Man könnte demnach eine Punksymmetrische Funktion in Betrachtung ziehen und sie untersuchen.
Ich habe das mit sinus(x)=f(x) gemacht und es hat geklappt.
Daher ist die Aussage falsch.
5.Eine positive Fläche kann man nur erhalten, wenn der Graph über der x-Achse verläuft für alle [mm] x\in[a,b], [/mm] sagt diese Aussage ja eigentlich aus.
[mm] \integral_{0}^{\bruch{-\pi}{2}}{sin(x)dx} [/mm] ist der Gegenbeweis dazu.
Die Rechnung ergibt: 0--1=1
Und sin(x) in diesem Intervall ist <0.
Die Aussage ist falsch, auch wenn es sich komisch anhört (meine Vermutung zumind).
6.Hier bin ich mir nicht sicher.
Aber wenn ich anhmmen würde, dass z.B [mm] f(x)=\bruch{1}{x} [/mm] ist, so würde
[mm] \integral_{a}^{b}{\bruch{1}{\bruch{1}{x}} dx} [/mm] stehen, was [mm] \integral_{a}^{b}{x dx} [/mm] ist und durchaus die Grenzen 0 haben kann.
7.Die Punktsymmetrie bei x=0 bedeutet, dass f(-x)=-f(x)
Das heißt im Intervall von [-1,0] nimmt der Graph entgegengesetzte Werte als im Intervall [0,1] an.
Die Fläche hat also das entgegengesetzte Vorzeichen. Da vor dem Integral jedoch ein Minus steht hebt sich dies auf und die Aussage stimmt.
8.Hier bin ich mir überhaupt nicht sicher.
Eigentlich läuft der Graph asymptotisch gegen unendlich. Aber dies muss nicht unbedingt heißen, dass die Fläche unter der Asymptote zu vernachlässigen ist.
Bei [mm] \bruch{1}{\wurzel{x}} [/mm] existiert das uneigentliche Integral auch nicht für [mm] +\infty.
[/mm]
9.Meine Vermutung ist, dass diese Aussage wahr ist.
Ich habs mir jetzt mal bildlich vorgestellt.
Für positive x erhalte ich positive y-Werte für negative x erhalte ich den gleichen Betrag der y-Werte nur mit negativem Vorzeichen.
Dadurch erhalte ich 2 gleich große Flächen, wobei eine jedoch oberhalb und die andere unterhalb der x-Achse liegt.
Bei der Integralrechnung hebt sich dies ja genau auf.
Die Aussage ist wahr.
10. Keine Ahnung hier. f(x) kann ein beliebiger normaler Graph sein und kann nur Werte in [mm] \IR [/mm] annhmen. Diese Vorausetzung hindert mich [mm] f(x)=\bruch{1}{x} [/mm] zu setzen (Umkehrbruch).
Also können nur Funktionen verwendet werden, die selbst nicht einen Bruch darstellen.
Weiter komme ich hier nicht.
11. Wegen Punktsymmetrie nein. Der Wert wäre hier 0. Stimmt also nicht.
12.Falsch. Punktsymmetrische Funktionen bspw.
13.Allgemeine Regel für das Vertauschen von Grenzen.
[mm] \integral_{a}^{b}{f(x)dx}=-\integral_{b}^{a}{f(x)dx}.
[/mm]
Stimmt also nicht.
14.Stimmt nicht. Der Faktor 2 fehlt.
15.Stimmt nicht. Keine Punksymmetrie.
Ich weiß, dass das hier ziemlich viel ist, aber ich würde mich über Antworten, Gedankengänge etc. nichts destsotrotz sehr freuen.
Liebe Grüße und danke im Voraus.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:38 So 13.02.2011 | | Autor: | abakus |
Hallo,
ist bei 1) und 2) auch a [mm] \ne [/mm] b vorausgesetzt? Für a=b ist das Integral auch dann Null, wenn der Funktionswert nicht Null ist.
Gruß Abakus
> Welche der folgenden Aussagen sind richtig?
>
> [mm]1.f:\,[a\,,\,b]\to\mathbb{R}[/mm] sei stetig und
> [mm]\int_{a}^{b}\big(f(x)\big)^2\,\mathrm{d}x\,=\,0\,.[/mm]
>
> Dann ist f(x)=0 für alle [mm]x\in[a\,,\,b]\,.[/mm]
>
> [mm]2.f:\,[a\,,\,b]\to\mathbb{R}[/mm] sei stetig und
> [mm]\int_{a}^{b}|f(x)|\,\mathrm{d}x\,=\,0\,.[/mm]
>
> Dann ist f(x)=0 für alle [mm]x\in[a\,,\,b]\,.[/mm]
>
> [mm]3.f:\,[-1\,,\,1]\to\mathbb{R}[/mm] sei integrierbar und
> achsensymmetrisch zur y-Achse.
>
> Dann ist
> [mm]\int_{-1}^{1}f(x)\,\mathrm{d}x\,=\,2\,\int_{0}^{1}f(x)\,\mathrm{d}x\,.[/mm]
>
> [mm]4.f:\,\mathbb{R}\to\mathbb{R}[/mm] sei integrierbar und es gelte
> [mm]\int_{0}^{t}f(x)\,\mathrm{d}x\,=\,-\,\int_{-t}^{0}f(x)\,\mathrm{d}x\,[/mm]
> für alle [mm]t\,\geq\,0\,.[/mm]
>
> Dann ist [mm]f(x)=0\,[/mm] für alle [mm]x\in\mathbb{R}\,.[/mm]
>
> [mm]5.f:\,[a\,,\,b]\to\mathbb{R}[/mm] sei integrabel und
> [mm]\int_{a}^{b}f(x)\,\mathrm{d}x\,>\,0\,.[/mm]
>
> Dann ist [mm]f(x)\,\geq\,0\,[/mm] für alle [mm]x\in[a\,,\,b]\,.[/mm]
>
> [mm]6.f:\,[a\,,\,b]\to\mathbb{R}[/mm] sei stetig und das Integral
> [mm]\int_{a}^{b}\frac{1}{f(x)}\,\mathrm{d}x[/mm] existiere.
>
> Dann ist [mm]f(a)\,\neq\,0\,[/mm] und f(b) [mm]\,\neq\,0\,.[/mm]
>
> [mm]7.f:\,[-1\,,\,1]\to\mathbb{R}[/mm] sei integrierbar und
> punktsymmetrisch um [mm]x=0\,.[/mm]
>
> Dann gilt
> [mm]\int_{0}^{1}f(x)\,\mathrm{d}x\,=\,-\,\int_{-1}^{0}f(x)\,\mathrm{d}x\,.[/mm]
>
> [mm]8.f:\,[a\,,\,+\infty]\to\mathbb{R}[/mm] sei stetig und
> [mm]\lim_{x\to+\infty}\,f(x)\,=\,0\,.[/mm]
>
> Dann existiert das uneigentliche Integral
> [mm]\int_{a}^{\infty}f(x)\,\mathrm{d}x\,.[/mm]
>
> [mm]9.f:\,[-1\,,\,1]\to\mathbb{R}[/mm] sei integrierbar und
> punktsymmetrisch um [mm]x=0\,.[/mm]
>
> Dann ist [mm]\int_{-1}^{1}f(x)\,\mathrm{d}x\,=\,0\,.[/mm]
>
> 10.f:[a,b] [mm]\to \IR[/mm] sei stetig, f(x)>0 für alle [mm]x\in(a,b][/mm]
> und f(a)=0
> Wenn das uneigentliche Integral
> [mm]\int_{a}^{b}\frac{1}{\sqrt{f(x)}}\,\mathrm{d}x[/mm] existiert,
> dann existiert auch das uneigentliche Integral
> [mm]\int_{a}^{b}\frac{1}{f(x)}\,\mathrm{d}x\,.[/mm]
>
> [mm]11.f:\,[-1\,,\,1]\to\mathbb{R}[/mm] sei integrierbar und
> punktsymmetrisch um [mm]x=0\,.[/mm]
>
> Dann ist
> [mm]\int_{-1}^{1}f(x)\,\mathrm{d}x\,=\,2\,\int_{0}^{1}f(x)\,\mathrm{d}x\,.[/mm]
>
> [mm]12.f:\,[a\,,\,b]\to\mathbb{R}[/mm] sei stetig und
> [mm]\int_{a}^{b}|f(x)|\,\mathrm{d}x\,=\,0\,.[/mm]
>
> Dann ist f(x)=0 für alle [mm]x\in[a\,,\,b]\,.[/mm]
>
> [mm]13.f:\,[a\,,\,b]\to\mathbb{R}[/mm] sei stetig und
> [mm]\int_{a}^{b}f(x)\,\mathrm{d}x\,=\,\int_{b}^{a}\,f(x)\,\mathrm{d}x\,.[/mm]
>
> Dann ist f(x)=0 für alle [mm]x\in[a\,,\,b]\,.[/mm]
>
> [mm]14.f:\,[-1\,,\,1]\to\mathbb{R}[/mm] sei integrierbar und
> achsensymmetrisch zur y-Achse.
>
> Dann ist
> [mm]\int_{-1}^{1}f(x)\,\mathrm{d}x\,=\,\int_{0}^{1}f(x)\,\mathrm{d}x\,.[/mm]
>
> 15.
> [mm]f:\,[-1\,,\,1]\to\mathbb{R}[/mm] sei integrierbar und
> achsensymmetrisch zur y-Achse.
>
> Dann ist [mm]\int_{-1}^{1}f(x)\,\mathrm{d}x\,=\,0\,.[/mm]
> Hallo.
>
> Dies ist eine längere Aufgabe, bei der es mir vor allem um
> das Verständnis geht.
> Deswegen würde ich mich über Hilfe und Anregungen
> freuen.
>
>
>
> Zur Aufgabe meine Lösungsvorschläge:
> 1.Man berechnet die Fläche einer quadrierten Funktion.
> Da [mm](f(x))^2=(y)^2[/mm] gilt , sind also alle Werte positiv. Das
> heißt der Graph der Funktion verläuft oberhalb der
> x-Achse und zwar nur oberhalb.
> Damit das Integral 0 wird müssten Abschnitte im negativen
> verlaufen, was nicht der Fall ist.
> Die Aussage stimmt also.
>
> 2.Der Betrag der Funktion wird betrachtet.
> Für y<0 gilt -y und für [mm]y\ge0[/mm] gilt y=y.
> Auch hier erhält man Werte die nur oberhalb des Graphen
> liegen.
> Deswegen stimmt die Aussage. (Begründung 1).
>
> 3.Im Intervall [-1,1] ist die Funktion Achsensymmetrisch.
> [mm]\integral_{-1}^{1}{f(x) dx}=\integral_{-1}^{0}{f(x) dx}+\integral_{0}^{1}{f(x) dx}[/mm]
>
> Beide Integrale haben die selben Funktionswerte in ihrem
> Intervall und beide Integrale werden mit selben
> "Intervallwert" integriert nämlich 1.
> Dadurch haben beide Integrale den gleichen Wert und die
> Aussage stimmt.
>
> 4.Ich wähle eine beliebiges [mm]t\ge0.[/mm]
> Nun soll:
> [mm]\integral_{0}^{t}{f(x) dx}=-\integral_{-t}^{0}{f(x) dx}[/mm]
> gelten, wenn f(x)=0 ist.
> Beide Integrale haben den gleichen Intervallwert t. (damit
> meine ich, dass man von links nach rechts integriert und
> dadurch die Rechtsecklänge der einzelnen kleinen Rechtecke
> unter dem Graphen positiv sind).
>
> Die Werte hingegen unterscheiden sich in den Intervallen.
> So würde
> [mm]\integral_{-t}^{t}{f(x) dx}=0[/mm] sein, denke ich.
> Man könnte demnach eine Punksymmetrische Funktion in
> Betrachtung ziehen und sie untersuchen.
> Ich habe das mit sinus(x)=f(x) gemacht und es hat
> geklappt.
>
> Daher ist die Aussage falsch.
>
> 5.Eine positive Fläche kann man nur erhalten, wenn der
> Graph über der x-Achse verläuft für alle [mm]x\in[a,b],[/mm] sagt
> diese Aussage ja eigentlich aus.
> [mm]\integral_{0}^{\bruch{-\pi}{2}}{sin(x)dx}[/mm] ist der
> Gegenbeweis dazu.
> Die Rechnung ergibt: 0--1=1
> Und sin(x) in diesem Intervall ist <0.
> Die Aussage ist falsch, auch wenn es sich komisch anhört
> (meine Vermutung zumind).
>
> 6.Hier bin ich mir nicht sicher.
> Aber wenn ich anhmmen würde, dass z.B [mm]f(x)=\bruch{1}{x}[/mm]
> ist, so würde
> [mm]\integral_{a}^{b}{\bruch{1}{\bruch{1}{x}} dx}[/mm] stehen, was
> [mm]\integral_{a}^{b}{x dx}[/mm] ist und durchaus die Grenzen 0
> haben kann.
>
> 7.Die Punktsymmetrie bei x=0 bedeutet, dass f(-x)=-f(x)
> Das heißt im Intervall von [-1,0] nimmt der Graph
> entgegengesetzte Werte als im Intervall [0,1] an.
> Die Fläche hat also das entgegengesetzte Vorzeichen. Da
> vor dem Integral jedoch ein Minus steht hebt sich dies auf
> und die Aussage stimmt.
>
>
>
> 8.Hier bin ich mir überhaupt nicht sicher.
> Eigentlich läuft der Graph asymptotisch gegen unendlich.
> Aber dies muss nicht unbedingt heißen, dass die Fläche
> unter der Asymptote zu vernachlässigen ist.
> Bei [mm]\bruch{1}{\wurzel{x}}[/mm] existiert das uneigentliche
> Integral auch nicht für [mm]+\infty.[/mm]
>
> 9.Meine Vermutung ist, dass diese Aussage wahr ist.
> Ich habs mir jetzt mal bildlich vorgestellt.
> Für positive x erhalte ich positive y-Werte für
> negative x erhalte ich den gleichen Betrag der y-Werte nur
> mit negativem Vorzeichen.
> Dadurch erhalte ich 2 gleich große Flächen, wobei eine
> jedoch oberhalb und die andere unterhalb der x-Achse
> liegt.
> Bei der Integralrechnung hebt sich dies ja genau auf.
> Die Aussage ist wahr.
>
> 10. Keine Ahnung hier. f(x) kann ein beliebiger normaler
> Graph sein und kann nur Werte in [mm]\IR[/mm] annhmen. Diese
> Vorausetzung hindert mich [mm]f(x)=\bruch{1}{x}[/mm] zu setzen
> (Umkehrbruch).
> Also können nur Funktionen verwendet werden, die selbst
> nicht einen Bruch darstellen.
> Weiter komme ich hier nicht.
>
> 11. Wegen Punktsymmetrie nein. Der Wert wäre hier 0.
> Stimmt also nicht.
>
> 12.Falsch. Punktsymmetrische Funktionen bspw.
>
> 13.Allgemeine Regel für das Vertauschen von Grenzen.
> [mm]\integral_{a}^{b}{f(x)dx}=-\integral_{b}^{a}{f(x)dx}.[/mm]
> Stimmt also nicht.
>
> 14.Stimmt nicht. Der Faktor 2 fehlt.
>
> 15.Stimmt nicht. Keine Punksymmetrie.
>
> Ich weiß, dass das hier ziemlich viel ist, aber ich würde
> mich über Antworten, Gedankengänge etc. nichts
> destsotrotz sehr freuen.
>
> Liebe Grüße und danke im Voraus.
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Hallo abakus.
Danke für die Antwort.
Nein es nicht angegeben, dass [mm] a\not=b [/mm] gilt. Also hast du Recht und die Aussagen sind falsch.
Daran hatte ich gar nicht gedacht.
Würden denn meine Antworten stimmen, wenn [mm] a\not=b [/mm] gelten würde?
Und wie siehst es aus mit den anderen Fragestellungen?
Liebe Grüße und danke im Voraus :)
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 01:20 Mi 16.02.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:20 Di 15.02.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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