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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:45 Di 30.11.2010 | | Autor: | Masaky |
| Aufgabe | Bestimme folgendes Integral:
[mm] \integral_{0}^{1}{\bruch{x^2}{\wurzel[3]{(x^3 +4)^2}} dx} [/mm] |
Hallo, ich komme bei diesen Integral irgendwie nich weiter:
[mm] \integral_{0}^{1}{\bruch{x^2}{\wurzel[3]{(x^3 +4)^2}} dx}
[/mm]
Also da nimmt man ja die Substitution:
z(x)= [mm] (x^3+4)^2
[/mm]
z'(x) = [mm] \bruch{dz}{dx} [/mm] = [mm] 2*(x^3+4) [/mm] * [mm] 3x^2
[/mm]
dx= [mm] \bruch{dz}{6x^2(x^3+4)}
[/mm]
[mm] ==>\integral_{0}^{30}{\bruch{x^2}{\wurzel[3]{(z)}} \bruch{dz}{6x^2(x^3+4)} } [/mm] = [mm] \integral_{0}^{30}{\bruch{1}(6(x^3+4))} \bruch{dz}{{\wurzel[3]{(z)}}}
[/mm]
hm jetzt kann ich das dz noch rausziehen, aber das brinbgt irgendwie nichts.
HBab ich falsch gewählt?
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> Bestimme folgendes Integral:
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> [mm]\integral_{0}^{1}{\bruch{x^2}{\wurzel[3]{(x^3 +4)^2}} dx}[/mm]
>
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> Hallo, ich komme bei diesen Integral irgendwie nich
> weiter:
>
> [mm]\integral_{0}^{1}{\bruch{x^2}{\wurzel[3]{(x^3 +4)^2}} dx}[/mm]
>
> Also da nimmt man ja die Substitution:
>
> z(x)= [mm](x^3+4)^2[/mm]
>
> z'(x) = [mm]\bruch{dz}{dx}[/mm] = [mm]2*(x^3+4)[/mm] * [mm]3x^2[/mm]
>
> dx= [mm]\bruch{dz}{6x^2(x^3+4)}[/mm]
>
> [mm]==>\integral_{0}^{30}{\bruch{x^2}{\wurzel[3]{(z)}} \bruch{dz}{6x^2(x^3+4)} }[/mm]
> = [mm]\integral_{0}^{30}{\bruch{1}(6(x^3+4))} \bruch{dz}{{\wurzel[3]{(z)}}}[/mm]
>
> hm jetzt kann ich das dz noch rausziehen, aber das brinbgt
> irgendwie nichts.
> HBab ich falsch gewählt?
Das gemeine an diesen Aufgaben ist, dass du nicht vergessen darfst, dass du mehrfach z substituieren darfst, hihi ;) Ganz fies, ich weiß
Aber schau dir nochmal deine Substitution an:
[mm] $z=(x^3+4)^2$
[/mm]
Jetzt schau dir dein Integral nach Substitution an:
$ [mm] \integral_{0}^{30}{\bruch{1}{6*(x^3+4)}*\bruch{1}{\wurzel[ 3]{z}}dz}$
[/mm]
Was könntest du also besseres mit dem [mm] (x^3+4) [/mm] machen, also nochmal durch [mm] \wurzel{z} [/mm] zu ersetzten ;)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:03 Di 30.11.2010 | | Autor: | Masaky |
Das vesteh ich nicht.
Soll ich also nur [mm] x^3+4 [/mm] als z substituieren ohne dem ^2?
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> Das vesteh ich nicht.
> Soll ich also nur [mm]x^3+4[/mm] als z substituieren ohne dem ^2?
sorry ein Quadrat zuviel gesehen ich überarbeite!
Arg mein Fehler, es muss natürlich
$ [mm] \integral_{0}^{30}{\bruch{1}{6\cdot{}(x^3+4)}\cdot{}\bruch{1}{\wurzel[ 3]{z}}dz} [/mm] $ lauten! Damit ist der Sachverhalt minimal schwieriger:
wir haben [mm] z=(x^3+4)^2 [/mm] substituiert. Sehen wir hier den Term [mm] (x^3+4) [/mm] ? Ja, nämlich im Quadrat, also gilt:
[mm] \wurzel{z}=(x^3+4)
[/mm]
Und genau das kannst du jetzt ersetzen
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:14 Di 30.11.2010 | | Autor: | fred97 |
> > Das vesteh ich nicht.
> > Soll ich also nur [mm]x^3+4[/mm] als z substituieren ohne dem
> ^2?
>
> Nein nein, wieso denn?
>
> Wir waren doch bei :
>
> [mm]\integral_{0}^{30}{\bruch{1}{6\cdot{}(x^3+4)^2}\cdot{}\bruch{1}{\wurzel[ 3]{z}}dz}[/mm]
> Soweit stimmst du mir zu?
>
> Jetzt kommst du nicht weiter, weil sich nicht alle x
> weggekürzt haben, wie es bei einfachen Beispielen oft der
> Fall ist. Integrieren kannst du auch nicht, weil dz statt
> dx dasteht und du aber zwei Variablen hast. x muss also
> weg. Du hast aber [mm]z=(x^3+4)^2[/mm] substituiert. Und genau DAS
> steht da doch, also warum nicht einfach:
>
> [mm]\integral_{0}^{30}{\bruch{1}{6\cdot{}(x^3+4)^2}\cdot{}\bruch{1}{\wurzel[ 3]{z}}dz}[/mm]
> durch [mm]\integral_{0}^{30}{\bruch{1}{6\cdot{} z}\cdot{}\bruch{1}{\wurzel[ 3]{z}}dz}[/mm]
> ersetzen?
>
Wo kommen denn die Integrationsgrenzen 0 und 30 her ?
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:20 Di 30.11.2010 | | Autor: | Adamantin |
Stehe ich auf dem Schlauch?
Dachte, eine Möglichkeit beim Substituieren ist es, die Grenzen direkt mit der Substitution zu ändern (obwohl ich immer ohne Grenzen rechne). Da er [mm] z=(x^3+4)^2 [/mm] substituiert, muss er doch die Grenzen dementsprechen ändern und z(0)=16 und z(1)=25 oder? Aha...ja man sollte manchmal selber rechnen
Ich idiot habe vorher die Werte 0 und 1 in die Ableitung von z eingesetzt, sollte man auch nicht tun
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:17 Di 30.11.2010 | | Autor: | Masaky |
Ah stimmt, oh man manchmal kommt auf die einfachsten Absichten nicht...
Viiiiel Dank ;)
Doch habe ich noch eine Frage:
Was ist denn die Stammfunktion von [mm] \bruch{1}{\wurzel[3]{z}}?
[/mm]
hm ist das denn einfach ln [mm] \wurzel[3]{z}?
[/mm]
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> Ah stimmt, oh man manchmal kommt auf die einfachsten
> Absichten nicht...
> Viiiiel Dank ;)
>
> Doch habe ich noch eine Frage:
>
> Was ist denn die Stammfunktion von
> [mm]\bruch{1}{\wurzel[3]{z}}?[/mm]
>
> hm ist das denn einfach ln [mm]\wurzel[3]{z}?[/mm]
Schau bitte nochmal meine antwort und die von fred an, ganz wichtig!
Desweiteren hast du nicht das Integral von [mm]\wurzel[3]{z}?[/mm] zu lösen, sondern nach meiner Antwort kommt noch ein [mm] \wurzel{z} [/mm] hinzu. Lösen kannst du das alles ganz einfach, indem du alles in Brüche umwandelst, also [mm]\wurzel[3]{z}[/mm]? in [mm] z^{\bruch{1}{3}} [/mm] usw. ok?
Endlösung lautet: [mm] http://www.wolframalpha.com/input/?i=integrate+x^2%2F%28%28x^3%2B4%29^2%29^%281%2F3%29 [/mm] (oder, wie ich schmerzhaft erst nach dummer Rechnerei erfahren habe: [mm] (x^3+4)^{\bruch{1}{3}}
[/mm]
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