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| Aufgabe | | Integriere: [mm] \integral_{2}^{5}{f(x) dx}\bruch{x+7}{x^3-3x^2-10x} [/mm] |
Hallo. Ich hab da mal ein Problemchen. Und zwar möchte ich diese Aufgabe für mich zur Übung lösen.
Mein Ansatz: Da x im Zähler kleiner ist als im Nenner, wende ich zunächst Partialbruchzerlegung an (ansonsten Polynomdivision).
Das heißt ich errechne mir zunächst die Nullstellen: x1=0, x2=5, x3=-2
Mein Ansatz war dann: [mm] \bruch{A}{x}+\bruch{B}{x-5}+\bruch{C}{x+2}
[/mm]
Nach Multiplizieren mit dem Hauptnenner und dem Einsetzen der Nullstellen kam raus:
[mm] -\bruch{\bruch{7}{10}}{x}+\bruch{\bruch{12}{35}}{x+5}+\bruch{\bruch{5}{14}}{x+2}
[/mm]
Mein Problem besteht darin, dass ich nun nicht weiter weiß. Wie integriere ich das jetzt? Alles einzeln? Und überhaupt, das ist doch jetzt noch nicht meine Stammfunktion...die müsste ich jetzt auch noch machen oder? Muss ich da alles einzeln machen oder insgesamt?
Hab null Ahnung....kann mir jemand helfen?
Gruß, Esperanza
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:55 Mi 14.06.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo
Deine Partialbruchzerlegung hab ich nicht nachgeprüft. Aber wenn sie richtig ist, hast du jetzt 3 Integrale mit linearem Nenner und die geben immer ln
also Stammfkt von [mm] \bruch{1}{x+a} [/mm] ist ln(x+a)
Gruss leduart
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Danke leduard für die schnelle Antwort :o)
Also mach ich das sozusagen alles einzeln und ziehe dann in meinem Falle die Ergebnisse zusammen.
Noch etwas anderes: Wenn ich mal einen Fall habe wo ich Polynomdivision anwenden muss und beim Ergebnis ein Rest rauskommt....was mache ich in diesem Fall mit dem Rest? Der muss doch sicher auch irgendwie integriert werden?
Gruß, Esperanza
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:46 Mi 14.06.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo esperanza
> Also mach ich das sozusagen alles einzeln und ziehe dann in
> meinem Falle die Ergebnisse zusammen.
richtig.
> Noch etwas anderes: Wenn ich mal einen Fall habe wo ich
> Polynomdivision anwenden muss und beim Ergebnis ein Rest
> rauskommt....was mache ich in diesem Fall mit dem Rest? Der
> muss doch sicher auch irgendwie integriert werden?
Wenn das Polynom Nullstellen xn hat, geht ja die Polynomdivision immer auf! Wenn dein Zählerpolynom höheren Grad hat als das Nennerpolynom dividierst du und schreibst den Rest als Bruch.
Wars das, was du wissen wolltest?
Gruss leduart
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Hi leduard!
Ja den Rest schreib ich als Bruch, das weiß ich. Aber wie behandele ich den Rest wenn ich integriere.
Beispiel: Ergebnis der Polynomdivision:
[mm] 2x-3+\bruch{3}{x^2+2}
[/mm]
Wie gehts dann weiter? Ich bilde die Stammfunktion von
[mm] 2x-3+\bruch{3}{x^2+2} [/mm] und integriere, oder mache ich das einzeln...sprich also Stammfunktion von
2x-3 und von [mm] \bruch{3}{x^2+2} [/mm] und dann einzeln integrieren und zusammenziehen? Oder ist das das selbe?
Warscheinlich alles zusammen oder?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:09 Do 15.06.2006 | | Autor: | M.Rex |
> Hi leduard!
>
> Ja den Rest schreib ich als Bruch, das weiß ich. Aber wie
> behandele ich den Rest wenn ich integriere.
>
> Beispiel: Ergebnis der Polynomdivision:
>
> [mm]2x-3+\bruch{3}{x^2+2}[/mm]
>
> Wie gehts dann weiter? Ich bilde die Stammfunktion von
> [mm]2x-3+\bruch{3}{x^2+2}[/mm] und integriere, oder mache ich das
> einzeln...sprich also Stammfunktion von
> 2x-3 und von [mm]\bruch{3}{x^2+2}[/mm] und dann einzeln integrieren
> und zusammenziehen? Oder ist das das selbe?
>
Yep, du kannst die Teilsummanden diner Funktion einzeln integrieren, das erlaubt die Summenregel.
Das gleiche Prinzip wendest du ja auch bei Integralen á la [mm] \integral_{a}^{b}{x³- x² + 2x - 4 dx} [/mm] an. Hier berechnest du ja prinzipiell auch die einzelnen Stammfunktionen der [mm] x^{n}.
[/mm]
> Warscheinlich alles zusammen oder?
Ich hoffe, das beantwortet deine Frage.
Marius
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