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| Aufgabe | | Berechnen sie die partikuläre Lösung der DGL [mm] x-2y=xe^\bruch{-1}{x} [/mm] |
Dann hab ich folgendes aus der Aufgabe gemacht:
[mm] y^{|}-\bruch{2y}{x}=\bruch{x*e^\bruch{-1}{x}}{x}
[/mm]
=> [mm] y^{|}-\bruch{2}{x}*y=\bruch{x}{x}*e^\bruch{-1}{x}
[/mm]
[mm] y^{|}-\bruch{2}{x}*y=1*e^\bruch{-1}{x}
[/mm]
Lösung yh:
[mm] y^{|}-\bruch{2}{x}*y=0
[/mm]
[mm] \integral{\bruch{1}{y} dy}=\integral{\bruch{2}{x} dx}
[/mm]
[mm] \integral{\bruch{1}{y} dy}=2\integral{\bruch{1}{x} dx}
[/mm]
y= [mm] e^{2*ln(x)}*e^C \backslash e^C=k
[/mm]
[mm] y=k*x^2
[/mm]
________________________
[mm] yp=k(x)*x^2
[/mm]
[mm] yp^{|}=k^{|}(x)*x^2+k(x)*2x
[/mm]
Einsetzen:
[mm] k^{|}(x)*x^2+k(x)*2x-\bruch{2}{x}*k(x)*x^2=e^\bruch{-1}{x}
[/mm]
So und da hänge ich gerade und weiß das nicht zu kürzen
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:54 Di 13.07.2010 | | Autor: | fred97 |
> Berechnen sie die partikuläre Lösung der DGL
> [mm]x-2y=xe^\bruch{-1}{x}[/mm]
> Dann hab ich folgendes aus der Aufgabe gemacht:
>
> [mm]y^{|}-\bruch{2y}{x}=\bruch{x*e^\bruch{-1}{x}}{x}[/mm]
>
> => [mm]y^{|}-\bruch{2}{x}*y=\bruch{x}{x}*e^\bruch{-1}{x}[/mm]
>
> [mm]y^{|}-\bruch{2}{x}*y=1*e^\bruch{-1}{x}[/mm]
>
> Lösung yh:
> [mm]y^{|}-\bruch{2}{x}*y=0[/mm]
>
>
> [mm]\integral{\bruch{1}{y} dy}=\integral{\bruch{2}{x} dx}[/mm]
>
> [mm]\integral{\bruch{1}{y} dy}=2\integral{\bruch{1}{x} dx}[/mm]
>
> y= [mm]e^{2*ln(x)}*e^C \backslash e^C=k[/mm]
>
> [mm]y=k*x^2[/mm]
> ________________________
>
> [mm]yp=k(x)*x^2[/mm]
>
> [mm]yp^{|}=k^{|}(x)*x^2+k(x)*2x[/mm]
>
> Einsetzen:
>
> [mm]k^{|}(x)*x^2+k(x)*2x-\bruch{2}{x}*k(x)*x^2=e^\bruch{-1}{x}[/mm]
Es folgt: [mm] $k'(x)x^2= e^\bruch{-1}{x}$
[/mm]
also
$k'(x)= [mm] \bruch{1}{x^2}* e^\bruch{-1}{x}$
[/mm]
Also ist $k(x) = [mm] \integral_{}^{}{\bruch{1}{x^2}* e^\bruch{-1}{x} dx}$
[/mm]
Jetzt substituiere $u= [mm] -\bruch{1}{x}$
[/mm]
FRED
>
> So und da hänge ich gerade und weiß das nicht zu kürzen
>
>
>
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würde das dann wie folgt aussehn?
Substitution:
k(x) = [mm] \integral_{}^{}{\bruch{1}{x^2}\cdot{} e^\bruch{-1}{x} dx}
[/mm]
k(x) = [mm] \integral_{}^{}{\bruch{1}{x}*\bruch{1}{x}\cdot{} e^\bruch{-1}{x} dx}
[/mm]
k(x) = [mm] \integral_{}^{}{-u*-u}\cdot{} e^u *\bruch{du}{-ln(x)}
[/mm]
k(x) = [mm] \integral_{}^{}{u^2}\cdot{} e^u *\bruch{du}{-ln(x)}
[/mm]
k(x) [mm] =\bruch{1}{-ln(x)} \integral_{}^{}{u^2}\cdot{} e^u [/mm] * du
= [mm] \bruch{1}{-ln(x)}*\bruch{1}{3}u^{3}*e^{u} [/mm] + c
kommt das so hin?
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Rüchsubtitution gibt mir:
= [mm] \bruch{1}{-ln(x)}\cdot{}\bruch{1}{3}*(\bruch{-1}{x})^{3}\cdot{}e^{\bruch{-1}{x}} [/mm] + C
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:49 Di 13.07.2010 | | Autor: | fred97 |
Siehe
https://matheraum.de/read?i=700759
FRED
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:48 Di 13.07.2010 | | Autor: | fred97 |
> würde das dann wie folgt aussehn?
>
> Substitution:
>
> k(x) = [mm]\integral_{}^{}{\bruch{1}{x^2}\cdot{} e^\bruch{-1}{x} dx}[/mm]
>
> k(x) = [mm]\integral_{}^{}{\bruch{1}{x}*\bruch{1}{x}\cdot{} e^\bruch{-1}{x} dx}[/mm]
>
>
> k(x) = [mm]\integral_{}^{}{-u*-u}\cdot{} e^u *\bruch{du}{-ln(x)}[/mm]
>
> k(x) = [mm]\integral_{}^{}{u^2}\cdot{} e^u *\bruch{du}{-ln(x)}[/mm]
>
> k(x) [mm]=\bruch{1}{-ln(x)} \integral_{}^{}{u^2}\cdot{} e^u[/mm] *
> du
>
> = [mm]\bruch{1}{-ln(x)}*\bruch{1}{3}u^{3}*e^{u}[/mm] + c
>
> kommt das so hin?
Ach Du dickes Ei, was machst Du denn da ?
mit $u=-1/x$ ist $du= [mm] \bruch{dx}{x^2}$, [/mm] somit
$k(x) = [mm] \integral_{}^{}e^u [/mm] du= [mm] e^u [/mm] = [mm] e^{-1/x}$
[/mm]
FRED
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ganz doofe frage, aber wie kommst du auf:
du= [mm] \bruch{dx}{x^2}
[/mm]
meine subtitution sieht so aus:
u(x)=-1/x=u
u^|=-ln(x)=du/dx dx=du/- ln(x)
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Hallo,
> ganz doofe frage, aber wie kommst du auf:
>
> du= [mm]\bruch{dx}{x^2}[/mm]
>
> meine subtitution sieht so aus:
>
> u(x)=-1/x=u
> u^|=-ln(x)=du/dx dx=du/- ln(x)
Mache doch bitte mal den Ableitungsstrich vernünftig mit Shift+#
Du schreibst $u'$ hin, leitest aber nicht ab, sondern integrierst. Was soll man dazu sagen??
Mit [mm] $u=u(x)=-\frac{1}{x}$ [/mm] ist [mm] $u'(x)=\frac{du}{dx}=\frac{1}{x^2}$
[/mm]
Also [mm] $dx=\ldots$
[/mm]
Gruß
schachuzipus
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:25 Di 13.07.2010 | | Autor: | haxenpeter |
ahhh, ich trottel, darauf sollt ich vielleicht achten..mano, immer diesen blöden fehler. danke schonmal.
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Ja mit [mm] du=dx/x^2 [/mm] komm ich ja dann auch auf die Lösung, aber wie kommst du auf das du, kannst du mir das erklären?
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siehe oben
Bitte nicht doppelt und dreifach fragen, das spamt nur den thread und damit das Forum voll!
Danke
schachuzipus
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dann hab ich nochmal ne andere frage!
meine allg. lösung ist ja jetzt:
[mm] y=e^{\bruch{-1}{x}}*x^2
[/mm]
wie mach ich das jetzt mit dem : ...geht durch den Punkt P(-1;e) , ich kenn da snur mit den Anfangsbedingungen z.B:y(0)=-3
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Hallo haxenpeter,
> dann hab ich nochmal ne andere frage!
>
> meine allg. lösung ist ja jetzt:
>
> [mm]y=e^{\bruch{-1}{x}}*x^2[/mm]
>
Das ist wohl eher die partikuläre Lösung der DGL.
Die allgemeine Lösung ergibt sich aus der Lösung der homogenen DGL
und der partikulären Lösung (Lösung der inhomogenen DGL):
[mm]y\left(x\right)=k*x^{2}+x^{2}*e^{-\bruch{1}{x}}[/mm]
> wie mach ich das jetzt mit dem : ...geht durch den Punkt
> P(-1;e) , ich kenn da snur mit den Anfangsbedingungen
> z.B:y(0)=-3
In die allgemeine Lösung die Anfangsbedingungen einsetzen,
und das k bestimmen.
Gruss
MathePower
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jetzt blick ich da garnicht mehr durch.die lösung der homogenen ist ja:
[mm] y=k*x^2
[/mm]
und die Lösung meiner Inhomogenen ist: ?
ich setz einach das ausgerechentet [mm] k(x)=e^\bruch{-1}{x} [/mm] in die homogene ein
und hab dann y= [mm] e^{\bruch{-1}{x}}*x^2
[/mm]
aber was mach ich jetzt mit der aussage " die durch den Punkt P(-1;e) geht?????
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:16 Di 13.07.2010 | | Autor: | fred97 |
> jetzt blick ich da garnicht mehr durch.die lösung der
> homogenen ist ja:
>
> [mm]y=k*x^2[/mm]
>
> und die Lösung meiner Inhomogenen ist: ?
>
> ich setz einach das ausgerechentet [mm]k(x)=e^\bruch{-1}{x}[/mm] in
> die homogene ein
>
> und hab dann y= [mm]e^{\bruch{-1}{x}}*x^2[/mm]
Ja, und das ist eine spezielle Lösung der inhomogenen Gleichung
Die allgemeine Lösung der inhomogenen Gleichung lautet:
(*) $y(x) = [mm] k*x^2+e^{\bruch{-1}{x}}*x^2$ [/mm] (k [mm] \in \IR)
[/mm]
>
> aber was mach ich jetzt mit der aussage " die durch den
> Punkt P(-1;e) geht?????
Unter den Lösungen in (*) sollst Du diejenige herausfischen, für die y(-1)=3 gilt
Edit: es muß y(-1)=e lauten
FRED
>
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ah ok, jetzt hab ichs schon mehr verstanden, aber eine frage bleibt noch warum für die y(-1)=3 gilt? weil der Punkt P ist doch (-1;e) müsste das dann nicht y(-1)=e sein?
gruß
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:37 Di 13.07.2010 | | Autor: | fred97 |
> ah ok, jetzt hab ichs schon mehr verstanden, aber eine
> frage bleibt noch warum für die y(-1)=3 gilt? weil der
> Punkt P ist doch (-1;e) müsste das dann nicht y(-1)=e
> sein?
Pardon , da hab ich mich verschrieben, natürlich y(-1)=e
FRED
>
> gruß
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:40 Di 13.07.2010 | | Autor: | haxenpeter |
na dann is die lösung ja die selbe wie die spezielle. danke
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