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| Aufgabe | Sei $K [mm] \subset \IR^n$ [/mm] ein kompakter Quader, $ f:K [mm] \to \IR [/mm] $ eine stetig Funktion und [mm] f\sim [/mm] : [mm] \IR^n \to \IR [/mm] die triviale Fortsetzung von f. Man zeige, dass [mm] f\sim [/mm] Riemann- integriebar ist.
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Hallo,
der Beweis:
Da wir hier ein Kompakten Quader haben, ist f gleichmäßig stetig.
Dann gibt es Treppenfunktion [mm] $\phi \le [/mm] f [mm] \le \psi [/mm] $ und [mm] $|\psi [/mm] - [mm] \phi| [/mm] < [mm] \epsilon [/mm] $ auf dem Kompaktum. Wir setzen unsere Treppenfunktionen und f trivial fort und unsere ungleichungen und [mm] $|\psi [/mm] - [mm] \phi| [/mm] < [mm] \epsilon [/mm] $ bleiben erhalten.
Danach können wir das Intergral über die Treppenfunktion bilden, erhalten
$ [mm] \integral_{\IR^n}{\psi(x) dx} [/mm] - [mm] \integral_{\IR^n}{\phi(x) dx} [/mm] < [mm] \delta(\epsilon) [/mm] $. Da wir $ [mm] \delta(\epsilon) [/mm] $ beliebig > 0 wählen können in abhängigkeit von [mm] \epsilon [/mm] ist [mm] $f\sim$ [/mm] R-integriebar .
Kann man das so machen?
Danke freshstyle
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:35 Sa 03.05.2008 | | Autor: | felixf |
Hallo
> Sei [mm]K \subset \IR^n[/mm] ein kompakter Quader, [mm]f:K \to \IR[/mm] eine
> stetig Funktion und [mm]f\sim[/mm] : [mm]\IR^n \to \IR[/mm] die triviale
> Fortsetzung von f. Man zeige, dass [mm]f\sim[/mm] Riemann-
> integriebar ist.
Trivial fortsetzen heisst mit dem Funktionswert 0 fortsetzen?
> der Beweis:
> Da wir hier ein Kompakten Quader haben, ist f gleichmäßig
> stetig.
> Dann gibt es Treppenfunktion [mm]\phi \le f \le \psi[/mm] und [mm]|\psi - \phi| < \epsilon [/mm]
> auf dem Kompaktum. Wir setzen unsere Treppenfunktionen und
> f trivial fort und unsere ungleichungen und [mm]|\psi - \phi| < \epsilon [/mm]
> bleiben erhalten.
> Danach können wir das Intergral über die Treppenfunktion
> bilden, erhalten
> [mm]\integral_{\IR^n}{\psi(x) dx} - \integral_{\IR^n}{\phi(x) dx} < \delta(\epsilon) [/mm].
> Da wir [mm]\delta(\epsilon)[/mm] beliebig > 0 wählen können in
> abhängigkeit von [mm]\epsilon[/mm] ist [mm]f\sim[/mm] R-integriebar .
> Kann man das so machen?
Ja. Das einzige was du vielleicht noch machen solltest ist zeigen, dass die triviale Fortsetzung einer Treppenfunktion auf $K$ wieder eine Treppenfunktion auf [mm] $\IR^n$ [/mm] ergibt. Je nachdem wie ihr Treppenfunktion definiert habt ist das klar oder beweiswuerdig.
LG Felix
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Hallo,
trivial forsetzen heißt $ [mm] \overline{f(x)}=\begin{cases} f(x), & \mbox{für } x \in K \\ 0, & \mbox{für } x \in \IR \backslash K \end{cases} [/mm] $
Hast mir geschrieben , dass ich noch zeigen soll das $ [mm] \psi [/mm] , [mm] \phi [/mm] $ Treppenfunktionen auf $ K $ sind, dann sind sie es auch auf $ [mm] \IR [/mm] $ .
Aber wie zeige ich das ?
Danke freshstyle
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:15 Mo 05.05.2008 | | Autor: | felixf |
Hallo
> trivial forsetzen heißt [mm]\overline{f(x)}=\begin{cases} f(x), & \mbox{für } x \in K \\ 0, & \mbox{für } x \in \IR \backslash K \end{cases}[/mm]
Meinst du [mm] $\IR$ [/mm] oder [mm] $\IR^n$?
[/mm]
> Hast mir geschrieben , dass ich noch zeigen soll das [mm]\psi , \phi[/mm]
> Treppenfunktionen auf [mm]K[/mm] sind, dann sind sie es auch auf [mm]\IR[/mm]
> .
> Aber wie zeige ich das ?
Wie schon gesagt, das haengt davon ab, wie ihr Treppenfunktionen definiert habt. Ich kann leider nicht hellsehen...
LG Felix
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