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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:22 Sa 15.10.2005 | | Autor: | Reaper |
Hallo wir sollen die Funktion h(x) = [mm] \wurzel{a² + x²} [/mm] für a > 0
integrieren. Wahrscheinlich muss ich da nach irgendwas substituieren aber nach was? Überhaupt kenn ich mich nicht aus wann ich weiß dass ich substituieren muss. Ich weiß wies geht aber halt nur wenn angegeben ist was durch was zu ersetzen ist. Substituieren wurde leider in der VO nur theoretisch in ein paar Minuten abgehandelt.....na ja, kann mir wer helfen?
mfg,
Hannes
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Hallo Hannes!
garnicht so ohne das Integral...
Man substituiert dann, wenn man damit eine Vereinfachung des Integrals erreicht. Wir werden hier sogar 2 mal substituieren.
Los gehts:
[mm]\integral {\wurzel{a^2+x^2} dx}=\integral{a*\wurzel{1+\left(\bruch{x}{a}\right)^2} dx}[/mm]
1. Substitution: [mm]y:=\bruch{x}{a}[/mm]
Um das ersetzen zu dürfen, müssen wir aber gleichzeitig das dx verändern. Wir differenzieren dazu beide Seiten nach x:
[mm]\bruch{\red{d}y}{\red{dx}}=\bruch{\red{d}}{\red{dx}}\left(\bruch{x}{a}\right)[/mm]
Rechts steht eine normale Ableitung, also einfach
[mm]\bruch{dy}{dx}=\bruch{1}{a}[/mm] oder umgestellt [mm]dy=\bruch{dx}{a}[/mm] (Behandlung von dx, dy als "Variablen"). Jetzt einsetzen ins Integral, dazu müssen wir vorher mit a erweitern:
[mm]\integral {a*\wurzel{1+\left(\bruch{x}{a}\right)^2} dx} = \integral {a^2*\wurzel{1+\left(\blue{\bruch{x}{a}}\right)^2}\red{\bruch{dx}{a}}} = a^2*\integral {\wurzel{1+\blue{y}^2}\ \red{dy}}[/mm]
Sieht doch schon etwas einfacher aus. Im Folgenden lasse ich das [mm]a^2[/mm] weg, am Ende halt dazumultiplizieren.
Jetzt wird es etwas kompliziert, wir wollen das Additionstheorem
[mm]\cosh^2(y)-\sinh^2(y)=1[/mm] nutzen und substituieren deshalb nochmal:
2. Substitution: [mm]y=\sinh(z) \Rightarrow z:=arsinh(y)[/mm]
Wieder differenzieren: [mm]\bruch{dz}{dy}=\bruch{1}{\wurzel{1+y^2}}[/mm], also [mm]dz=\bruch{dy}{\wurzel{1+y^2}}[/mm]
Wir erweitern wieder, um dann zu substituieren:
[mm]...= \integral {\bruch{1+\blue{y^2}}{\red{\wurzel{1+y^2}}} \red{dy} }=\integral{1+\blue{\sinh^2(z)}\ \red{dz}}=\integral{\cosh^2(z)\ dz}[/mm]
Mit part. Integration bin ich hier nicht weitergekommen, aber es geht auch über die Definition des [mm]\cosh[/mm]:
[mm] \integral{\cosh^2(z)\ dz}= \integral{\left(\bruch{e^z+e^{-z}}{2}\right)^2\ dz}=\bruch{1}{4}*\integral{e^{2z}+2+e^{-2z}\ dz}=
[/mm]
[mm] \bruch{1}{4}*\left(\bruch{1}{2}e^{2z}-\bruch{1}{2}e^{-2z}+2z \right)=\bruch{1}{2}z [/mm] + [mm] \bruch{1}{2}*\left(\bruch{e^z-e^{-z}}{2}*\bruch{e^z+e^{-z}}{2} \right) [/mm] [/mm] Das ist aber das gleiche wie
[mm]\bruch{1}{2}z + \bruch{1}{2}*\sinh(z)*\cosh(z)[/mm]
Resubstitution:
Jetzt gehen wir wieder zurück mit den Ersetzungen. z=arsinh(y) setzen wir wieder ein:
[mm]...=\bruch{1}{2}arsinh(y)+\bruch{1}{2}*y*\cosh(arsinh(y))[/mm]
Jetzt brauchen wir die Log-Darstellung der Areafunktion:
[mm]arsinh(y)=\log(x+\wurzel{x^2+1})[/mm]
Deshalb ist [mm]\cosh(arsinh(y))=\bruch{x+\wurzel{x^2+1}+\bruch{1}{x+\wurzel{x^2+1}}}{2}=\bruch{1}{2}*\bruch{x^2+2x\wurzel{x^2+1}+(x^2+1)+1}{x+\wurzel{x^2+1}}=\bruch{x^2+x\wurzel{x^2+1}+1}{x+\wurzel{x^2+1}}=\wurzel{x^2+1}[/mm]
Es sieht dann also so aus:
[mm]\bruch{1}{2}arsinh(y)+\bruch{1}{2}*y*\wurzel{y^2+1}[/mm]
Nach der letzten Ersetzung [mm]y=\bruch{x}{a}[/mm] und dem Mult. mit [mm]a^2[/mm] insgesamt also:
[mm]\integral {\wurzel{a^2+x^2} dx}=\bruch{a^2}{2}*\left(arsinh \left(\bruch{x}{a}\right) + \bruch{x}{a}*\wurzel{\left(\bruch{x}{a} \right)^2+1} \right) = \bruch{a^2}{2}*arsinh \left(\bruch{x}{a}\right) + \bruch{x}{2}*\wurzel{x^2+a^2} [/mm]
puh. Mehr schreib ich heut nich mehr 
mfg
Daniel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:47 Mo 17.10.2005 | | Autor: | Reaper |
Danke für die Antworten...hat mir echt sehr geholfen...
mfg,
Hannes
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> Hallo wir sollen die Funktion h(x) = [mm]\wurzel{a² + x²}[/mm] für
> a > 0
> integrieren. Wahrscheinlich muss ich da nach irgendwas
> substituieren aber nach was?
Hallo reaper,
versuch's mal mit x=a*sinhy. Das führt auf [mm] cosh^{2}y, [/mm] welches man per partieller
Integration unter Kontrolle kriegen müßte oder - wenn ich's mir recht überlege - lieber durch Übergang zu den Exponentialfunktionen.
Gruß v. Angela
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