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Folgendes Integral:
[mm] \integral_{0}^{t}{x^{3}e^{-x^{2}}dx}
[/mm]
meine Frage: kann ich [mm] x^{3} [/mm] umschreiben als [mm] e^{ln (x^{3})}
[/mm]
dieses wiederum mit [mm] e^{-x^{2}} [/mm] durch Addition der Exponenten verbinden -> [mm] e^{-x^{2}+ln (x^{3})} [/mm] und dann mit 1/ "Exponent von e abgeleitet" MAL [mm] e^{-x^{2}+ln (x^{3})} [/mm] aufleiten?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:52 Mi 17.02.2010 | | Autor: | Loddar |
Hallo livingevil!
Deine vorgeschlagenen Umformungen werden Dich nicht weiterbringen.
Beginne mit der Substitution $z \ := \ [mm] -x^2$ [/mm] . Anschließend geht es dann mittels partieller Integration weiter.
Gruß
Loddar
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Mich interessiert speziell der Weg, den ich vorgeschlagen habe.
Mir ist klar, dass man z.b. mit partieller Integration (ohne substitution!) zum Ziel kommt.
Ich wüsste gerne ob in meinem vorgeschlagenen Lösungsweg ein Denkfehler ist. Nach der "Formel" [mm] \integral_{}^{}{e^{g(x)} dx}=e^{g(x)}/g'(x) [/mm] müsste das doch gehen, auch wenn im Exponenten eine Summe mit Quadrat und ln vorhanden ist...oder?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:32 Mi 17.02.2010 | | Autor: | livingevil |
sry das sollte ne frage sein
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Ich muss wissen warum mein Weg (nicht durch Substitution) nicht geht oder eventuell doch geht!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:59 Mi 17.02.2010 | | Autor: | Kroni |
Hallo,
bitte habe doch ein bisschen mehr Geduld, ich habe doch gerade auf deine Frage geantwortet und dir gezeigt, warum dein Weg nicht geht?!
LG
Kroni
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:57 Mi 17.02.2010 | | Autor: | Kroni |
Hi,
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> Ich wüsste gerne ob in meinem vorgeschlagenen Lösungsweg
> ein Denkfehler ist. Nach der "Formel"
> [mm]\integral_{}^{}{e^{g(x)} dx}=e^{g(x)}/g'(x)[/mm] müsste das
> doch gehen, auch wenn im Exponenten eine Summe mit Quadrat
> und ln vorhanden ist...oder?
>
Wo hast du denn diese Formel her?
Wenn das stimmen wuerde, muesste doch
[mm] $\frac{\mathrm d}{\mathrm d x} \frac{e^{g(x)}}{g'(x)}=e^{g(x)}$ [/mm]
(das [mm] $\frac{\mathrm d}{\mathrm d x}$ [/mm] bedeutet die Ableitung nach der Variablen $x$)
gelten, weil ja die Ableitung deiner Stammfunktion die integrierte Funktion selbst ergeben muss.
Nun, leiten wir deine "Stammfunktion" mal nach x ab:
es gilt ja (Quotientenregel)
[mm] $\left(\frac{u}{v}\right)'=\frac{u' v - v' u}{v^2}$
[/mm]
also
[mm] $\left(\frac{e^{g(x)}}{g'(x)} \right)' [/mm] = [mm] \frac{g'(x)e^{g(x)}\cdot g'(x) - g''(x)e^{g(x)}}{(g'(x))^2}$
[/mm]
Also ist die Ableitung deiner "Stammfunktion"
[mm] $e^{g(x)} [/mm] - g''(x) [mm] \frac{e^{g(x)}}{(g'(x))^2}$
[/mm]
Das ist aber nur dann gleich [mm] $e^{g(x)}$, [/mm] also deiner Funktion, die du integrieren wolltest, falls deren zweite Ableitung $g''(x)$ gleich Null ist.
Das ist aber damit aequivalent, dass $g(x)$ hoechstens ein Polynom erster Ordnung, d.h. ne Gerade ist.
Das ist aber in deinem Fall nicht, weil du schon ein Quadrat dort stehen hast, oder sogar eine Funktion, die vom [mm] $\ln$ [/mm] abhaengt.
D.h. deine Formel, die du dort angegeben hast, gilt nur, wenn $g(x)=ax+b$ ist. Ist [mm] $g(x)=\text{const}$ [/mm] so gilt deine Formel auch nicht, weil dann $g'(x)=0$ waere, wo du dann durch 0 teilen muesstest...
Aus dem Grunde kannst du deinen Weg so nicht gehen, weil [mm] $g''(x)\not=0$ [/mm] ist.
Ich hoffe, ich konnte dir ein wenig helfen und habe dich nicht zu sehr verwirrt.
LG
Kroni
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:06 Mi 17.02.2010 | | Autor: | livingevil |
Sorry für die Ungeduld, ich dachte du hättest das Thema irgendwie geschlossen wegen dem weißen Kringel -> newbe ;)
Ja danke du hast mir sehr geholfen und nein du hast mich nicht verwirrt.
Das war nämlich der Punkt, dass man in der Schule nur mit [mm] e^x [/mm] oder e^2x arbeitet, ich habe daraus geschlossen, dass es egal ist was da im exponenten steht, man muss nur konsequent alles ableiten und mit 1/ nach vorne schreiben, was aber NUR der Fall ist, wenn die Fkt. simpel ist (wie du schon sagtest).
Mit partieller Integration kommt man dann zum Ziel indem man [mm] u=x^{2} [/mm] und [mm] v=xe^{-x^{2}} [/mm] verwendet.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:09 Mi 17.02.2010 | | Autor: | Kroni |
Hey,
kein Ding. Ich hatte nur die Frage oben als Frage markiert und deine letzte "Frage" als Mitteilung.
LG
Kroni
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