Integrieren durch Substitution < Integralrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:43 Do 26.02.2009 | | Autor: | richie90 |
| Aufgabe | f(x) = [mm] \bruch{1}{\wurzel{1+x^{2}}}
[/mm]
x = g(t) = [mm] \bruch{1}{2}(e^{t}-e^{-t})
[/mm]
g'(t) = [mm] \bruch{1}{2}(e^{t}+e^{-t})
[/mm]
Grenzen: -
[mm] \integral_{}^{}{f(t) dt} [/mm] = [mm] \integral_{}^{}{\bruch{1}{\wurzel{1+\bruch{1}{4}(e^{t}-e^{-t})^{2}}}\*\bruch{1}{2}(e^{t}+e^{-t}) dt}
[/mm]
= [mm] \bruch{1}{2}\integral_{}^{}{\bruch{e^{t}+e^{-t}}{\wurzel{1+\bruch{1}{4}(e^{t}-e^{-t})^{2}}} dt} [/mm] |
Wie muss ich weitermachen, um zum Ergebnis zu kommen?
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Hallo richie90,
> f(x) = [mm]\bruch{1}{\wurzel{1+x^{2}}}[/mm]
>
> x = g(t) = [mm]\bruch{1}{2}(e^{t}-e^{-t})[/mm]
> g'(t) = [mm]\bruch{1}{2}(e^{t}+e^{-t})[/mm]
> Grenzen: -
>
> [mm]\integral_{}^{}{f(t) dt}[/mm] =
> [mm]\integral_{}^{}{\bruch{1}{\wurzel{1+\bruch{1}{4}(e^{t}-e^{-t})^{2}}}\*\bruch{1}{2}(e^{t}+e^{-t}) dt}[/mm]
>
> =
> [mm]\bruch{1}{2}\integral_{}^{}{\bruch{e^{t}+e^{-t}}{\wurzel{1+\bruch{1}{4}(e^{t}-e^{-t})^{2}}} dt}[/mm]
>
> Wie muss ich weitermachen, um zum Ergebnis zu kommen?
Erweitere den Integranden mit [mm]\bruch{e^{t}}{e^{t}}[/mm]
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:41 Do 26.02.2009 | | Autor: | richie90 |
| Aufgabe | Als Stammfunktion habe ich nun raus:
[mm] \integral_{}^{}{f(x) dx} [/mm] = t |
Kann das richtig sein? Und wie substituiere ich das jetzt wieder zurück?
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Hallo Richie,
> Als Stammfunktion habe ich nun raus:
>
> [mm]\integral_{}^{}{f(x) dx}[/mm] = t ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Kann das richtig sein? Und wie substituiere ich das jetzt
> wieder zurück?
Mit deiner Substitution [mm] $x=\frac{1}{2}\cdot{}\left(e^{t}-e^{-t}\right)=\sinh(t)$ [/mm] ist [mm] $t=\sinh^{\text{invers}}(x)=arsinh(x)$
[/mm]
(Areasinus hyperbolicus)
Das kannst du auch durch den [mm] $\ln$ [/mm] ausdrücken (was hier bestimmt gemeint ist), wenn du die Definition [mm] $x=\frac{1}{2}\cdot{}\left(e^{t}-e^{-t}\right)$ [/mm] hernimmst und nach $t$ auflöst ...
Versuche mal, ob du das hinbekommst; falls du irgendwo hängen bleibst, poste deinen Ansatz.
Ein Tipp noch: bedenke, dass [mm] $\ln$ [/mm] und die e-Funktion Umkehrfunktionen zueinander sind
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:07 Do 26.02.2009 | | Autor: | richie90 |
| Aufgabe | x = [mm] \bruch{1}{2}(e^{t}-e^{-t})
[/mm]
2x = [mm] e^{t}-e^{-t} [/mm] |
An der Stelle komme ich jetzt nicht weiter, weil mir keine Logarithmen-Regel bekannt ist, wie ich das nach t auflösen kann.
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Hallo nochmal,
> x = [mm]\bruch{1}{2}(e^{t}-e^{-t})[/mm]
> 2x = [mm]e^{t}-e^{-t}[/mm]
guter Anfang, multipliziere nun die Gleichung (also beide Seiten) mit [mm] $e^t$, [/mm] dann bringe alles auf eine Seite, so dass du $.....=0$ hast
Dann quadratische Ergänzung und du kommst drauf
> An der Stelle komme ich jetzt nicht weiter, weil mir keine
> Logarithmen-Regel bekannt ist, wie ich das nach t auflösen
> kann.
Das geht auch direkt noch nicht, forme erst gem. dem Tipp oben um
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:46 Do 26.02.2009 | | Autor: | richie90 |
| Aufgabe | x = [mm] \bruch{1}{2}(e^{t}-e^{-t})
[/mm]
[mm] \gdw [/mm] 2x = [mm] e^{t}-e^{-t}
[/mm]
[mm] \gdw 2x\*e^{t} [/mm] = [mm] e^{2t}-1
[/mm]
[mm] \gdw e^{2t}-2x\*e^{t}-1 [/mm] = 0
Nun habe ich versucht mit p-q-Formel nach [mm] e^{t} [/mm] aufzulösen.
[mm] e^{t} [/mm] = [mm] x\pm\wurzel{x^{2}+1}
[/mm]
[mm] \gdw e^{t} [/mm] = [mm] x+\wurzel{x^{2}+1} \vee e^{t} [/mm] = [mm] x-\wurzel{x^{2}+1}
[/mm]
[mm] \gdw [/mm] t = [mm] ln(x+\wurzel{x^{2}+1}) \vee [/mm] t = [mm] ln(x-\wurzel{x^{2}+1}) [/mm] |
Jetzt weiß ich nicht, welche quadratische Ergänzung ich nehmen muss, und was sie mir bringen soll.
Hab versucht mit p-q-Formel nach [mm] e^{t} [/mm] aufzulösen, das klappte auch, nur irgendwie ist das kein befriedigendes Ergebnis.
Oder ist es doch richtig?
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Hallo nochmal,
> x = [mm]\bruch{1}{2}(e^{t}-e^{-t})[/mm]
> [mm]\gdw[/mm] 2x = [mm]e^{t}-e^{-t}[/mm]
> [mm]\gdw 2x\*e^{t}[/mm] = [mm]e^{2t}-1[/mm]
> [mm]\gdw e^{2t}-2x\*e^{t}-1[/mm] = 0
>
> Nun habe ich versucht mit p-q-Formel nach [mm]e^{t}[/mm]
> aufzulösen.
auch eine gute Idee neben der quadr. Ergänzung 
>
> [mm]e^{t}[/mm] = [mm]x\pm\wurzel{x^{2}+1}[/mm]
> [mm]\gdw e^{t}[/mm] = [mm]x+\wurzel{x^{2}+1} \vee e^{t}[/mm] =[mm]x-\wurzel{x^{2}+1}[/mm] ![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
Bis hierhin ist's super!
Nun musst du aufpassen, wenn du den [mm] $\ln$ [/mm] draufschmeißt, der ist ja nur für positive Argumente definiert, du darfst also nicht Negatives oder Null reinstecken in den [mm] $\ln$
[/mm]
Du weißt, dass [mm] $e^t$ [/mm] immer positiv ist, aber was ist mit [mm] $x-\sqrt{x^2+1}$
[/mm]
Das ist doch sicher negativ, denn [mm] $x^2+1>x^2$ [/mm] und damit [mm] $\sqrt{x^2+1}>\sqrt{x^2}=x$
[/mm]
Also ist [mm] $e^t=x-\sqrt{x^2+1}<0$, [/mm] das kann nicht sein. [mm] ($e^t$ [/mm] ist ja immer >0)
Es kann also nur der erste Fall ein sinnvolles Ergebnis liefern, auf das du dann schließlich - wie geschehen - den [mm] $\ln$ [/mm] draufschmeißen kannst
> [mm]\gdw[/mm] t = [mm]ln(x+\wurzel{x^{2}+1}) \vee[/mm] t =[mm]ln(x-\wurzel{x^{2}+1})[/mm]
> Jetzt weiß ich nicht, welche quadratische Ergänzung ich
> nehmen muss, und was sie mir bringen soll.
> Hab versucht mit p-q-Formel nach [mm]e^{t}[/mm] aufzulösen, das
> klappte auch, nur irgendwie ist das kein befriedigendes
> Ergebnis.
> Oder ist es doch richtig?
Doch doch, alles super, du bist hautnah dran
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:07 Do 26.02.2009 | | Autor: | richie90 |
Du sagst ich sei hautnah dran?
D.h. das Ergebnis t = [mm] x+\wurzel{x^{2}+1} [/mm] kann man noch vereinfachen?
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Hallo nochmal,
> ...
> Du sagst ich sei hautnah dran?
> D.h. das Ergebnis t = [mm]x+\wurzel{x^{2}+1}[/mm] kann man noch
> vereinfachen?
Du hast vergessen, den [mm] $\ln$ [/mm] mit aufzuschreiben, die richtige Lösung ist deine erstere oben, also
[mm] $t=\ln\left(x+\sqrt{x^2+1}\right)$
[/mm]
Und das lässt sich auch nicht weiter zusammenfassen oder vereinfachen
Deine mit der Substitution errechnete Stammfunktion in der Variablen t war $F(t)=t$
Also [mm] $F(x)=\ln\left(x+\sqrt{x^2+1}\right)$ [/mm] (+c : Integrationskonstante)
Und das ist eine alternative Schreibweise für den oben angesprochenen $arsinh(x)$ (Areasinus hyperbolicus)
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:22 Do 26.02.2009 | | Autor: | richie90 |
Alles klar.
Vielen Dank für deine Mühe!
Mit freundlichen Grüßen,
Richie
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:57 Do 26.02.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo richie!
Einfacher wird es, wenn Du folgende Definitionen verwendest:
[mm] $$\sinh(t) [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{2}*\left(e^t-e^{-t}\right)$$
[/mm]
[mm] $$\cosh(t) [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{2}*\left(e^t+e^{-t}\right)$$
[/mm]
Dann gilt auch:
[mm] $$\left[ \ \sinh(t) \ \right]' [/mm] \ = \ [mm] \cosh(t)$$
[/mm]
[mm] $$\cosh^2(t)-\sinh^2(t) [/mm] \ = \ 1$$
(siehe auch ![[]](/images/popup.gif) hier)
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:54 Do 26.02.2009 | | Autor: | richie90 |
Diese Definitionen haben wir im Unterricht noch nicht besprochen.
Deshalb lasse ich da erstmal die Finger von ;)
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