Integrieren in Vektorräumen < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Auf dem Vektorraum V:= [mm] C([0,2\pi]) [/mm] ist durch
<f,g> = [mm] \integral_{0}^{2\pi}{f(x)g(x) dx}
[/mm]
ein Skalarprodukt definieret.
Zeigen Sie, dass für beliebiges n [mm] \in \IN [/mm] die Menge
[mm] {\frac{1}{\sqrt{2\pi}},\frac{1}{\sqrt{\pi}}sin(x),\frac{1}{\sqrt{\pi}}cos(x),\frac{1}{\sqrt{\pi}}sin(2x),\frac{1}{\sqrt{\pi}}cos(2x),...,\frac{1}{\sqrt{\pi}}sin(nx),\frac{1}{\sqrt{\pi}}cos(nx)
}
[/mm]
eine Orthonormalsystem von V bildet.
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Hi,
also wenn es ein Orthonormalsystem sein soll, müssen ja alle Vektoren in der Menge orthogonal sein, d.h. deren Skalarprodukt muss 0 sein. D.h. ich setze einfach die Elemente ein und zeige das für jegliches Skalarprodukt immer 0 rauskommt.
Muss ich jetzt auch zeigen das die Vektoren normiert sind, weil es ein OrthoNORMALsystem ist?
Snafu
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Hallo,
> Auf dem Vektorraum V:= [mm]C([0,2\pi])[/mm] ist durch
> <f,g> = [mm]\integral_{0}^{2\pi}{f(x)g(x) dx}[/mm]
>
> ein Skalarprodukt definieret.
> Zeigen Sie, dass für beliebiges n [mm]\in \IN[/mm] die Menge
> [mm]{\frac{1}{\sqrt{2\pi}},\frac{1}{\sqrt{\pi}}sin(x),\frac{1}{\sqrt{\pi}}cos(x),\frac{1}{\sqrt{\pi}}sin(2x),\frac{1}{\sqrt{\pi}}cos(2x),...,\frac{1}{\sqrt{\pi}}sin(nx),\frac{1}{\sqrt{\pi}}cos(nx)
}[/mm]
>
> eine Orthonormalsystem von V bildet.
>
> Hi,
>
> also wenn es ein Orthonormalsystem sein soll, müssen ja
> alle Vektoren in der Menge orthogonal sein, d.h. deren
> Skalarprodukt muss 0 sein. D.h. ich setze einfach die
> Elemente ein und zeige das für jegliches Skalarprodukt
> immer 0 rauskommt.
Genau. Für paarweise verschiedene Elemente der Menge muss als Skalarprodukt 0 rauskommen.
> Muss ich jetzt auch zeigen das die Vektoren normiert sind,
> weil es ein OrthoNORMALsystem ist?
Ja. Bei gleichem f und g muss also beim Skalarprodukt "1" rauskommen.
Grüße,
Stefan
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Hi,
ich das mit der Orthogonalität ist doch schwieriger als ich dachte. Kann ich das allgmein zeigen hier, oder muss ich alle Vektoren mit allen andern durch gehen. Ich muss ja dann sowohl [mm] \frac{1}{\sqrt{2\pi}} [/mm] mit [mm] \frac{1}{\sqrt{\pi}}sin(x) [/mm] als auch [mm] \frac{1}{\sqrt{2\pi}} [/mm] mit [mm] \frac{1}{\sqrt{\pi}}cos(x) [/mm] zeigen, und die Integrale verändern sich auch durch einen Faktor k im Argument von sinus oder Kosinus??
Snafu
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Hallo!
> Hi,
>
> ich das mit der Orthogonalität ist doch schwieriger als
> ich dachte. Kann ich das allgmein zeigen hier, oder muss
> ich alle Vektoren mit allen andern durch gehen.
Wann willst du dann fertig werden  ?
> Ich muss
> ja dann sowohl [mm]\frac{1}{\sqrt{2\pi}}[/mm] mit
> [mm]\frac{1}{\sqrt{\pi}}sin(x)[/mm] als auch [mm]\frac{1}{\sqrt{2\pi}}[/mm]
> mit [mm]\frac{1}{\sqrt{\pi}}cos(x)[/mm] zeigen, und die Integrale
> verändern sich auch durch einen Faktor k im Argument von
> sinus oder Kosinus??
Am wichtigsten ist, dass sinus und cosinus eine Periode von [mm] 2\pi [/mm] haben.
Betrachte 2 Fälle:
1. [mm] \frac{1}{\sqrt{2*\pi}} [/mm] mit allen anderen Winkelfunktionen
2. paarweise verschiedene Winkelfunktionen
Zu 2.):
Seien [mm] m,n\in\IN [/mm] (m,n > 0). Dann ist mit partieller Integration (wenn ich mich nicht verrechnet habe):
[mm] $\int_{0}^{2*\pi}\sin(n*x)*\cos(m*x) [/mm] dx = [mm] \left[-\frac{1}{n}*\cos(n*x)*\cos(m*x)\right]_{0}^{2*\pi} [/mm] - [mm] \int_{0}^{2*\pi}\frac{m}{n}*\cos(n*x)*\sin(m*x) [/mm] dx$
Nun nochmal auf das hintere Integral partielle Integration anwenden, und zwar nochmal [mm] \cos(n*x) [/mm] integrieren und [mm] \sin(m*x) [/mm] ableiten!
Dann kannst du das auf der rechten Seite entstehende Integral auf die linke Seite bringen, und etwas über das Ausgangsintegral [mm] $\int_{0}^{2*\pi}\sin(n*x)*\cos(m*x) [/mm] dx$ aussagen.
Alle anderen Orthogonalitätsbeweise funktionieren ähnlich mit partieller Integration.
Grüße,
Stefan
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Hi,
ok für die Korrektur: :) ich mach weiter wo du aufgehört hast:
Seien [mm] m,n\in\IN [/mm] (m,n > 0). Dann ist mit partieller Integration (wenn ich mich nicht verrechnet habe):
[mm] $\int_{0}^{2*\pi}\sin(n*x)*\cos(m*x) [/mm] dx = [mm] \left[-\frac{1}{n}*\cos(n*x)*\cos(m*x)\right]_{0}^{2*\pi} [/mm] - [mm] \int_{0}^{2*\pi}\frac{m}{n}*\cos(n*x)*\sin(m*x) [/mm] dx$
[mm] =\left[-\frac{1}{n}*\cos(n*x)*\cos(m*x)\right]_{0}^{2*\pi} [/mm] - [mm] \left[\frac{m}{n^2}*\sin(n*x)*\sin(m*x)\right]_{0}^{2*\pi} [/mm] + [mm] \int_{0}^{2*\pi}\frac{m^2}{n^2}*\sin(n*x)*\cos(m*x) [/mm] dx
<=> [mm] (1-\frac{m^2}{n^2})\int_{0}^{2*\pi}\sin(n*x)*\cos(m*x) [/mm] dx = [mm] \left[-\frac{1}{n}*\cos(n*x)*\cos(m*x)\right]_{0}^{2*\pi} [/mm] - [mm] \left[\frac{m}{n^2}*\sin(n*x)*\sin(m*x)\right]_{0}^{2*\pi} [/mm]
<=>
[mm] \int_{0}^{2*\pi}\sin(n*x)*\cos(m*x) [/mm] dx =- [mm] \left[\frac{1}{n}*\cos(n*2\pi)*\cos(m*2\pi) -\frac{1}{n}*\cos(0)*\cos(0) \right] [/mm] - [mm] \left[\frac{m}{n^2}*\sin(n*2\pi)*\sin(m*2\pi) - 0\right] \frac{1}{1-\frac{m^2}{n^2}} [/mm] = 0
Fehler?
Snafu
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Hallo,
> Hi,
>
> ok für die Korrektur: :) ich mach weiter wo du aufgehört
> hast:
> Seien [mm]m,n\in\IN[/mm] (m,n > 0). Dann ist mit partieller
> Integration (wenn ich mich nicht verrechnet habe):
>
> [mm]\int_{0}^{2*\pi}\sin(n*x)*\cos(m*x) dx = \left[-\frac{1}{n}*\cos(n*x)*\cos(m*x)\right]_{0}^{2*\pi} - \int_{0}^{2*\pi}\frac{m}{n}*\cos(n*x)*\sin(m*x) dx[/mm]
> [mm]=\left[-\frac{1}{n}*\cos(n*x)*\cos(m*x)\right]_{0}^{2*\pi}[/mm]
> -
> [mm]\left[\frac{m}{n^2}*\sin(n*x)*\sin(m*x)\right]_{0}^{2*\pi}[/mm]
> + [mm]\int_{0}^{2*\pi}\frac{m^2}{n^2}*\sin(n*x)*\cos(m*x)[/mm] dx
> <=> [mm](1-\frac{m^2}{n^2})\int_{0}^{2*\pi}\sin(n*x)*\cos(m*x)[/mm]
> dx =
> [mm]\left[-\frac{1}{n}*\cos(n*x)*\cos(m*x)\right]_{0}^{2*\pi}[/mm] -
> [mm]\left[\frac{m}{n^2}*\sin(n*x)*\sin(m*x)\right]_{0}^{2*\pi}[/mm]
> <=>
> [mm]\int_{0}^{2*\pi}\sin(n*x)*\cos(m*x)[/mm] dx =-
> [mm]\left[\frac{1}{n}*\cos(n*2\pi)*\cos(m*2\pi) -\frac{1}{n}*\cos(0)*\cos(0) \right][/mm]
> - [mm]\left[\frac{m}{n^2}*\sin(n*2\pi)*\sin(m*2\pi) - 0\right] \frac{1}{1-\frac{m^2}{n^2}}[/mm]
> = 0
> Fehler?
Dürfte soweit alles richtig sein. Falls du das aufschreiben musst, solltest du aber [mm] [...]_{0}^{2*\pi} [/mm] immer gleich ausrechnen und nicht durch die Rechnung schleppen, da kommt immer 0 raus (wegen der [mm] 2\pi [/mm] - Periodizität von Sinus und Cosinus).
Aber Achtung: Deine Rechnung geht natürlich nur für $n [mm] \not [/mm] = m$ (Warum?)
Im Falle n = m kannst du aber schon an Anfang schreiben: [mm] $\sin(n*x)*\cos(m*x) [/mm] = [mm] \sin(n*x)*\cos(n*x) [/mm] = [mm] \frac{1}{2}*\sin(2*n*x)$ [/mm] und damit bequem das Integral sofort ausrechnen.
Bleiben noch die Integrale
[mm] $\int_{0}^{2*\pi} \sin(n*x)*\sin(m*x) [/mm] dx$ und [mm] $\int_{0}^{2*\pi} \cos(n*x)*\cos(m*x) [/mm] dx$.
und die mit der konstanten Funktion.
Bedenke bei obigen Integralen, dass du für n = m den Wert "1" erwartest!
Grüße,
Stefan
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Hi,
kann man sin(nx)sin(mx) , [mm] m\not=n [/mm] vereinfachen?
Snafu
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Hallo,
> kann man sin(nx)sin(mx) , [mm]m\not=n[/mm] vereinfachen?
Zumindest nicht für die Aufgabe gewinnbringend.
Integriere hier wieder doppelt partiell.
Wenn du dir etwas Arbeit sparen möchtest, kannst du auch [mm] \sin(n*x)*\sin(m*x) [/mm] einmal partiell integrieren und [mm] \cos(n*x)*\cos(m*x) [/mm] einmal partiell integrieren und die Erkenntnisse der zweiten Integration in die erste einsetzen und umgekehrt.
Grüße,
Stefan
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Hi,
so nun bin ich bein [mm] <\frac{1}{\sqrt{\pi}}sin(nx),\frac{1}{\sqrt{\pi}}sin(mx)> [/mm] , n=m
dann kriege ich ja [mm] \frac{1}{\sqrt{\pi}}\int_{0}^{2\pi}sin^2(nx)dx [/mm]
wenn ich subst. u=nx , dann krige ich einen Kosinus im Nenner, da hilft mir nicht weiter....
Was meintest du mir ich muss 1 ertwarten bei n=m?Das habe ich nicht ganz verstanden?
Snafu
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Hallo,
> Hi,
>
> so nun bin ich bein
> [mm]<\frac{1}{\sqrt{\pi}}sin(nx),\frac{1}{\sqrt{\pi}}sin(mx)>[/mm] ,
> n=m
> dann kriege ich ja
> [mm]\frac{1}{\sqrt{\pi}}\int_{0}^{2\pi}sin^2(nx)dx[/mm]
> wenn ich subst. u=nx , dann krige ich einen Kosinus im
> Nenner, da hilft mir nicht weiter....
Wieso das? Das ist doch eine völlig harmlose Substitution, da bekommst du doch nie einen Kosinus in den Nenner!
Du hast zwei Möglichkeiten:
1. Entweder du kennst das Integral von [mm] \sin^{2}(x) [/mm] und rechnest die Substitution nochmal richtig durch
2. Du nutzt wieder partielle Integration. Nutze dazu die Formel nach einmal partiell Integrieren, die du vorher für die Integration von [mm] \sin(m*x)*\sin(n*x) [/mm] bekommen hast. Das Integral auf der rechten Seite beinhaltet ja [mm] \cos(m*x)*\cos(n*x), [/mm] im Fall n = m als [mm] $\cos^{2}(n*x) [/mm] = [mm] 1-\sin^{2}(n*x)$. [/mm] Schiebe das Integral von [mm] \sin^{2}(n*x) [/mm] wieder auf die linke Seite und du erhältst ein Wert für das gesuchte Integral.
> Was meintest du mir ich muss 1 ertwarten bei n=m?Das habe
> ich nicht ganz verstanden?
Bedenke, dass du zeigen willst, dass diese ganzen Funktionen ein Orthogonalsystem bilden. Insbesondere müssen also gleiche Funktionen miteinander skalarmultipliziert 1 ergeben.
Du erwartest also
[mm] <\frac{1}{\sqrt{\pi}}sin(nx),\frac{1}{\sqrt{\pi}}sin(mx)> [/mm] = 1
im Falle n = m.
Grüße,
Stefan
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Hi,
irgendwas ist falsch:
[mm] \frac{1}{\pi}\int_{0}^{2\pi}sin^2(nx)dx =\frac{1}{\pi} [/mm] = [mm] \frac{1}{\pi}( -\frac{cos(nx)sin(nx)}{n}|_0^{2\pi} [/mm] - [mm] \int_0^{2\pi}-cos^2(nx)dx)
[/mm]
= [mm] \frac{1}{\pi}(0 [/mm] + [mm] \int_0^{2\pi}cos^2(nx)dx) =\frac{1}{\pi}\int_0^{2\pi}1 -sin^2(nx)dx [/mm] = [mm] \frac{1}{\pi}\int_0^{2\pi}1 [/mm] - [mm] \frac{1}{\pi}\int_0^{2\pi}sin^2(nx)dx
[/mm]
[mm] <=>\frac{2}{\pi}\int_0^{2\pi}sin^2(nx)dx [/mm] = 2
[mm] <=>\frac{1}{\pi}\int_0^{2\pi}sin^2(nx)dx [/mm] = 1
ha! beim Aufschreiben hat geklapt! So passts jetzt oder?Das zeigt mir das diese Vektoren normiert sind,oder? D.h. ich muss dass noch mit cos und dem 1. Term machen?
Snafu
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:54 So 04.07.2010 | | Autor: | SnafuBernd |
Danke!Danke!Danke!
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