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Hallo,
habe ich das Lagrange - Verfahren richtig verstanden??
3 Interpolationspunkte sind gegeben.. [mm](x0,y0)(x1,y1) usw.
Ich berehcne doch zunächst die Grundpolynome:
[mm]l_o = \bruch{(x-x1)(x-x2)(x-x3)}{(x0-x1)(x0-x2)(x0-x3)}[/mm]
[mm]l_1 = \bruch{(x-x0)(x-x2)(x-x3)}{(x1-x0)(x1-x2)(x1-x3)}[/mm]
[mm]l_2 = \bruch{(x-x0)(x-x1)(x-x3)}{(x2-x0)(x2-x1)(x2-x3)}[/mm]
[mm]l_3 = \bruch{(x-x0)(x-x1)(x-x2)}{(x3-x0)(x3-x1)(x3-x2)}[/mm]
und was mache ich anshcließend, wenn ich [mm] y_i [/mm] suchen soll (i=0...3)??
Danke
Grüsse
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:11 Fr 03.06.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo Fruchtsaft!
> habe ich das Lagrange - Verfahren richtig verstanden??
>
> 3 Interpolationspunkte sind gegeben.. [mm](x0,y0)(x1,y1) usw.
Ich berechne doch zunächst die Grundpolynome:
[mm]l_o = \bruch{(x-x1)(x-x2)(x-x3)}{(x0-x1)(x0-x2)(x0-x3)}[/mm]
[mm]l_1 = \bruch{(x-x0)(x-x2)(x-x3)}{(x1-x0)(x1-x2)(x1-x3)}[/mm]
[mm]l_2 = \bruch{(x-x0)(x-x1)(x-x3)}{(x2-x0)(x2-x1)(x2-x3)}[/mm]
[mm]l_3 = \bruch{(x-x0)(x-x1)(x-x2)}{(x3-x0)(x3-x1)(x3-x2)}[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") , alles richtig! ![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
Das Interpolationspolynom sieht jetzt so aus:
$p(x) = [mm] y_0 \cdot l_0 [/mm] + [mm] y_1 \cdot l_1 [/mm] + [mm] y_2 \cdot l_2 [/mm] + [mm] y_3 \cdot l_3$.
[/mm]
Dieses Polynom ist ein Polynom vierten Grades und erfüllt:
[mm] $p(x_i)=y_i$ [/mm] für $i=0,1,2,3$.
Allgemein hat das Lagrangesche Interpolationspolynom zu den Stützpunkten [mm] $(x_0,y_0)$, $(x_1,y_1)$, $\ldots$, $(x_n,y_n)$ [/mm] die folgende Form:
$p(x) = [mm] \sum\limits_{i=0}^n y_i \cdot \prod\limits_{{j=0} \atop {j \ne i}}^n \frac{x-x_j}{x_i-x_j}$.
[/mm]
Liebe Grüße
Stefan
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Danke für die Darstellung.. Ist ja ne ziemliche Rechnerei... 
Im dem Script wird des Weiteren von der Newtondarstellung gesprochen. Wie rechne ich selbiges mit der Newtondarstellung?
Und ist die Newtondarstellung etwas gänzlich anderes oder sollte ich dasselbe Ergebnis erhalten wie mit der Lagrange-Darstellung??
Danke
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:54 Di 07.06.2005 | | Autor: | Micha |
Hallo!
Du erhaelst nicht ganz das gleiche Ergebnis, weil dich bei der Lagrange-Interpolation nur der interpolierte Wert an einer Stelle interessiert, waehrend du bei dem Newtonverfahren (Verfahren der dividierten Differenzen) die Koeffizienten fuer das Interpolationspolynom explizit berechnest.
Von daher ist das Ergbnis nicht genau das gleiche, aber wegen der Eindeutigkeit der (Interpolztions-)Polynome erhaelst du das gleiche Ergebnis, vorausgesetzt du hast alles richtig eingesetzt.
Brauchst du das Verfahren der dividierten Differenzen (Newtonverfahren) nochmal ganz genau oder genuegt dir die Erklaerung erstmal?
Sonst schau vielleicht mal bei google, da gibt es auch was zu dem Thema... z.B. hier: http://www.fachschaften.uni-bielefeld.de/~fsmathe/skripte/numskript.ps
Gruss Micha
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:33 Di 07.06.2005 | | Autor: | Fruchtsaft |
Alles klar, Danke..
Das genügt mir schon zu wissen.
Grüsse
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