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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:01 Mi 13.11.2019 | | Autor: | Steve96 |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Guten Abend, ich möchte gerne den Beweis eines Satzes aus unserer Vorlesung verstehen. Ich habe dazu ein paar Fragen. Wäre super, wenn jemand sie beantworten würde! :-D
Behauptung
___________
Im Folgenden bezeichne $\overline{(x_{0}, \ldots, x_{n}, x)}$ das kleinste Intervall, das alle in den Klammern eingeschlossenen Punkte enthält
Sei $f \in C^{n + 1} [a, b]$. Dann gibt es zu jedem $x \in [a, b ]$ ein $c_{x} \in \overline{(x_{0}, \ldots, x_{n}, x)}$, so dass gilt:
$f(x) - p(x) = \frac{f^{n + 1} (c_{x})}{(n + 1)!} \cdot \prod_{j = 0}^{n} (x - x_{j})$
Beweis
______
Sei $x \in [a, b] \setminus \{x_{0}, \ldots, x_{n} \}$
Betrachte die Funktion $F(t) = f(t) - p(t) - c(x) \cdot l(t)$, wobei $l(t) := \prod_{j = 0}^{n} (t - x_{j})$ und $c(x) :=\frac{f(x) - p(x)}{c(x)}$
Diese Funktion hat mindestens die $ n + 2$ Nullstellen $x_{0}, \ldots, x_{n}, x \in [a, b]$.
Durch wiederholte Anwendung des Satzes von Rolle erschließt man, dass dann die Ableitung $F^{n + 1)$ eine Nullstelle $c_{x} \in \overline{(x_{0}, \ldots, x_{n}, x)}$ hat.
Mit $ 0 = F^{n + 1}(c_{x}) = f^{n + 1}(c_{x}) -p^{n + 1}(c_{x}) - c(x) \cdot l^{n + 1}(c_{x}) = f^{n + 1}(c_{x}) - c(x) \cdot (n + 1)!$ folgt die Behauptung.
Meine Fragen
___________
1.) Warum braucht man überhaupt die Menge $\overline{(x_{0}, \ldots, x_{n}, x)}$ ? Hat das eine tiefere Bedeutung oder warum wird da nicht einfach das Intervall $[a, b]$ genommen?
2.) $F(t)$ hängt von $t$ ab. Aber $F(t)$ enthält auch $c(x) \cdot l(t)$ und $c(x)$ hängt von $x$ ab. Hängt dann $F(t)$ nicht dann von $(t, x)$ ab? Oder wie genau soll ich das verstehen?
3.) Warum hat $F(t)$ die $ n + 2$ Nullstellen $x_{0}, \ldots, x_{n}, x \in [a, b]$? Dass $F(t)$ die $n + 1$ Nullsten $x_{0}, \ldots, x_{n}$ besitzt, ist mir klar. Aber warum ist $x$ auch eine Nullstelle? Und $x$ ist allgemein, also hat (nach meinem Verständnis) die Funktion $F(t)$ unendlich viele Nullstellen, was nicht sein kann.
4.) Warum gilt die Gleichung $f^{n + 1}(c_{x}) - p^{n + 1}(c_{x}) - c(x) \cdot l^{n + 1}(c_{x}) = f^{n + 1}(c_{x}) - c(x) \cdot (n + 1)!$?
warum verschwindet $p^{n + 1}(c_{x}$ ? Und warum genau ist $(c_{x}) - c(x) \cdot l^{n + 1}(c_{x}) = c(x) \cdot (n + 1)!$ ? Ich komme nicht darauf, wenn ich die Ableitungen bilde...
Das wäre alles. Würde mich freuen, wenn jemand Lust hätte, mir zu helfen :)
lg, Steve
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hiho,
> Betrachte die Funktion [mm]F(t) = f(t) - p(t) - c(x) \cdot l(t)[/mm],
> wobei [mm]l(t) := \prod_{j = 0}^{n} (t - x_{j})[/mm] und [mm]c(x) :=\frac{f(x) - p(x)}{c(x)}[/mm]
Die Definition von c(x) macht keinen Sinn, das wäre ein Zirkelschluss, wenn man c(x) durch sich selbst definieren will.
Ich vermute es soll heißen: [mm]c(x) :=\frac{f(x) - p(x)}{l(x)}[/mm]
> 1.) Warum braucht man überhaupt die Menge
> [mm]\overline{(x_{0}, \ldots, x_{n}, x)}[/mm] ? Hat das eine tiefere
> Bedeutung oder warum wird da nicht einfach das Intervall
> [mm][a, b][/mm] genommen?
Naja, was würdest du nützlicher finden: Die Aussage "Die Funktion hat eine Nullstelle auf [mm] \IR$" [/mm] oder "Die Funktion hat eine Nullstelle auf [0,1]".
Das Intervall [mm]\overline{(x_{0}, \ldots, x_{n}, x)}[/mm] ist unter Umständen deutlich kleiner als $[a,b]$, damit ist die Aussage des Satzes eben stärker, als wenn da nur [a,b] stünde.
> 2.) [mm]F(t)[/mm] hängt von [mm]t[/mm] ab. Aber [mm]F(t)[/mm] enthält auch [mm]c(x) \cdot l(t)[/mm] und [mm]c(x)[/mm] hängt von [mm]x[/mm] ab. Hängt dann [mm]F(t)[/mm] nicht dann von [mm](t, x)[/mm] ab?
Davor steht ja: Sei $ x [mm] \in [/mm] [a, b] [mm] \setminus \{x_{0}, \ldots, x_{n} \} [/mm] $
D.h. bei der Definition von F ist x schon fest gewählt.
D.h. dein F(t) ist sowas wie ein [mm] $F_x(t)$.
[/mm]
Für jedes x sieht F ein bisschen anders aus.
> 3.) Warum hat [mm]F(t)[/mm] die [mm]n + 2[/mm] Nullstellen [mm]x_{0}, \ldots, x_{n}, x \in [a, b][/mm]?
> Dass [mm]F(t)[/mm] die [mm]n + 1[/mm] Nullsten [mm]x_{0}, \ldots, x_{n}[/mm] besitzt,
> ist mir klar. Aber warum ist [mm]x[/mm] auch eine Nullstelle? Und [mm]x[/mm]
> ist allgemein, also hat (nach meinem Verständnis) die
> Funktion [mm]F(t)[/mm] unendlich viele Nullstellen, was nicht sein
> kann.
Dass x Nullstelle von F ist, sieht man einfach, wenn man mal F(x) hinschreibt…
Und zu der anderen Frage: Siehe oben.
> warum verschwindet [mm]p^{n + 1}(c_{x})[/mm] ?
Was ist denn p für eine Funktion?
Was passiert, wenn man sowas n+1-mal ableitet?
> Und warum genau ist [mm] c(x) \cdot l^{n + 1}(c_{x}) = c(x) \cdot (n + 1)![/mm]
Gleiche Frage wie oben: Was ist denn l für eine Funktion?
Was passiert, wenn man sowas n+1-mal ableitet?
Bei beiden Fragen brauchst du die Ableitungen gar nicht wirklich konkret hinzuschreiben (viel zu viel Schreibarbeit), sondern einfach kurz überlegen.
Gruß,
Gono
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:16 Do 14.11.2019 | | Autor: | Steve96 |
> Die Definition von c(x) macht keinen Sinn, das wäre ein
> Zirkelschluss, wenn man c(x) durch sich selbst definieren
> will.
> Ich vermute es soll heißen: [mm]c(x) :=\frac{f(x) - p(x)}{l(x)}[/mm]
Ah ja, sorry. Es heißt $c(x) [mm] :=\frac{f(x) - p(x)}{l(x)}$. [/mm] War gestern Abend wohl nicht mehr aufmerksam genug.
> Naja, was würdest du nützlicher finden: Die Aussage "Die
> Funktion hat eine Nullstelle auf [mm]\IR$"[/mm] oder "Die Funktion
> hat eine Nullstelle auf [0,1]".
> Das Intervall [mm]\overline{(x_{0}, \ldots, x_{n}, x)}[/mm] ist
> unter Umständen deutlich kleiner als [mm][a,b][/mm], damit ist die
> Aussage des Satzes eben stärker, als wenn da nur [a,b]
> stünde.
Hmmm okay, das macht Sinn. Aber man bräuchte es eigentlich nicht, stimmt's?
> > 2.) [mm]F(t)[/mm] hängt von [mm]t[/mm] ab. Aber [mm]F(t)[/mm] enthält auch [mm]c(x) \cdot l(t)[/mm]
> und [mm]c(x)[/mm] hängt von [mm]x[/mm] ab. Hängt dann [mm]F(t)[/mm] nicht dann von
> [mm](t, x)[/mm] ab?
> Davor steht ja: Sei [mm]x \in [a, b] \setminus \{x_{0}, \ldots, x_{n} \}[/mm]
>
> D.h. bei der Definition von F ist x schon fest gewählt.
> D.h. dein F(t) ist sowas wie ein [mm]F_x(t)[/mm].
> Für jedes x sieht F ein bisschen anders aus.
Achso, also ist $F(t)$ eine Funktionenschar? Darauf hätte ich kommen können.... Danke dir. Dann macht das Sinn.
Und dass $x$ eine Nullstelle von [mm] $F_{x}(t)$ [/mm] ist, habe ich auch eingesehen. Gestern habe ich das nicht erkannt, weil ich die ganze Zeit unbewusst $l(x)$ mit $c(x)$ verwechselt habe.
> > warum verschwindet [mm]p^{n + 1}(c_{x})[/mm] ?
> Was ist denn p für eine Funktion?
> Was passiert, wenn man sowas n+1-mal ableitet?
$p$ ist das Interpolationspolynom, das die Punkte [mm] $(x_{i}, y_{i})$ [/mm] für $i = 0, [mm] \ldots, [/mm] n$ interpoliert. und dieses Polynom ist eben so gebaut, dass $deg(p) [mm] \le [/mm] n$ ist. Also ist dann [mm] $p^{n + 1} [/mm] = 0$.
> > Und warum genau ist [mm]c(x) \cdot l^{n + 1}(c_{x}) = c(x) \cdot (n + 1)![/mm]
> Gleiche Frage wie oben: Was ist denn l für eine Funktion?
> Was passiert, wenn man sowas n+1-mal ableitet?
>
> Bei beiden Fragen brauchst du die Ableitungen gar nicht
> wirklich konkret hinzuschreiben (viel zu viel
> Schreibarbeit), sondern einfach kurz überlegen.
Bei der Funktion $l$ habe ich immer noch keine Idee...
Ich habe doch $l(t) = (t - [mm] x_{0}) \cdot [/mm] (t - [mm] x_{1}) \cdot \ldots \cdot [/mm] (t - [mm] x_{n})$. [/mm] Ohne das alles auszumultiplizieren, fällt mir sonst keine Idee ein :/
lg, Steve
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Hiho,
> Hmmm okay, das macht Sinn. Aber man bräuchte es eigentlich nicht, stimmt's?
Was heißt "brauchen"? Das kommt drauf an, was man zeigen will.
Du könntest natürlich den Beweis auch führen für [mm] $c_x \in [/mm] [a,b]$, das wäre aber eine schwächere Aussage!
> Achso, also ist [mm]F(t)[/mm] eine Funktionenschar?
Hm nein. F ist eine einzelne Funktion, die aber erst gewählt wird, wenn x bereits feststeht.
"Funktionenschar" trifft es daher nicht ganz, weil es eben ein einzelnes x ist… für deine Vorstellung passt das aber.
> [mm]p[/mm] ist das Interpolationspolynom, das die Punkte [mm](x_{i}, y_{i})[/mm]
> für [mm]i = 0, \ldots, n[/mm] interpoliert. und dieses Polynom ist
> eben so gebaut, dass [mm]deg(p) \le n[/mm] ist. Also ist dann [mm]p^{n + 1} = 0[/mm].
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> > > Und warum genau ist [mm]c(x) \cdot l^{n + 1}(c_{x}) = c(x) \cdot (n + 1)![/mm]
> > Gleiche Frage wie oben: Was ist denn l für eine Funktion?
> > Was passiert, wenn man sowas n+1-mal ableitet?
> Bei der Funktion [mm]l[/mm] habe ich immer noch keine Idee...
>
>
> Ich habe doch [mm]l(t) = (t - x_{0}) \cdot (t - x_{1}) \cdot \ldots \cdot (t - x_{n})[/mm].
> Ohne das alles auszumultiplizieren, fällt mir sonst keine
> Idee ein :/
p war ja ein Polynom vom Grad n.
l ist nun ein normiertes Polynom vom Grad n+1 (mach dir das klar!)
Was kommt da raus, wenn man das n+1-mal ableitet?
Gruß,
Gono
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:24 Do 14.11.2019 | | Autor: | Steve96 |
> Hm nein. F ist eine einzelne Funktion, die aber erst
> gewählt wird, wenn x bereits feststeht.
> "Funktionenschar" trifft es daher nicht ganz, weil es eben
> ein einzelnes x ist… für deine Vorstellung passt das
> aber.
Okay, wenn $x$ bereits feststeht, dann wird die Funktion $F$ gewählt. Dann muss $c(x) = [mm] \frac{f(x) - p(x)}{l(x)}$ [/mm] irgendeine Zahl sein und keine Funktion mehr, da unser $x$ feststeht.
Vielleicht zeige ich dir an einem Beispiel, was ich meine. Ich führe den ersten Teil des Beweises mit einer konkreten Zahl durch.
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Sei $[a, b ] = [0,2 ]$ und $ [mm] x_{0}, \ldots, x_{n} \in [/mm] [0,2]$
Wir setzen $l(t) = [mm] \prod_{j = 0}^{n} [/mm] (t - [mm] x_{j})$ [/mm] und $c(x) := [mm] \frac{f(x) - p(x)}{l(x)}$.
[/mm]
Sei nun $x [mm] \in [/mm] [0,2 ] [mm] \setminus \{ x_{0}, \ldots, x_{n} \}$. [/mm] Nehmen wir an, dieses $x$ ist gleich 1.
Die Funktion $F(t) = f(t) - p(t) - c(1) [mm] \cdot [/mm] l(t)$ besitzt dann mindestens die $n + 2$ Nullstellen [mm] $x_{0}, \ldots, x_{n}, [/mm] 1$.
usw...
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Ist das korrekt?
Sorry für die lange Leitung, aber bei sowas treten zumindest bei mir Missverständnisse auf und ich will sicher gehen, dass ich es richtig gecheckt habe.
Und warum hat $F(t)$ mindestens $ n + 2$ Nullstellen? Warum kann $F$ sogar mehr davon haben? Ich meine, $F$ besteht aus einer Funktion $p$ mit $deg(p) [mm] \le [/mm] n$, einer Funktion $l$ mit $deg(l) = n + 1$ und einer Funktion $f$, von der ich nicht weiß, welchen Grad sie hat. Es muss doch $deg(f) [mm] \ge [/mm] n + 2$ gelten, damit $F$ mindestens $ n + 2$ Nullstellen hat, oder nicht?
>
> > [mm]p[/mm] ist das Interpolationspolynom, das die Punkte [mm](x_{i}, y_{i})[/mm]
> > für [mm]i = 0, \ldots, n[/mm] interpoliert. und dieses Polynom ist
> > eben so gebaut, dass [mm]deg(p) \le n[/mm] ist. Also ist dann [mm]p^{n + 1} = 0[/mm].
>
>
>
>
> > > > Und warum genau ist [mm]c(x) \cdot l^{n + 1}(c_{x}) = c(x) \cdot (n + 1)![/mm]
> > > Gleiche Frage wie oben: Was ist denn l für eine Funktion?
> > > Was passiert, wenn man sowas n+1-mal ableitet?
> > Bei der Funktion [mm]l[/mm] habe ich immer noch keine Idee...
> >
> >
> > Ich habe doch [mm]l(t) = (t - x_{0}) \cdot (t - x_{1}) \cdot \ldots \cdot (t - x_{n})[/mm].
> > Ohne das alles auszumultiplizieren, fällt mir sonst keine
> > Idee ein :/
> p war ja ein Polynom vom Grad n.
> l ist nun ein normiertes Polynom vom Grad n+1 (mach dir
> das klar!)
> Was kommt da raus, wenn man das n+1-mal ableitet?
Wenn ich $l$ $n + 1$ Mal ableite, dann kommt eine Zahl heraus. Aber ich komme einfach nicht auf $(n + 1)!$...
lg, Steve
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Hiho,
> Okay, wenn [mm]x[/mm] bereits feststeht, dann wird die Funktion [mm]F[/mm]
> gewählt. Dann muss [mm]c(x) = \frac{f(x) - p(x)}{l(x)}[/mm]
> irgendeine Zahl sein und keine Funktion mehr, da unser [mm]x[/mm]
> feststeht.
> Sei [mm][a, b ] = [0,2 ][/mm] und [mm]x_{0}, \ldots, x_{n} \in [0,2][/mm]
>
>
> Wir setzen [mm]l(t) = \prod_{j = 0}^{n} (t - x_{j})[/mm] und [mm]c(x) := \frac{f(x) - p(x)}{l(x)}[/mm].
>
>
> Sei nun [mm]x \in [0,2 ] \setminus \{ x_{0}, \ldots, x_{n} \}[/mm].
> Nehmen wir an, dieses [mm]x[/mm] ist gleich 1.
>
>
>
> Die Funktion [mm]F(t) = f(t) - p(t) - c(1) \cdot l(t)[/mm] besitzt
> dann mindestens die [mm]n + 2[/mm] Nullstellen [mm]x_{0}, \ldots, x_{n}, 1[/mm].
>
>
> usw...
> Und warum hat [mm]F(t)[/mm] mindestens [mm]n + 2[/mm] Nullstellen?
Das erfolgt aus der Konstruktion und kann man sich ja überlegen, dass alle [mm] $x_0,\ldots,x_n$ [/mm] Nullstellen sind und die von dir gewählte 1.
Das macht zusammen: n+1
> Warum kann [mm]F[/mm] sogar mehr davon haben?
Kann F mehr davon haben? Mit der Frage möchte man sich gar nicht beschäftigen!
Wenn man aber sagen würde "F hat dann genau n+1 Nullstellen", dann müsste man noch zeigen, dass F außer den obigen Nullstellen keine anderen mehr hat.
Das interessiert einen aber gar nicht, also lässt man das halt weg und sagt stattdessen "mindestens die obige n+1 Nullstellen".
> Ich meine, [mm]F[/mm] besteht aus einer Funktion [mm]p[/mm] mit [mm]deg(p) \le n[/mm], einer Funktion [mm]l[/mm] mit [mm]deg(l) = n + 1[/mm]
> und einer Funktion [mm]f[/mm], von der ich nicht weiß, welchen Grad
> sie hat. Es muss doch [mm]deg(f) \ge n + 2[/mm] gelten, damit [mm]F[/mm]
> mindestens [mm]n + 2[/mm] Nullstellen hat, oder nicht?
Von deg(f) zu sprechen macht gar keinen Sinn, da f nicht notwendigerweise ein Polynom ist, sondern eine beliebige n+1-mal stetig differenzierbare Funktion.
Aber selbst wenn f ein Polynom ist, muss $def(f) [mm] \ge [/mm] n+2$ nicht gelten.
Wählst du beispielsweise $f = p$ (oder exakter: Wählst du f so, dass das Interpolationspolynom gerade f selbst ergibt) so ist [mm] $\deg(f) [/mm] = n$ und [mm] $F\equiv [/mm] 0$ und hat damit überabzählbar viele Nullstellen.
> Wenn ich [mm]l[/mm] [mm]n + 1[/mm] Mal ableite, dann kommt eine Zahl heraus.
> Aber ich komme einfach nicht auf [mm](n + 1)![/mm]...
Du hast ein Polynom vom Grad n+1, also $l(x) = [mm] x^{n+1} [/mm] + [mm] a_nx^n [/mm] + [mm] \ldots [/mm] + a_1x + [mm] a_0$
[/mm]
Jetzt leite das mal n+1 mal ab!
wenns dir hilft: Leite das mal 2,3,4x ab und versuche eine Regelmäßigkeit zu erkennen.
Gruß,
Gono
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:48 Fr 15.11.2019 | | Autor: | Steve96 |
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> Von deg(f) zu sprechen macht gar keinen Sinn, da f nicht
> notwendigerweise ein Polynom ist, sondern eine beliebige
> n+1-mal stetig differenzierbare Funktion.
Ach stimmt, $f$ kann zum Beispiel auch der Sinus sein... Okay, es hat Klick gemacht.
>
> > Wenn ich [mm]l[/mm] [mm]n + 1[/mm] Mal ableite, dann kommt eine Zahl heraus.
> > Aber ich komme einfach nicht auf [mm](n + 1)![/mm]...
>
> Du hast ein Polynom vom Grad n+1, also [mm]l(x) = x^{n+1} + a_nx^n + \ldots + a_1x + a_0[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
>
> Jetzt leite das mal n+1 mal ab!
> wenns dir hilft: Leite das mal 2,3,4x ab und versuche eine
> Regelmäßigkeit zu erkennen.
Achso, okay. Ich habe das Polynom $l(x) = \prod_{j = 0}^{n} (t - x_{j})$. Das konkrete Aussehen von diesem Produkt ist nicht so wichtig, wenn ich das ausmultipliziere, denn am Ende weiß ich ja, dass ein Ausdruck der Form $l(t) = t^{n+1} + \sum\limits_{i = 0}^{n} a_{i} \cdot t^{i}$ herauskommt.
Dann haben wir:
$l'(t) = (n + 1) x^{n} + \sum\limits_{i = 1}^{n} a_{i} \cdot i \cdot t^{i - 1}$
$l''(t) = (n + 1) \cdot n \cdot x^{n - 1} + \sum\limits_{i = 2}^{n} a_{i} \cdot i \cdot ( i - 1} \cdot t^{i - 2}$
$l'''(t) = (n + 1) \cdot n \cdot (n - 1) \cdot t^{n - 1} + \sum\limits_{i = 3}^{n} a_{i} \cdot i \cdot ( i - 1} \cdot ( i - 2} \cdot t^{i - 3}$
$\vdots$
$l^{(n}(t) = (n + 1) \cdot n \cdot (n - 1) \cdot \ldots \cdot 2 \cdot t^{1} + \sum\limits_{i = n}^{n} a_{i} \cdot i \cdot ( i - 1) \cdot ( i - 2) \cdot \ldots \cdot (i - ( n - 1) )\cdot t^{i - n} = (n + 1) \cdot n \cdot (n - 1) \cdot \ldots \cdot 2 \cdot t + a_{n} \cdot n \cdot ( n - 1) \cdot \ldots \cdot t^{0} = (n + 1) \cdot n \cdot (n - 1) \cdot \ldots \cdot 2 \cdot t + a_{n} \cdot n!$
$l^{(n + 1}(t) = (n + 1) \cdot n \cdot (n - 1) \cdot \ldots \cdot 2 \cdot 1 = (n + 1)!$
Damit müsste es passen, oder?
Wenn ich dazu weitere Fragen habe, melde ich mich noch einmal.
Vielen Dank für deine Hilfsbereitschaft!
lg, Steve
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Hiho,
> Achso, okay. Ich habe das Polynom [mm]l(x) = \prod_{j = 0}^{n} (t - x_{j})[/mm].
> Das konkrete Aussehen von diesem Produkt ist nicht so
> wichtig, wenn ich das ausmultipliziere, denn am Ende weiß
> ich ja, dass ein Ausdruck der Form [mm]l(t) = t^{n+1} + \sum\limits_{i = 0}^{n} a_{i} \cdot t^{i}[/mm] herauskommt.
> Dann haben wir:
> [mm]l^{(n + 1}(t) = (n + 1) \cdot n \cdot (n - 1) \cdot \ldots \cdot 2 \cdot 1 = (n + 1)![/mm]
Gruß,
Gono
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