Interpolationspolynom < Interpol.+Approx. < Numerik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:11 Do 04.07.2013 | | Autor: | nikoffm |
| Aufgabe | Gegeben seien die Punkte P0(-1; a + b + c), P1(0; c) und P2(1; a - b + c).
Dabei seien a; b; c Element aus R gegebene reelle Konstanten.
a. Man bestimme das Interpolationspolynom kleinsten Grades, welches die gegebenen drei Punkte interpoliert. Das Polynom ist in der fur Polynome ublichen Darstellung nach
Potenzen von x mit wachsenden Exponenten anzugeben.
b. Welchen Grad hat das Interpolationspolynom? Man beachte dabei die Abhangigkeit von den Parametern a; b; c. |
Hallo,
ich habe diese Aufgabe in der Probeklausur.. Leider habe ich keine Übereinstimmung mit der Musterlösung. Könnte einer von euch mir da eventuell weiterhelfen? Vielen Dank!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
Gruß Niko
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:13 Do 04.07.2013 | | Autor: | M.Rex |
Hallo und ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Gegeben seien die Punkte P0(-1; a + b + c), P1(0; c) und
> P2(1; a - b + c).
> Dabei seien a; b; c Element aus R gegebene reelle
> Konstanten.
>
> a. Man bestimme das Interpolationspolynom kleinsten Grades,
> welches die gegebenen drei Punkte interpoliert. Das Polynom
> ist in der fur Polynome ublichen Darstellung nach
> Potenzen von x mit wachsenden Exponenten anzugeben.
>
> b. Welchen Grad hat das Interpolationspolynom? Man beachte
> dabei die Abhangigkeit von den Parametern a; b; c.
> Hallo,
>
> ich habe diese Aufgabe in der Probeklausur..
Dann zeige doch mal deine detaillierte Rechnung
>Leider habe
> ich keine Übereinstimmung mit der Musterlösung.
Auch die Lösung zeige mal.
Könnte
> einer von euch mir da eventuell weiterhelfen? Vielen Dank!
Wenn wir deine Rechnung sehen, sicher.
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> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt
>
> Gruß Niko
Marius
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:29 Do 04.07.2013 | | Autor: | fred97 |
> Gegeben seien die Punkte P0(-1; a + b + c), P1(0; c) und
> P2(1; a - b + c).
> Dabei seien a; b; c Element aus R gegebene reelle
> Konstanten.
>
> a. Man bestimme das Interpolationspolynom kleinsten Grades,
> welches die gegebenen drei Punkte interpoliert. Das Polynom
> ist in der fur Polynome ublichen Darstellung nach
> Potenzen von x mit wachsenden Exponenten anzugeben.
>
> b. Welchen Grad hat das Interpolationspolynom? Man beachte
> dabei die Abhangigkeit von den Parametern a; b; c.
> Hallo,
>
> ich habe diese Aufgabe in der Probeklausur.. Leider habe
> ich keine Übereinstimmung mit der Musterlösung. Könnte
> einer von euch mir da eventuell weiterhelfen? Vielen Dank!
Du Scherzkeks !
Wie lautet Dei Lösungsweg ? Wie lautet die Musterlösung ?
Wie auch immer: in der Schule nennt man sowas "Steckbriefaufgabe"
Mach den Ansatz für das gesuchte Polynom:
[mm] $p(x)=\gamma+ \beta*x [/mm] + [mm] \alpha*x^2$
[/mm]
FRED
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt
>
> Gruß Niko
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:42 Do 04.07.2013 | | Autor: | nikoffm |
Also ich bin soweit gekommen:
x0=-1 x1=0 x=1
y0=a+b+c y1=c y2=a-b+c
f(x0,x1) = f(x1)-f(x0)/x1-x0
f(x0,x1) = c-a+b+c/0-(-1) = -a+b Musterlösung: -a-b
f(x1,x2) = f(x2)-f(x1)/x2-x1
f(x1,x2) = a-b+c-c/1-0 = a-b Musterlösung: a-b
f(x0,x1,x2) = f(x1,x2)-f(x0,x1)/x2-x0
f(x0,x1,x2) = a-b-(-a)+b/1-(-1) Musterlösung: a
Soweit bin ich gekommen...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:03 Do 04.07.2013 | | Autor: | M.Rex |
Hallo.
Gehen wir von Freds Ansatz aus, dann gilt:
[mm] $f(x)=\gamma+\beta\cdot x+\alpha\cdot x^{2}$
[/mm]
Mit [mm] P_0(-1;a+b+c) [/mm] ergibt sich:
[mm] $a+b+c=\gamma+\beta\cdot(-1)+\alpha\cdot (-1)^{2}$
[/mm]
[mm] $\Leftrightarrow a+b+c=\gamma-\beta+\alpha$
[/mm]
Mit [mm] P_2(1;a-b+c) [/mm] ergibt sich:
[mm] $a-b+c=\gamma+\beta\cdot1+\alpha\cdot1^{2}$
[/mm]
[mm] $\Leftrightarrow a-b+c=\gamma+\beta+\alpha$
[/mm]
Aus [mm] P_{1}(0;c) [/mm] folgt direkt, dass [mm] \gamma=c
[/mm]
Du bekommst also folgendes Gleichungssystem
[mm] $\begin{vmatrix}\gamma-\beta+\alpha=a+b+c\\\gamma+\beta+\alpha=a-b+c\\c=\gamma\end{vmatrix}$
[/mm]
Das Gleichungssystem löse nun nach [mm] \alpha, \beta [/mm] und [mm] \gamma [/mm] , wenn du die dritte Gleichung in die ersten beiden einsetzt, kannst du auf die ersten beiden direkt das Additionsverfahren/Subtraktiosnverfahren loslassen.
Marius
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:41 Do 04.07.2013 | | Autor: | fred97 |
> Also ich bin soweit gekommen:
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> x0=-1 x1=0 x=1
> y0=a+b+c y1=c y2=a-b+c
>
> f(x0,x1) = f(x1)-f(x0)/x1-x0
> f(x0,x1) = c-a+b+c/0-(-1) = -a+b Musterlösung: -a-b
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> f(x1,x2) = f(x2)-f(x1)/x2-x1
> f(x1,x2) = a-b+c-c/1-0 = a-b Musterlösung: a-b
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> f(x0,x1,x2) = f(x1,x2)-f(x0,x1)/x2-x0
> f(x0,x1,x2) = a-b-(-a)+b/1-(-1) Musterlösung: a
>
> Soweit bin ich gekommen...
>
>
Wenn man diesen Ansatz
$ [mm] p(x)=\gamma+ \beta\cdot{}x [/mm] + [mm] \alpha\cdot{}x^2 [/mm] $
wählt, kann man doch schon fast durch "hinsehen" sehen, dass
$ [mm] p(x)=c-bx+ax^2 [/mm] $
das Gewünschte leistet.
FRED
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