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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:58 Do 01.05.2008 | | Autor: | Surfer |
| Aufgabe | Bestimmen Sie näherungsweise die Lösung von cos(x)=x. Wenden Sie dazu die Intervallhalbierungsmethode auf die Funktion f(x)=cos(x)-x mit dem Startintervall [0,Pi2] so lange an, bis die Intervalllänge kleiner als 0,05 ist.
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Hallo, sitze hier gerade vor einer etwas komplexen Aufgabe, die ich jetzt mal versucht habe und gerne Kontrolliert haben würde um zu wissen, ob ich hier richtig vorgegangen bin! Und zwar lautet die Aufgabe:
Bestimmen Sie näherungsweise die Lösung von cos(x)=x. Wenden Sie dazu die Intervallhalbierungsmethode auf die Funktion f(x)=cos(x)-x mit dem Startintervall [0,Pi/2] so lange an, bis die Intervalllänge kleiner als 0,05 ist.
Gesucht ist eine Nullstelle von f.
Es ist f(0)=1 und f(Pi/2)=-Pi/2, folglich sollten wir in der Tat in der Lage sein, in diesem Intervall [0,1.5708] eine Nullstelle zu finden. Nächster Testpunkt ist die Mitte, wo wir f(0,7854)=0.2145 erhalten, also liegt die Nullstelle zur Rechten, innerhalb [0.7854,1.5708].
Dann teste ich wieder den Mittelpunkt, also 1,1781, wo sich f(1.1781)=-0.1783 ergibt; diesmal schließen wir also, dass die Nullstelle zur Linken liegt, d.h. in [0.7854,1.1781].
Dieses Verfahren setze ich fort, bis die linke und rechte Intervallgrenze sich nicht mehr allzu sehr (nämlich um höchstens 0,05) unterscheiden.
Dann erhalte ich als Ergebnisse der Halbierungen:
1) Testpunkt: f(Pi/4)=0,2145 im Intervall [Pi/4,Pi/2]
2) Testpunkt: f(3*Pi/8)=-0,1783 im Intervall [Pi/4,3*Pi/8]
3) Testpunkt: f(5*Pi/16)=0,0181 im Intervall [5*Pi/16,3*Pi/8]
4) Testpunkt: f(11*Pi/32)=-0,0801 im Intervall [5*Pi/16,11*Pi/32]
5) Testpunkt: f(21*Pi/64)=-0,030997 im Intervall [5*Pi/16,21*Pi/64]
Wäre dankbar wenn mir dies jemand überprüfen könnte, da ich mir bei den letzten beiden ergebnissen nicht ganz sicher bin, immerhin unterscheiden sie sich jedoch um 0,05 was ja gesucht war!
lg Surfer
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt:
http://www.matheboard.de/thread.php?threadid=253802
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:16 Do 01.05.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Surfer!
Ich habe für [mm] $f\left(\bruch{\pi}{4}\right)$ [/mm] einen anderen Wert erhalten als du; nämlich einen negativen Wert mit [mm] $f\left(\bruch{\pi}{4}\right) [/mm] \ [mm] \approx [/mm] \ -0.0783$ .
Damit verändert sich Deine folgende Intervallberechnung. Am Ende solltest Du erhalten: [mm] $x_N [/mm] \ [mm] \approx [/mm] \ 0.7391 \ [mm] \approx [/mm] \ [mm] 0.2353*\pi$ [/mm] .
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:12 Do 01.05.2008 | | Autor: | Surfer |
Hallo, danke für deine Korrektur, wäre es möglich, dass du mir wie ich es in meiner Frage aufgestellt hatte, die Ergebnisse für jeden Testpunkt Bzw. Mittelpunkt aufgliederst, da ich auch nach mehrmaligem probieren nicht auf dein Endergebnis komme!
Wäre klasse!!
lg Surfer
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:36 Do 01.05.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Surfer!
[Dateianhang nicht öffentlich]
Gruß
Loddar
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:34 Do 01.05.2008 | | Autor: | Surfer |
d.h. du schaust auf den mittelwert xm wann der um 0,05 kleiner wird oder?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:42 Do 01.05.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo surfer!
Nein, die Differenz [mm] $\left|x_2-x_1\right|$ [/mm] soll kleiner sein als 0,05. Ich hätte hier also schon viel eher aufhören können:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Gruß
Loddar
Dateianhänge:
Anhang Nr. 2 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:48 Do 01.05.2008 | | Autor: | Surfer |
Achso, drum dann ist es klar, bin nur ins straucheln geraten, weil du so viele Werte ausgerechnet hast!
Vielen Dank nochmal!!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:56 So 04.05.2008 | | Autor: | Surfer |
Wie lautet denn dan die Gesuchte Nullstelle ?
xm = [mm] \bruch{31\pi}{128} [/mm] oder? ym=0
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:39 So 04.05.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo surfer!
Da es sich hier um einen genäherten Wert handelt, würde ich es nicht als Bruch bzw. Vielfaches von [mm] $\pi$ [/mm] angeben, sondern schlicht als Dezimalzahl mit [mm] $x_N [/mm] \ [mm] \approx [/mm] \ 0.7609$ .
Gruß
Loddar
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