Intervalladditivität < Integralrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:39 Mo 16.06.2008 | | Autor: | noobo2 |
Hallo,
habe folgendes problem und zwar verstehe ich nicht genau was hier
http://www.matheplanet.com/default3.html?call=article.php?sid=864&ref=http%3A%2F%2Fwww.google.de%2Fsearch%3Fhl%3Dde%26client%3Dfirefox-a%26channel%3Ds%26rls%3Dorg.mozilla%3Ade%3Aofficial%26hs%3DOAp%26sa%3DX%26oi%3Dspell%26resnum%3D0%26ct%3Dresult%26cd%3D1%26q%3Deinf%25C3%25BChrung%2Bin%2Bdie%2Bintegralrechnung%26spell%3D1
mit dieser " Intervalladditivität" gemeitn ist beziehungsweise wird als beispiel gegeben:
[mm] \integral_{a}^{b}{f(x) dx} [/mm] + [mm] \integral_{b}^{c}{f(x) dx} [/mm] = [mm] \integral_{a}^{c}{f(x) dx}
[/mm]
soweit ist mri das auch vollkommen verständlich wobei ich aber gedahct habe dass a<b<c ist dann kommt aber als beispiel:
[mm] \integral_{-4}^{9}{f(x) dx} [/mm] + [mm] \integral_{9}^{3}{f(x) dx} [/mm] = [mm] \integral_{-4}^{3}{f(x) dx}
[/mm]
jetzt ist die 9 ja aber größer als die 3 deshalb versteh ich nicht, dass der entgültige bereich von -4 bis 3 ist und nicht von -4 bis +9
und vor allem ist es doch eigentlich egal ob
[mm] \integral_{3}^{9}{f(x) dx} [/mm] oder [mm] \integral_{9}^{3}{f(x) dx}
[/mm]
weshalb muss sich da denn das vorzeichen drehen?? es geht doch um dne gleichen abschnitt?? und es ist nru definiert, dass flächeninhalt unter der x achse negativ angezeigt wird oder??
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:01 Mo 16.06.2008 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
[mm]\integral_{a}^{b}{f(x) dx}[/mm] + [mm]\integral_{b}^{c}{f(x) dx}[/mm]
> = [mm]\integral_{a}^{c}{f(x) dx}[/mm]
> soweit ist mri das auch
> vollkommen verständlich wobei ich aber gedahct habe dass
> a<b<c ist dann kommt aber als beispiel:
Das muss nicht zwingend so sein
> [mm]\integral_{-4}^{9}{f(x) dx}[/mm] + [mm]\integral_{9}^{3}{f(x) dx}[/mm] =
> [mm]\integral_{-4}^{3}{f(x) dx}[/mm]
>
> und vor allem ist es doch eigentlich egal ob
> [mm]\integral_{3}^{9}{f(x) dx}[/mm] oder [mm]\integral_{9}^{3}{f(x) dx}[/mm]
Nein: [mm] \integral_{a}^{b}f=-\integral_{b}^{a}f
[/mm]
Denn:
[mm] \integral_{a}^{b}f(x)dx=F(b)-F(a)=-F(a)+F(b)=-[F(a)-F(b)]=-\integral_{b}^{a}f(x)dx
[/mm]
>
> weshalb muss sich da denn das vorzeichen drehen??
Siehe oben
> es geht
> doch um dne gleichen abschnitt?? und es ist nru definiert,
> dass flächeninhalt unter der x achse negativ angezeigt wird
> oder??
Das hat damit erstmal nicht zu tun, wo die Fläche liegt. Diese Formeln
[mm] \integral_{a}^{b}f=-\integral_{b}^{a}f
[/mm]
und [mm] \integral_{a}^{b}f+\integral_{b}^{c}f=\integral_{a}^{c}f [/mm]
gelten unabhängig davon, ob die Flächen oberhalb oder unterhalb der X-Achse liegen.
Bei deiner Umstellung oben, also:
[mm] \integral_{-4}^{9}f(x)dx+\integral_{9}^{3}f(x)dx=\integral_{-4}^{3}f(x)dx
[/mm]
werden genau diese Beiden Dinge benutzt.
Also:
[mm] \integral_{-4}^{9}f(x)dx+\integral_{9}^{3}f(x)dx
[/mm]
[mm] =\integral_{-4}^{9}f(x)dx-\integral_{3}^{9}f(x)dx
[/mm]
[mm] =\integral_{-4}^{3}f(x)dx+\integral_{3}^{9}f(x)dx-\integral_{3}^{9}f(x)dx
[/mm]
[mm] =\integral_{-4}^{3}f(x)dx
[/mm]
Marius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:07 Mo 16.06.2008 | | Autor: | fred97 |
Ein Einwand:
das
$ [mm] \integral_{a}^{b}f=-\integral_{b}^{a}f [/mm] $
ist eine Definition !!
Die Begründung mit F(b) - F(a) ist nicht ganz korrekt, da es integrierbare Funktionen gibt, die keine Stammfunktion besitzen !
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:24 Di 17.06.2008 | | Autor: | noobo2 |
also mir ist das soweit klar nur deinen letzten Schritt verstehe ich nicht und zwar:
[mm] \integral_{-4}^{9}{f(x) dx}+ \integral_{9}^{3}{f(x) dx} [/mm] , danach wendest du eifnach das oben erwähnte auf das zweite intergal an und erhälst:
[mm] \integral_{-4}^{9}{f(x) dx} [/mm] - [mm] \integral_{9}^{3}{f(x) dx}.. [/mm] soweit ist es klar
aber wie kommst du danach auf
[mm] \integral_{-4}^{3}f(x)dx+\integral_{3}^{9}f(x)dx-\integral_{3}^{9}f(x)dx
[/mm]
den schritt verstehe ich nicht. Es ist für mich solange logisch solange a<b<c wenn man ein Intergal von 2 bis 5 hat und eins von 5 bis 8 dass mana uch schreiben kann 2 bis 8 aber wenn man hat -4 bis3 und dann 3 bis 9 , dass man dann am ende schreibt -4 bis 3 ist unverständlich..
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:32 Di 17.06.2008 | | Autor: | noobo2 |
ist an der fragestellung was unverständlich oder so??
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Hallo noobo2!
> also mir ist das soweit klar nur deinen letzten Schritt
> verstehe ich nicht und zwar:
> [mm]\integral_{-4}^{9}{f(x) dx}+ \integral_{9}^{3}{f(x) dx}[/mm] ,
> danach wendest du eifnach das oben erwähnte auf das zweite
> intergal an und erhälst:
> [mm]\integral_{-4}^{9}{f(x) dx}[/mm] - [mm]\integral_{9}^{3}{f(x) dx}..[/mm]
> soweit ist es klar
> aber wie kommst du danach auf
>
> [mm]\integral_{-4}^{3}f(x)dx+\integral_{3}^{9}f(x)dx-\integral_{3}^{9}f(x)dx[/mm]
> den schritt verstehe ich nicht. Es ist für mich solange
Du kannst doch das Integral von -4 bis 9 aufspalten in von -4 bis 3 plus das von 3 bis 9 - das ist ja dasselbe.
> logisch solange a<b<c wenn man ein Intergal von 2 bis 5 hat
> und eins von 5 bis 8 dass mana uch schreiben kann 2 bis 8
> aber wenn man hat -4 bis3 und dann 3 bis 9 , dass man dann
> am ende schreibt -4 bis 3 ist unverständlich..
Das verstehe ich nicht. Das ist doch genau dasselbe!? ![[kopfkratz]](/images/smileys/kopfkratz.gif "[kopfkratz]") Du kannst Grenzen einfach "teilen" bzw. andersrum auch einfach "addieren"/"zusammenfügen". Und hier ist das eben von -4 bis 3 plus das von 3 bis 9. Ich weiß nicht, warum du das mit 2, 5 und 8 verstehst, aber mit -4, 3 und 9 nicht...
Viele Grüße
Bastiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:08 Di 17.06.2008 | | Autor: | noobo2 |
hallo,
mein problem ist, dass ich es so verstanden habe das man das bestimtm integral von irgend einer funktion bon 2 bis 5 und das Intergal der gleichen Funktion von 5 bis 8 zusammen fassen kann zu :
[mm] \integral_{2}^{8}{f(x) dx} [/mm] .....stimmt das??
aber im Beispiel wird das Integral nicht zusammengefasst sondern "gekürzt" oder? denn am Anfang heißt es :
[mm] \integral_{-4}^{9}{f(x) dx} [/mm] und dann [mm] \integral_{9}^{3}{f(x) dx}
[/mm]
am Ende heißt es aber nur noch [mm] \integral_{-4}^{3}{f(x) dx} [/mm] da feht dann noch das stück von [mm] \integral_{9}^{3}{f(x) dx} [/mm] oder??
das wird hier http://www.matheplanet.com/default3.html?call=article.php?sid=864&ref=http%3A%2F%2Fwww.google.de%2Fsearch%3Fhl%3Dde%26client%3Dfirefox-a%26channel%3Ds%26rls%3Dorg.mozilla%3Ade%3Aofficial%26hs%3DOAp%26sa%3DX%26oi%3Dspell%26resnum%3D0%26ct%3Dresult%26cd%3D1%26q%3Deinf%25C3%25BChrung%2Bin%2Bdie%2Bintegralrechnung%26spell%3D1
als allgemeine Regel bzw Beipsiel zu dieser gezeigt
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:17 Di 17.06.2008 | | Autor: | chrisno |
> aber im Beispiel wird das Integral nicht zusammengefasst
> sondern "gekürzt" oder? denn am Anfang heißt es :
> [mm]\integral_{-4}^{9}{f(x) dx}[/mm] und dann
> [mm]\integral_{9}^{3}{f(x) dx}[/mm]
>
> am Ende heißt es aber nur noch [mm]\integral_{-4}^{3}{f(x) dx}[/mm]
> da feht dann noch das stück von [mm]\integral_{9}^{3}{f(x) dx}[/mm]
> oder??
Gekürzt ist als Formulierung nicht so gut. Das Integral von -4 bis 9 wird in der "richtigen" Richtung berechnet. Bei dem zweiten Integral geht es nun aber "gegen den Strich". Es geht von 9 wieder zurück zur 3. Also bleibt nur das Stück von -4 bis 3 übrig. Hilft diese Erklärung?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:19 Di 17.06.2008 | | Autor: | noobo2 |
hallo,
ja genau das ist mri eben auch eingefallen entschuldigung manchmal sieht man den wald wegen den vielen bäumen nicht mehr ^^
doch noch eine Frage und zwar wofür steht eigentlich bei
[mm] \integral_{a}^{b}{f(x) dx}
[/mm]
das dx?? ich weiß nur dass man es differential nennt und dass es auf der Tangente an einem Punkt irgedwie das delta x des STeigungsdreiecks angiebtun man darauf delta y berechnen kann
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:55 Di 17.06.2008 | | Autor: | chrisno |
Diese Schreibweise ist eine Konvention. Ich habe schon ernst gemeinte Vorschläge gelesen, das dx wegzulassen. Dann bräuchte man öfters mal ein Klammerpaar mehr.
Für Nichtmathematiker gibt es auch eine "Erklärung":
Das Integralzeichen ist ein langes "S" für Summe. Es werden die Flächen lauter schmaler Rechtecke aufaddiert. Das erste beginnt bei a, das letzte endet bei b. Die Höhe (Länge) wird mit f(x) ausgerechnet und die Breite ist sehr schmal, ein Delta x und im Fall für unendlich viele Rechtecke schreibt man für das Delta x dann dx.
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