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Einen schönen Guten Tag allerseits,
ich muss das Intervallschachtelungsprinzip beweisen und habe einen Ansatz, von dem ich nicht weiß, ob es nur eine Umformulierung der Aufgabenstellung ist, oder ein richtiger Beweis.
Aufg.) für jede absteigende Folge nichtleerer kompakter Intervalle ist auch ihr Schnitt nicht leer.
Hier mein Ansatz. Da n -> [mm] [a_{n},b_{n}] [/mm] nach Voraussetzung absteigend ist, gilt. [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}a_{n} [/mm] ist streng monoton steigend und
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}b_{n} [/mm] ist streng monoton fallend.
Also folgt: [mm] [a_{n},b_{n}] \subset [a_{n+1},b_{n+1}] \forall [/mm] n [mm] \in \IN
[/mm]
Da [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}a_{n} [/mm] beschränkt und streng monoton folgt, dass die Folge einen Grenzwert besitzt. Dies gilt analog für die Folge [mm] b_{n}. [/mm]
[mm] \Rightarrow \exists [/mm] [c,c] mit [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}a_{n}= \limes_{n\rightarrow\infty}b_{n}=c.
[/mm]
[mm] \Rightarrow \bigcap_{i=1}^{n}I_{n}=[c,c] [/mm] also nichtleer.
Jetzt meine Zweifel: 1.) es ist ja gar nicht gesagt, dass die Folgen [mm] a_{n} [/mm] und [mm] b_{n} [/mm] den gleichen Grenzwert haben. Müssen sie aber eigentlich auch nicht, hauptsache sie haben einen, oder?
2.) Mein Argument, dass beide Folgen beschränkt sind, liegt darin, dass sie durch die jeweils andere Intervallgrenze eingeschränkt sind. In der Vorlesung haben wir bewiesen, dass jede streng monotone Folge in [mm] \IR [/mm] einen Grenzwert hat. Diesen Satz wende ich an.
3.) Ich habe den Eindruck, dass ich lediglich die Aufgabenstellung umformuliere und die Aussage die ich beweisen muss benutze, um die Aussage zu zeigen....
Ich wäre für einen Tipp dankbar, wenn meine Zweifel berechtigt sein sollten.
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> Einen schönen Guten Tag allerseits,
Hallo!
> Aufg.) für jede absteigende Folge nichtleerer kompakter
> Intervalle ist auch ihr Schnitt nicht leer.
Was genau ist eine absteigende Folge von Intervallen?
Ich würde denken, wenn [mm] I_{n+1} \subseteq I_n. [/mm] (Analog zu einer monoton fallenden Folge [mm] (a_n), [/mm] wo [mm] a_{n+1} \le a_n). [/mm] Oder täusche ich mich?
Dann wäre [mm] [a_{n+1},b_{n+1}] \subseteq [a_n,b_n] [/mm] und [mm] (a_n) [/mm] monoton steigend.
>
> Hier mein Ansatz. Da n -> [mm][a_{n},b_{n}][/mm] nach Voraussetzung
> absteigend ist, gilt. [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}a_{n}[/mm] ist
> streng monoton steigend und
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}b_{n}[/mm] ist streng monoton
> fallend.
Das widerspricht sich. s.o.
> Also folgt: [mm][a_{n},b_{n}] \subset [a_{n+1},b_{n+1}] \forall[/mm]
> n [mm]\in \IN[/mm]
> Da [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}a_{n}[/mm]
> beschränkt und streng monoton folgt, dass die Folge einen
> Grenzwert besitzt. Dies gilt analog für die Folge [mm]b_{n}.[/mm]
Dem folge ich gut.
Ich teile aber deine Bedenken: es ist bisher ja nicht klar, daß der Grenzwert gleich ist.
Vom gesunden Menschenverstand her ist das, wenn die Folgen nicht stationär werden, sondern streng monoton sind, der Fall. Wenn [mm] I_{n+1} [/mm] also eine echte Teilmenge ist von [mm] I_n. [/mm] Dann könnte man mit der Folge der Intervallbreiten [mm] (c_n):=( b_n-a_n) [/mm] argumentieren.
Eigentlich brauchst du den gemeinsamen Grenzwert ja nicht. Von der Aufgabenstellung her reicht es doch zu zeigen, daß beide Grenzwerte in allen Intervallen liegen.
Aber egal ob einer oder zwei: daß die Im Intervall liegen, hast du noch nicht gezeigt.
Gruß v. Angela
> [mm]\Rightarrow \exists[/mm] [c,c] mit
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}a_{n}= \limes_{n\rightarrow\infty}b_{n}=c.[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow \bigcap_{i=1}^{n}I_{n}=[c,c][/mm] also
> nichtleer.
>
> Jetzt meine Zweifel: 1.) es ist ja gar nicht gesagt, dass
> die Folgen [mm]a_{n}[/mm] und [mm]b_{n}[/mm] den gleichen Grenzwert haben.
> Müssen sie aber eigentlich auch nicht, hauptsache sie haben
> einen, oder?
> 2.) Mein Argument, dass beide Folgen beschränkt sind,
> liegt darin, dass sie durch die jeweils andere
> Intervallgrenze eingeschränkt sind. In der Vorlesung haben
> wir bewiesen, dass jede streng monotone Folge in [mm]\IR[/mm] einen
> Grenzwert hat. Diesen Satz wende ich an.
> 3.) Ich habe den Eindruck, dass ich lediglich die
> Aufgabenstellung umformuliere und die Aussage die ich
> beweisen muss benutze, um die Aussage zu zeigen....
>
> Ich wäre für einen Tipp dankbar, wenn meine Zweifel
> berechtigt sein sollten.
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