Intervallschachtelung für pi < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:07 Sa 12.03.2005 | | Autor: | Pollux |
Hi,
es geht um folgende rekursiv definierten Folgen für Pi:
[mm] p_3 [/mm] = 3, [mm] p_{2*n}^2 [/mm] = [mm] \bruch{2*p_n^2}{1+\wurzel{1-\bruch{p_n^2}{n^2}}}
[/mm]
[mm] P_3=2*\wurzel{3}, P_{2*n} [/mm] = [mm] \bruch{2*P_n}{1+\wurzel{1 + \bruch{P_n^2}{4*n^2}}}
[/mm]
Diese Folgen bilden eine Intervallschachtelung für pi (bzw. sollten).
[mm] P_3 [/mm] ist durch pi nach unten beschränkt, [mm] p_3 [/mm] ist durch pi nach oben beschränkt.
[mm] P_3 [/mm] habe ich nachgeprüft und sie konvergiert tatsächlich gegen pi.
Jedoch ist das nicht bei [mm] p_3 [/mm] der Fall! Meine Berechnungen (u.a. mit computer) haben gezeigt, dass sie über pi hinausgeht. Der erste Wert liegt schon bei ca. 4.2!
Das Verfahren stammt übrigens von Archimedes.
Im netz habe ich alternativ folgende Folgen gefunden:
[mm] a_0 [/mm] = [mm] 2*\wurzel{3}
[/mm]
[mm] a_{n+1}=\bruch{2*a_n*b_n}{a_n+b_n}
[/mm]
[mm] b_0 [/mm] = 3
[mm] b_{n+1}=\wurzel{a_{n+1}*b_n}
[/mm]
Weiß jemand, wie die obrige Folge [mm] p_3 [/mm] richtig lautet! Wahrscheinlich habe ich diese damals falsch abgeschrieben!
mfg
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo Pollux,
Unter der Wurzel im Nenner muss [mm] $(2n)^2$ [/mm] stehen, nicht [mm] n^2; [/mm] dann kommt's gut hin:
wir haben [mm] $p_{3}=3$, [/mm] also starten wir mit n=3. Als nächstes wird [mm] $p_{2n}$ [/mm] - also [mm] $p_{6}$ [/mm] - berechnet: [mm] $p_{6}=p_{3} \wurzel{\bruch{2}{1+\wurzel{1-\bruch{p_{3}^{2}}{6^{2}}}}}=\bruch{6}{\wurzel{2+\wurzel{3}}}\approx3.106$, [/mm] was so deutlich unter 4.2 liegt, dass Rundungsfehler (zumindest beim Einsatz moderner Hilfsmittel) auszuschließen sind.
Ich überprüfe meine Rechnung noch mal; tu Du es bitte mit Deiner auch.
Mit Mathematica komme ich auf:
| 1: | In[1]:=
| | 2: | n = 3;
| | 3: | FixedPointList[#1*Sqrt[2/(1 + Sqrt[1 - #1^2/(n += n)^2])] & , 3.]//InputForm
| | 4: | Out[2]//InputForm=
| | 5: | {3., 3.105828541230249, 3.1326286132812378, 3.1393502030468667, 3.1410319508905093,
| | 6: | 3.1414524722854615, 3.141557607911857, 3.1415838921483177, 3.1415904632280496,
| | 7: | 3.1415921059992713, 3.141592516692157, 3.141592619365384, 3.1415926450336906,
| | 8: | 3.1415926514507673, 3.141592653055036, 3.141592653456103, 3.1415926535563696,
| | 9: | 3.1415926535814362, 3.1415926535877032, 3.14159265358927, 3.141592653589662,
| | 10: | 3.14159265358976, 3.1415926535897842, 3.1415926535897905, 3.141592653589792,
| | 11: | 3.141592653589792}
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Gruß,
Peter
P.S. wäre auch komisch, wenn seit Archimedes niemand den Fehler bemerkt hätte....
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