Invariante Unterräume Beweis < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:50 Sa 26.04.2008 | | Autor: | lauser |
| Aufgabe | | Sei A [mm] \in End_K(V). [/mm] Zeige: Alle Unterräume von V sind genau dann A invariant, wenn A = a [mm] 1_V, [/mm] mit einem a [mm] \in [/mm] K. |
Hallo Liebe Vorhelfer,
ich hoffe dass sich trotz des schönen Wetters draußen, sich jemand meiner annimmt 
ich denke, der obige Satz ist eine Art andere Charakterisierung von A-invarianten Unterräumen. Es müssen ja zwei Richtungen gezeigt werden, jedoch bastle ich nur unentwegt herum.
"=>": Seien alle Unterräume U von V A-invariant.
Z.z. A = a [mm] 1_V, [/mm] mit a [mm] \in [/mm] K.
Sei U ein beliebiger Untteraum von A. Ich muss nun zeigen, dass A die obige Form hat.
Da alle Unterräume A-invariant sind, ist also
A U [mm] \leq [/mm] U, d.h. sei u [mm] \in [/mm] U beliebig
Au [mm] \in [/mm] U, aber auch [mm] A^k [/mm] u [mm] \in [/mm] U , k [mm] \in \mathbb{N}_0.
[/mm]
Ich denke genau mit den Potenzen muss ich argumentieren, nur wenn die Matrix A die Diagonalgestalt hat, sind die Potenzen ja "die gleichen", also [mm] A^2 [/mm] hat eben [mm] a^2 [/mm] in der Diagonale.
Aber der Weg ist mir noch mehr als unklar...
"<=": Sei A = a [mm] 1_V, [/mm] mit a [mm] \in [/mm] K. Z.z. alle Unterräume von U sind A-invariant.
Dazu: sei U ein beliebiger Unterraum von V. Z.z.
AU [mm] \leq [/mm] U. Betrachte Unterraumkriterium: Sei dazu [mm] u_1, u_2 \in [/mm] U, k [mm] \in [/mm] K.
Zunächst ist [mm] A(u_1 [/mm] + [mm] u_2) [/mm] = [mm] a(u_1 [/mm] + [mm] u_2) [/mm] = a [mm] u_1 [/mm] + a [mm] u_2 \in [/mm] U, da U Unterraum von V.
Zudem ist a [mm] A(u_1) [/mm] = [mm] a^2 u_1 \in [/mm] U, da [mm] a^2 \in [/mm] K.
Damit müsste die Rückrichtung doch eigentlich gezeigt sein, oder?
Vielen dank für die Tipps und Hilfe,
Grüße und einen schönen Samstag!
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum im Internet gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:01 Sa 26.04.2008 | | Autor: | piet.t |
Hallo,
>
> "=>": Seien alle Unterräume U von V A-invariant.
> Z.z. A = a [mm]1_V,[/mm] mit a [mm]\in[/mm] K.
>
> Sei U ein beliebiger Untteraum von A. Ich muss nun zeigen,
> dass A die obige Form hat.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") , allerdings wirst Du dazu mehr als einen Unterraum brauchen...
>
> Da alle Unterräume A-invariant sind, ist also
>
> A U [mm]\leq[/mm] U, d.h. sei u [mm]\in[/mm] U beliebig
>
> Au [mm]\in[/mm] U, aber auch [mm]A^k[/mm] u [mm]\in[/mm] U , k [mm]\in \mathbb{N}_0.[/mm]
>
> Ich denke genau mit den Potenzen muss ich argumentieren,
> nur wenn die Matrix A die Diagonalgestalt hat, sind die
> Potenzen ja "die gleichen", also [mm]A^2[/mm] hat eben [mm]a^2[/mm] in der
> Diagonale.
Nein, das Betrachten der a-Potenzen bringt uns hier m.E. nicht weiter.
>
> Aber der Weg ist mir noch mehr als unklar...
Vorschlag: nachdem die Invarianz bei mehrdimensionalen Unterräumen nicht so richtig eindeutig ist würde ich mich für diese Aufgabe auf eindimensionale Unterräume konzentrieren. Was bedeutet es denn, wenn ein solcher A-invariant ist?
In einem ersten Schritt würde ich für eine Basis von V alle eindimensionalen Untervektorräume betrachten, die von je einem Basisvektor erzeugt werden. Was folgt daraus für die Matrixdarstellung von A bezüglich dieser Basis?
Was muss also als nächstes gezeigt werden?
>
> "<=": Sei A = a [mm]1_V,[/mm] mit a [mm]\in[/mm] K. Z.z. alle Unterräume von
> U sind A-invariant.
>
> Dazu: sei U ein beliebiger Unterraum von V. Z.z.
>
> AU [mm]\leq[/mm] U. Betrachte Unterraumkriterium: Sei dazu [mm]u_1, u_2 \in[/mm]
> U, k [mm]\in[/mm] K.
>
> Zunächst ist [mm]A(u_1[/mm] + [mm]u_2)[/mm] = [mm]a(u_1[/mm] + [mm]u_2)[/mm] = a [mm]u_1[/mm] + a [mm]u_2 \in[/mm]
> U, da U Unterraum von V.
, aber was sagt uns das??
>
> Zudem ist a [mm]A(u_1)[/mm] = [mm]a^2 u_1 \in[/mm] U, da [mm]a^2 \in[/mm] K.
![[verwirrt]](/images/smileys/verwirrt.gif "[verwirrt]") Es ist doch $A(u1) = [mm] a\cdot u_1$ [/mm] laut Voraussetzung. Dass $a [mm] \cdot u_1$ [/mm] wieder in U liegt ist klar, da U linearer Unterraum ist und das reicht ja schon für diese Richtung.
>
> Damit müsste die Rückrichtung doch eigentlich gezeigt sein,
> oder?
>
> Vielen dank für die Tipps und Hilfe,
>
> Grüße und einen schönen Samstag!
>
> Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum im Internet
> gestellt.
Dann mal viel erfolg bei Deinen weiteren Überlegungen!
Gruß
piet
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:40 So 27.04.2008 | | Autor: | lauser |
Hallo Piet,
danke für den Hinweis ich tret trotzdem irgendwie auf der Stelle.
Invariante Unterräume und Eigenvektoren hängen doch zusammen. Wenn A diese Gestalt hat, also A = a [mm] 1_V, [/mm] dann ist
[mm] \mathbb{X}_A(x) [/mm] = (a - [mm] x)^n, [/mm] d.h. x = a ist n-fache Nullstelle des charakteristischen Polynoms. Zu dem Eigenwert a finde ich nun einen Eigenvektor:
A v = a v
<=>
a [mm] 1_V [/mm] v = a v
=>
v = [mm] \vektor{1 \\...\\ 1}
[/mm]
D.h. wenn ich mir das A so anschaue, dann scheint es nur eindimensionale A-invariante Unterräume zu geben...das wäre ja das Erzeugnis des Eigenvektors zum Eigenwert a.
Also ich habe V, und eine Basis von V, B = [mm] {b_1,...,b_n}.
[/mm]
Alle Eindimensionalen Unterräume sind dann sowas wie
U = < [mm] b_i [/mm] >, i = 1,...,n.
Du meinst, ich soll mir jetzt [mm] A^B_B [/mm] anschauen. Also A dargestellt durch die Basis B. Aber ich weiß doch gar nicht, wie A aussieht. Das muss ich doch erst noch herausfinden...
Also ich steh schon ein wenig auf dem Schlauch...
Liebe Grüße und danke für die Hilfe!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:58 So 27.04.2008 | | Autor: | piet.t |
Hallo,
> Invariante Unterräume und Eigenvektoren hängen doch
> zusammen.
Teilweise...
Wenn v ein Eigenvektor von A ist, dann ist der von v erzeugte Unterraum A-invariant. Allerdings kann es auch A-invariante Unterräume geben, in denen kein Eigenvektor liegt (z.B. Drehungen in der Ebene o.ä.)
> Wenn A diese Gestalt hat, also A = a [mm]1_V,[/mm] dann
> ist
> [mm]\mathbb{X}_A(x)[/mm] = (a - [mm]x)^n,[/mm] d.h. x = a ist n-fache
> Nullstelle des charakteristischen Polynoms. Zu dem
> Eigenwert a finde ich nun einen Eigenvektor:
>
> A v = a v
> <=>
> a [mm]1_V[/mm] v = a v
> =>
> v = [mm]\vektor{1 \\...\\ 1}[/mm]
>
> D.h. wenn ich mir das A so anschaue, dann scheint es nur
> eindimensionale A-invariante Unterräume zu geben...das wäre
> ja das Erzeugnis des Eigenvektors zum Eigenwert a.
Nein, wie zu zeigen ist ist ja jeder Unterraum A-invariant, also insbesondere auch jeder eindimensionale.
Und es gibt ja nicht nur einen Eigenvektor zum Eigenwert a, sondern jeder Vektor in V ist Eigenvektor zum EW a.
Und das ist für "=>" ja schon hinreichend, eigentlich hattest Du das ja schon fast richtig da stehen.
Ab hier geht's dann um "<=", stimmt's??
>
> Also ich habe V, und eine Basis von V, B = [mm]{b_1,...,b_n}.[/mm]
>
> Alle Eindimensionalen Unterräume sind dann sowas wie
> U = < [mm]b_i[/mm] >, i = 1,...,n.
>
> Du meinst, ich soll mir jetzt [mm]A^B_B[/mm] anschauen. Also A
> dargestellt durch die Basis B. Aber ich weiß doch gar
> nicht, wie A aussieht. Das muss ich doch erst noch
> herausfinden...
>
In [mm]A^B_B[/mm] steht in der i-ten Spalte das Bild von [mm] b_i [/mm] dargestellt bezüglich der Basis B. Wenn [mm] [/mm] nun ein A-invarianter Unterraum ist, was gilt dann für das Bild von [mm] b_i??
[/mm]
Gruß
piet
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:19 So 27.04.2008 | | Autor: | lauser |
Hallo Piet,
ich glaube ich muss die eine Richtung nochmal "sauber" hinschreiben, ich blick da gerade nicht durch.
"<=":
Also, sei A = a [mm] 1_V [/mm] die Abbildung, a [mm] \in [/mm] K.
Z.z. alle Unterräume U sind A-invariant.
Sei U [mm] \leq [/mm] V ein beliebiger Unterraum. Z.z. AU [mm] \leq [/mm] U. Verwende Unterraumkriterium, sei dazu [mm] u_1 [/mm] , [mm] u_2 \in [/mm] U.
Es ist [mm] A(u_1 [/mm] + [mm] u_2) [/mm] = a [mm] u_1 [/mm] + a [mm] u_2 \in [/mm] U, d.h. U ist ein A invarianter Unterraum.
Die andere Richtung ist nun die schwierigere.
"=>": Alle Unterräume sind A-invariant. Z.z. A hat dann die Form A = a [mm] 1_V [/mm] mit a [mm] \in [/mm] K.
Betrachte die eindimensionalen Unterräume von A. Sei B = [mm] {b_1,..., b_n} [/mm] eine Basis von V. Die Eindimensionalen Unterräume von V sind
[mm] U_i [/mm] = < [mm] b_i [/mm] >, also das Erzeugnis der Basisvektoren, i = 1,...,n.
U ist A-invariant, d.h. das Bild von einem Basisvektor [mm] b_i [/mm] liegt wieder in [mm] U_i, [/mm] d.h. es kann im Endeffekt nur mit einem skalaren multipliziert worden sein, also:
[mm] A(b_i) [/mm] = [mm] a_i b_i [/mm] wobei [mm] a_i \in [/mm] K
Bin ich da irgendwie auf der richtigen Spur?
Grüße und dank!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:48 So 27.04.2008 | | Autor: | piet.t |
Hallo,
da hab ich wohl in meinem letzten Post die Richtungen durcheinandergebracht - Sorry!
>
> "<=":
>
> Also, sei A = a [mm]1_V[/mm] die Abbildung, a [mm]\in[/mm] K.
> Z.z. alle Unterräume U sind A-invariant.
>
> Sei U [mm]\leq[/mm] V ein beliebiger Unterraum. Z.z. AU [mm]\leq[/mm] U.
> Verwende Unterraumkriterium, sei dazu [mm]u_1[/mm] , [mm]u_2 \in[/mm] U.
>
> Es ist [mm]A(u_1[/mm] + [mm]u_2)[/mm] = a [mm]u_1[/mm] + a [mm]u_2 \in[/mm] U, d.h. U ist ein A
> invarianter Unterraum.
Du machst es dir hier schon viel komplizierter als es sein muss - das geht eher in die Richtung zu zeigen, ob eine Menge U ein Unterraum ist oder ob A linear ist.
Hier reicht es zu zeigen: ist u [mm] \in [/mm] U, dann ist auch Au [mm] \in [/mm] U - und das ist ja wohl einfach.
>
> Die andere Richtung ist nun die schwierigere.
>
> "=>": Alle Unterräume sind A-invariant. Z.z. A hat dann die
> Form A = a [mm]1_V[/mm] mit a [mm]\in[/mm] K.
>
> Betrachte die eindimensionalen Unterräume von A. Sei B =
> [mm]{b_1,..., b_n}[/mm] eine Basis von V. Die Eindimensionalen
> Unterräume von V sind
>
> [mm]U_i[/mm] = < [mm]b_i[/mm] >, also das Erzeugnis der Basisvektoren, i =
> 1,...,n.
Es gibt noch viel mehr eindimensionale Unterräume, z.B. wäre auch [mm] <$b_1+b_2$> [/mm] einer. Aber wir wollen uns mal auf die [mm] <$b_i$> [/mm] beschränken...
>
> U ist A-invariant, d.h. das Bild von einem Basisvektor [mm]b_i[/mm]
> liegt wieder in [mm]U_i,[/mm] d.h. es kann im Endeffekt nur mit
> einem skalaren multipliziert worden sein, also:
>
> [mm]A(b_i)[/mm] = [mm]a_i b_i[/mm] wobei [mm]a_i \in[/mm] K
>
> Bin ich da irgendwie auf der richtigen Spur?
genau da wollte ich hin ![[grins]](/images/smileys/grins.gif "[grins]")
Die nächste Frage wäre, wie dann die zu A gehörige Matrix bezüglich dieser Basis aussieht (wenn es für dich einfacher ist kannst Du ja o.B.d.A. für B auch die kanonische Basis nehmen - das Resultat ist das selbe).
Gruß
piet
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:21 So 27.04.2008 | | Autor: | lauser |
Hallo Piet,
die Matrix [mm] A_B^B [/mm] hätte doch dann die Form:
[mm] A_B^B [/mm] = [mm] \pmat{ a_1 & 0 & 0 \\ 0 & a_2 & 0 \\ ... & 0 & ...}
[/mm]
Die Diagonaleinträge müssen aber nicht alle gleich sein, spielt das eine Rolle? Ansonsten wäre das ja nichts anderes als eine Matrix:
[mm] A_B^B [/mm] = a [mm] \pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ ... & 0 & ...},
[/mm]
wobei a ein Vektor mit den verschiedenen [mm] a_i's [/mm] ist. Oder?
Aber die Abbildung hat ja noch nicht ganz die gesuchte Form... eben weil das ja kein skalares a ist, sondern ein Vektor mit nicht notwendigerweise gleicher [mm] a_i's...
[/mm]
Gruß und dank :)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:28 So 27.04.2008 | | Autor: | piet.t |
>
> Die Diagonaleinträge müssen aber nicht alle gleich sein,
> spielt das eine Rolle? Ansonsten wäre das ja nichts anderes
> als eine Matrix:
>
> [mm]A_B^B[/mm] = a [mm]\pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ ... & 0 & ...},[/mm]
>
> wobei a ein Vektor mit den verschiedenen [mm]a_i's[/mm] ist. Oder?
>
> Aber die Abbildung hat ja noch nicht ganz die gesuchte
> Form... eben weil das ja kein skalares a ist, sondern ein
> Vektor mit nicht notwendigerweise gleicher [mm]a_i's...[/mm]
>
Genau das ist der Knackpunkt - wir müssen jetzt noch zeigen, dass alle [mm] a_i [/mm] gleich sind.
Dazu betrachten wir z.B. den Vektor [mm] $b_i [/mm] + [mm] b_j$: [/mm] Was hat der für ein Bild unter A und was folgt aus der A-Invarianz des Unterraum [mm] <$b_i [/mm] + [mm] b_j$>?
[/mm]
Gruß
piet
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:02 So 27.04.2008 | | Autor: | lauser |
Hallo.
Also [mm] b_1 [/mm] + [mm] b_2 [/mm] unter [mm] A_B^B [/mm] wird doch [mm] a_1 b_1 [/mm] + [mm] a_2 b_2. [/mm] Der Unterraum U := < [mm] b_1 [/mm] + [mm] b_2 [/mm] > ist ebenfalls A invariant, d.h. [mm] A() \leq [/mm] <b1 + [mm] b_2>, [/mm]
d.h. für ein u [mm] \in [/mm] U ist A(u) = a u [mm] \in [/mm] U, und u kann über [mm] b_1 [/mm] und [mm] b_2 [/mm] dargestellt werden, d.h. [mm] A_B^B [/mm] (u) = a (k [mm] b_1 [/mm] + k [mm] b_2)
[/mm]
Aber da stimmt doch was nicht?
Ich kann den Gedanken nicht wirklich nachvollziehen. <b1 + b2> das sind alle vielfachen davon.
Aber das kann ja jetzt nicht stimmen...
Gruß Lauser!
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:28 So 27.04.2008 | | Autor: | piet.t |
> Hallo.
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> Also [mm]b_1[/mm] + [mm]b_2[/mm] unter [mm]A_B^B[/mm] wird doch [mm]a_1 b_1[/mm] + [mm]a_2 b_2.[/mm] Der
> Unterraum U := < [mm]b_1[/mm] + [mm]b_2[/mm] > ist ebenfalls A invariant,
> d.h. [mm]A() \leq[/mm] <b1 + [mm]b_2>,[/mm]
>
> d.h. für ein u [mm]\in[/mm] U ist A(u) = a u [mm]\in[/mm] U, und u kann über
> [mm]b_1[/mm] und [mm]b_2[/mm] dargestellt werden, d.h. [mm]A_B^B[/mm] (u) = a (k [mm]b_1[/mm]
> + k [mm]b_2)[/mm]
> Aber da stimmt doch was nicht?
Wieso nicht? Betrachten wir doch mal [mm] $u=b_1+b_2$ [/mm] - das habe wir ja oben schon mal ausgerechnet. Wie Du schon festgestellt hast gilt aufgrund der A-Invarianz von [mm] <$b_1+b_2$>, [/mm] dass [mm] $A(b_1+b_2) [/mm] = [mm] a(b_1+b_2)$ [/mm] - mit irgend einem noch nicht näher bestimmten a.
Oben hast Du aber auch festgestellt, dass [mm] $A(b_1+b_2) [/mm] = [mm] a_1b_1+a_2b_2$ [/mm] mit den [mm] a_1, a_2 [/mm] aus unserer (vorläufigen) Matrix-Darstelung.
Wir haben jetzt also das Bild von [mm] $(b_1+b_2)$ [/mm] unter A auf zwei verschiedene Weisen bestimmt. Es gibt aber nur ein Bild, also müssen die beiden rechten Seiten gleich sein:
[mm] $a(b_1+b_2) [/mm] = [mm] a_1b_1+a_2b_2$
[/mm]
Was kann man daraus nun für [mm] a_1 [/mm] und [mm] a_2 [/mm] folgern, wenn man bedenkt, dass b_1und [mm] b_2 [/mm] linear unabhängig sind??
Gruß
piet
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:17 So 27.04.2008 | | Autor: | lauser |
Hallo Piet...
gut da hab ich wohl die Hand vor den Augen nicht mehr gesehen. Klar, das daraus dann folgt, dass [mm] a_1 [/mm] = [mm] a_2 [/mm] = a sein muss.
Jetzt gilt es, das nur noch einigermaßen ansehlich aufzuschreiben :-P
"=>":Alle Unterräume sind A-invariant. Z.z. A hat dann die Form A = a [mm] 1_V [/mm] mit a [mm] \in [/mm] K.
Sei B = [mm] {b_1,...,b_n} [/mm] eine Basis von V.
Betrachte die eindimensionalen Unterräume die von den Basisvektoren erzeugt werden:
[mm] U_i [/mm] = < [mm] b_i [/mm] >, i [mm] \in [/mm] {1,...,n}.
Diese sind nach Voraussetzung A-invariant, d.h.
[mm] A(b_i) [/mm] = [mm] a_i b_i \in [/mm] U für ein [mm] a_i \in [/mm] K.
Die Darstellungsmatrix von A bzglich der Basis B ist daher:
[mm] A_B^B [/mm] = [mm] \pmat{ a_1 & 0 & 0 & ... \\ 0 & a_2 & 0 & ... \\ 0 & 0 & a_3 & 0}
[/mm]
Noch zu zeigen, alle [mm] a_i [/mm] sind gleich. Betrachte dazu etwa [mm] . [/mm] Aufgrund der A-Invarianz ist:
Sei u = [mm] b_1 [/mm] + ... + [mm] b_n.
[/mm]
[mm] A(b_1 [/mm] + ... + [mm] b_n) [/mm] = a [mm] (b_1 [/mm] + ... + [mm] b_n).
[/mm]
Jedoch ist [mm] A_B^B(u) [/mm] = [mm] a_1 b_1 [/mm] + ... + [mm] a_n b_n.
[/mm]
Da aber [mm] A_B^B(u) [/mm] = A(u) und die [mm] b_i [/mm] linear unabhängig sind, folgt damit [mm] a_1 [/mm] = a, [mm] a_2 [/mm] = a, ... [mm] a_n [/mm] = a.
D.h. alle [mm] a_i [/mm] sind gleich, damit ist die Abbildung A = a [mm] 1_V [/mm] mit a [mm] \in [/mm] K.
Aber das sieht mir immer noch zu holprig aus und irgendwie nicht "allgemeingültig" genug...
Was meinst du?
Liebe Grüße und danke!
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 09:18 Mo 28.04.2008 | | Autor: | piet.t |
Hallo,
für mich sieht das schon recht gut aus. Nur an einer Stelle hätte ich eine kleine Anmerkug:
>
> Noch zu zeigen, alle [mm]a_i[/mm] sind gleich. Betrachte dazu etwa
> [mm].[/mm] Aufgrund der A-Invarianz ist:
>
> Sei u = [mm]b_1[/mm] + ... + [mm]b_n.[/mm]
>
> [mm]A(b_1[/mm] + ... + [mm]b_n)[/mm] = a [mm](b_1[/mm] + ... + [mm]b_n).[/mm]
>
Da holpert es zum einen sprachlich (Was "ist aufgrund der A-Invarianz"?), zum anderen taucht da ein u auf, das vorher nirgends eingeführt wurde - was soll u denn sein?
>
> Aber das sieht mir immer noch zu holprig aus und irgendwie
> nicht "allgemeingültig" genug...
>
Ich wüsste nicht, was man jetzt noch allgemeingültiger haben müsste - zumindest wenn V endlich-dimensional ist. Für unendlich-dimensionales V müsste man wohl noch etwas mehr Hirnschmalz hineinstecken, aber grundsätzlich sollte es m.E. in der gleichen Richtung funktionieren.
Gruß
piet
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:37 Mo 28.04.2008 | | Autor: | lauser |
Hallo Piet!
Das u = [mm] b_1 [/mm] + ... + [mm] b_n \in , [/mm] damit habe ich alle [mm] b_i's [/mm] drinnen.
Aufgrund der A-invarianz ist A(u) = [mm] a(b_1 [/mm] + ... + [mm] b_n).
[/mm]
Die Darstellungsmatrix [mm] A_B^B [/mm] (u) sagt aber:
[mm] A_B^B(u) [/mm] = [mm] a_1 b_1 [/mm] + ... [mm] a_n b_n.
[/mm]
Daraus folgt aber [mm] a_1 [/mm] = a, ..., [mm] a_n [/mm] = a, d.h. alle [mm] a_i [/mm] sind gleich.
Passt das so?
Grüße und dank
Lauser
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:05 Mo 28.04.2008 | | Autor: | piet.t |
Sieht m.E. gut aus!
Gruß
piet
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