Inverse, Injektivität < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:59 Fr 26.10.2012 | | Autor: | Lu- |
| Aufgabe | | Ist G eine abelsche Gruppe, so ist [mm] \phi: [/mm] G->G, [mm] \phi(x) =x^{-1} [/mm] ein Automorphismus. |
Hallo
Es ist klar, dass diese Abbildung einen Endomorphismus darstellen.
Nun aber die Injektivität ist mir nicht klar:
Sei [mm] \phi(x) [/mm] = [mm] \phi(y)
[/mm]
<=> [mm] x^{-1} [/mm] = [mm] y^{-1}
[/mm]
Wie folgt nun daraus das x= y ?
Liebe Grüße
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:09 Fr 26.10.2012 | | Autor: | tobit09 |
Hallo Lu,
> Nun aber die Injektivität ist mir nicht klar:
> Sei [mm]\phi(x)[/mm] = [mm]\phi(y)[/mm]
> <=> [mm]x^{-1}[/mm] = [mm]y^{-1}[/mm]
> Wie folgt nun daraus das x= y ?
Eine Möglichkeit: Aus [mm] $x^{-1}=y^{-1}$ [/mm] folgt durch Inversenbildung auf beiden Seiten [mm] $(x^{-1})^{-1}=(y^{-1})^{-1}$, [/mm] was nichts anderes als $x=y$ besagt.
Andere Möglichkeit: Multipliziere die Gleichung [mm] $x^{-1}=y^{-1}$ [/mm] von links mit x und von rechts mit y.
Viele Grüße
Tobias
P.S.: Surjektivität nicht vergessen.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:04 Fr 26.10.2012 | | Autor: | Lu- |
danke ;)
Liebe Grüße
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