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Forum "Laplace-Transformation" - Inverse L-Transformation AWP
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Inverse L-Transformation AWP: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:23 Fr 08.02.2019
Autor: hase-hh

Aufgabe
Inverse Laplace-Transformation

Lösen Sie das Anfangswertproblem  y '' (t) - y(t) = t    mit y(0) = 1 und y ' (0) = 1

mit Hilfe der Laplace-Transformation / Inversen Laplace-Transformation.

Hinweis für die Rücktransformation:
Zeigen Sie, dass die Partialbruchzerlegung  [mm] \bruch{1}{x^2*(x^2-1)}= \bruch{0}{x} [/mm] - [mm] \bruch{1}{x^2} [/mm] - [mm] \bruch{1}{2}*\bruch{1}{x+1} [/mm] +  [mm] \bruch{1}{2}*\bruch{1}{x-1} [/mm]   gilt.

Moin Moin,

zunächst bilde ich die Laplace-Transformation von

y '' (t) - y(t) = t  

[mm] s^2*Y(s) [/mm] -s*y(0) -y ' (0)  - Y(s) = [mm] \bruch{1}{s^2} [/mm]

[mm] s^2*Y(s) [/mm] -s*1 -1  - Y(s) = [mm] \bruch{1}{s^2} [/mm]

[mm] s^2*Y(s) [/mm] - Y(s) = [mm] \bruch{1}{s^2} [/mm] +s + 1

[mm] (s^2-1)*Y(s) [/mm] = [mm] \bruch{1}{s^2} [/mm] +s + 1

Y(s) = [mm] \bruch{\bruch{1}{s^2} +s + 1}{s^2-1} [/mm]

Y(s) = [mm] \bruch{1}{s^2*(s^2-1)} [/mm] + [mm] \bruch{s}{s^2-1} [/mm] + [mm] \bruch{1}{s^2-1} [/mm]

richtig?


Ich bilde hierzu die Inverse Laplace-Transformation mithilfe von Korrespondenztabellen...


[mm] L^{-1}(Y(s)) [/mm]   = [mm] \bruch{sinh(1*t) -1*t}{1^3} [/mm] + cosh(1*t)  + [mm] \bruch{sinh(1*t)}{1} [/mm]

[mm] L^{-1}(Y(s)) [/mm] = sinh(t) -t +cosh(t) + sinh(t)

[mm] L^{-1}(Y(s)) [/mm] = 2*sinh(t) +cosh(t) -t

richtig?


Wie zeige ich jetzt aber, dass die Partialbruchzerlegung gilt???

Meine Idee war, dass die Funktion bei x, x+1 und x -1  bzw. für x=0 , x=-1 und x = 1  Nullstellen besitzt.

Dies könnte ich vielleicht zeigen, indem ich in die Funktion t=0, t=1 und t=-1 einsetze. Leider erhalte ich aber nur bei t=0 einen Funktionswert von 0 ???

Wie müsste ich vorgehen?


Vielen Dank für eure Hilfe!






        
Bezug
Inverse L-Transformation AWP: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:38 Fr 08.02.2019
Autor: fred97


> Inverse Laplace-Transformation
>  
> Lösen Sie das Anfangswertproblem  y '' (t) - y(t) = t    
> mit y(0) = 1 und y ' (0) = 1
>  
> mit Hilfe der Laplace-Transformation / Inversen
> Laplace-Transformation.
>
> Hinweis für die Rücktransformation:
> Zeigen Sie, dass die Partialbruchzerlegung  
> [mm]\bruch{1}{x^2*(x^2-1)}= \bruch{0}{x}[/mm] - [mm]\bruch{1}{x^2}[/mm] -
> [mm]\bruch{1}{2}*\bruch{1}{x+1}[/mm] +  [mm]\bruch{1}{2}*\bruch{1}{x-1}[/mm]  
>  gilt.
>  Moin Moin,
>  
> zunächst bilde ich die Laplace-Transformation von
>
> y '' (t) - y(t) = t  
>
> [mm]s^2*Y(s)[/mm] -s*y(0) -y ' (0)  - Y(s) = [mm]\bruch{1}{s^2}[/mm]
>  
> [mm]s^2*Y(s)[/mm] -s*1 -1  - Y(s) = [mm]\bruch{1}{s^2}[/mm]
>  
> [mm]s^2*Y(s)[/mm] - Y(s) = [mm]\bruch{1}{s^2}[/mm] +s + 1
>  
> [mm](s^2-1)*Y(s)[/mm] = [mm]\bruch{1}{s^2}[/mm] +s + 1
>  
> Y(s) = [mm]\bruch{\bruch{1}{s^2} +s + 1}{s^2-1}[/mm]
>  
> Y(s) = [mm]\bruch{1}{s^2*(s^2-1)}[/mm] + [mm]\bruch{s}{s^2-1}[/mm] +
> [mm]\bruch{1}{s^2-1}[/mm]
>
> richtig?
>  
>
> Ich bilde hierzu die Inverse Laplace-Transformation
> mithilfe von Korrespondenztabellen...
>  
>
> [mm]L^{-1}(Y(s))[/mm]   = [mm]\bruch{sinh(1*t) -1*t}{1^3}[/mm] + cosh(1*t)  +
> [mm]\bruch{sinh(1*t)}{1}[/mm]
>  
> [mm]L^{-1}(Y(s))[/mm] = sinh(t) -t +cosh(t) + sinh(t)
>  
> [mm]L^{-1}(Y(s))[/mm] = 2*sinh(t) +cosh(t) -t
>
> richtig?

Ja, alles bestens.


>
>
> Wie zeige ich jetzt aber, dass die Partialbruchzerlegung
> gilt???
>
> Meine Idee war, dass die Funktion bei x, x+1 und x -1  bzw.
> für x=0 , x=-1 und x = 1  Nullstellen besitzt.
>
> Dies könnte ich vielleicht zeigen, indem ich in die
> Funktion t=0, t=1 und t=-1 einsetze. Leider erhalte ich
> aber nur bei t=0 einen Funktionswert von 0 ???
>  
> Wie müsste ich vorgehen?

Ansatz:  $ [mm] \bruch{1}{x^2\cdot{}(x^2-1)}= \bruch{A}{x} [/mm] $ + $ [mm] \bruch{B}{x^2} [/mm] $ +$ [mm] \bruch{C}{x+1} [/mm] $ +  $ [mm] \bruch{D}{x-1} [/mm] $

Dann multiplizieren wir mit [mm] x^2(x^2-1) [/mm] durch und bekommen:

[mm] 1=Ax(x^2-1)+B(x^2-1)+Cx^2(x-1)+Dx^2(x+1). [/mm]

In diese Gleichung setzt Du nacheinander x=0, x=1 und x=-1 ein. Das liefert Dir B, D und C.

Nun solltest Du A selbst bestimmen können.

>  
>
> Vielen Dank für eure Hilfe!
>  
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Bezug
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