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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:08 Mi 28.12.2011 | | Autor: | Random |
| Aufgabe | Bestimmen sie für a>0 die inverse Laplace-Transformation der Funktion F definiert durch:
[mm] F(s)=(1-e^{-as})*\bruch{1}{s(s-1)}. [/mm] |
Guten Morgen! :)
Ich hab mir den Teil zu Laplace-Transformation im Skript durchgelesen und weiss trotzdem nicht wie ich die Aufgabe angehen soll.
Ein Tipp wäre sehr nett.
Meine Überlegung:
Ich suche: [mm] L^{-1}(F)
[/mm]
Und ich kann den Ausdruck umschreiben in: [mm] L^{-1}(F)=L^{-1}(\bruch{1}{s^2-s})-L^{-1}(\bruch{e^{-as}}{s^2-s})
[/mm]
Ich find aber keine passende Funktion in der Tabele ^^.
Ilya
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:19 Mi 28.12.2011 | | Autor: | Infinit |
Hallo ilya,
Gucke erst mal nach dem letzten Term
[mm] \bruch{1}{s(s-1)} [/mm] , den Du mit Hilfe einer Partialbruchzerlegeung aufteilen kannst.
[mm] \bruch{1}{s(s-1)} = \bruch{A}{s} + \bruch{B}{s-1} [/mm]
Ein Koeffizientenvergleich liefert Dir die Werte für A und B.
Der Multiplikator vor diesem letzten Term deutet sehr stark auf die Anwendung des Verschiebungssatzes hin, denn zu einer um a zeitverschobenen Funktion gehört im Laplacebereich eine mit diesem Faktor versehene e-Funktion.
Zu
[mm] f(t-a) [/mm] gehört die Laplacetransformierte
[mm] e^{-as} F(s) [/mm]
Damit hast Du alles zusammen, was Du so brauchst.
Viele Grüße,
Infinit
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:25 Mi 28.12.2011 | | Autor: | Random |
Danke. An die Partialbruchzerlegung hab ich nicht gedacht.
Ich bekomm ja dann [mm] -\bruch{1}{s}+\bruch{1}{s-1}
[/mm]
und das liefert mir: [mm] L^{-1}(-\bruch{1}{s}+\bruch{1}{s-1})=e^t-1 [/mm]
bleibt nur noch der Teil mit [mm] -\bruch{e^{-as}}{s(s-1)}
[/mm]
Und das ist die Verschiebung um a: [mm] e^{-as}*-\bruch{1}{s(s-1)}
[/mm]
Also krieg ich wieder [mm] e^t-1 [/mm] mit nem Minus davor: [mm] -(e^t-1) [/mm] und statt t ist es dann einfach t-a?
Also: [mm] -(e^{t-a}-1)
[/mm]
Die Lösung wäre somit einfach: [mm] L^{-1}(F(s))=e^t-1-(e^{t-a}-1)=e^t-1-(e^{t-a}-1)=e^t-e^{t-a}
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:38 Mi 28.12.2011 | | Autor: | Infinit |
Hallo Random,
mit der 1 als Rücktransformierte musst Du etwas aufpassen. Was Du meinst, ist die für t > 0 definierte Sprungfunktion [mm] \epsilon (t) [/mm]. Diese wird dann auch um die Zeitspanne a verschoben, geschrieben als
[mm] \epsilon(t-a) [/mm]. Ansonsten passiert so etwas, wie es Dir passiert ist, und die 1 kürzt sich raus, das macht sie aber nicht. Schreibe deswegen den hinteren Term rücktransformiert besser als
[mm] e^t - \epsilon(t) [/mm]
Viele Grüße,
Infinit
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:49 Mi 28.12.2011 | | Autor: | Random |
Also wäre die Lösung: [mm] L^{-1}(F(s))=e^t-1-(e^{t-a}-\epsilon(t))=-e^{t-a}+e^t+\epsilon(t)-1
[/mm]
Hab ich das richtig verstanden, dass statt der "1" in der Verschobenen Funktion die [mm] \epsilon(t) [/mm] Funktion eingesetzt wird, da sie 1 ja auch von der Verschiebung betroffen ist?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:22 Mi 28.12.2011 | | Autor: | Infinit |
Hallo Random,
das hast Du richtig verstanden, aber falsch hingeschrieben. Zum Term [mm] \bruch{1}{s} [/mm] gehört die Sprungfunktion [mm] \epsilon (t) [/mm].
Damit bekonnst Du
[mm] e^t - \epsilon (t) - \left( e^{(t-a)} - \epsilon (t-a)\right) [/mm]
Viele Grüße,
Infinit
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:19 Mi 28.12.2011 | | Autor: | Random |
Vielen Dank Infinit. ^^
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