Inverse Matrix mittels Gauss < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:01 Do 03.02.2005 | | Autor: | Maiko |
Hallo!
Ich habe die Aufgabe eine inverse Matrix mittels Gauss-Algorithmus zu bilden. Ich habe folgende Matrix gegeben:
|2 1 3 -1|
|4 3 1 0|
|2 1 2 -2|
|-2 -1 1 2|
Formel lautet A,E -> E,A^-1
Ich habe nun folgende Matrize umgeformt zu danachfolgender Matrize:
|2 1 3 -1|1 0 0 0
|4 3 1 0|0 1 0 0
|2 1 2 -2|0 0 1 0
|-2 -1 1 2|0 0 0 1
|2 1 3 -1|1 0 0 0
|0 -1 5 -2|2 -1 0 0
|0 0 1 1|1 0 -1 0
|0 0 0 3|3 0 -4 -1
Jetzt habe ich unten links ein Dreieck mit 0en in der Ausgangsmatrize.
Nun muss ich ja noch oben ein Dreick mit 0en in der Ausgangsmatrize bilden.
Leider weiß ich nicht, wie ich da vorgehen muss. Wie fange ich am besten an, um auch oben 0en zu erzeugen?
Könnte mir jmd. vielleicht die ersten zwei Schritte mit Zwischenlösung herschreiben? Den Rest würde ich dann allein machen.
Das wäre eine große Hilfe! Danke!
Ich habe diese Frage schon hier gestellt:
http://www.emath.de/Mathe-Board/messages/3/13672.html?1107420849
In dem Mathe-Forum bekommt man meist erst spät abends eine Antwort, deswegen dachte ich, weil hier zur Zeit nicht allzuviele Fragen offen stehen, poste ich es hier, weil ich beim Lernen bissel voran kommen wollte.
Ich hoffe, das geht in Ordnung??! Ich würde natürlich dort bescheid sagen,wenn ich hier eine Antwort erhalten habe und natürlich auch andersrum.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:01 Do 03.02.2005 | | Autor: | pjoas |
Hallo,
du machst einfach genauso weiter und nullst nach und nach die nichtdiagonalen Elemente weg weg:
zum Beispiel addierst du das -3fache der 3.Zeile zur 4.Zeile und behälst das Ergebnis in der 3.Zeile -> schon hast du in der 3. Zeile nur noch einen Wert ungleich 0 stehen.
Analog addierst zu zum 3fachen der 2. Zeile das doppelte der 4.Zeile und behälst das Ergebnis in der 2. Zeile -> schon hat sich die 4. Stelle der 2. Zeile aufgelöst. Analog mit der 1. Zeile.
Danach fasst du 1.und 3. und 2.und 3. Zusammen, so daß sich die 3. Stelle "auflöst"... nach und nach bekommst du auf der linken Seite eine Diagonalmatrix. Diese musst du nur noch normieren (auf 1en bringen) und dann bist du fertig.
also:
|2 1 3 -1|1 0 0 0
|0 -1 5 -2|2 -1 0 0
|0 0 1 1|1 0 -1 0 (*-3) + 4.Zeile
|0 0 0 3|3 0 -4 -1
|2 1 3 -1|1 0 0 0
|0 -1 5 -2|2 -1 0 0 (*3) +(4.Zeile *2)
|0 0 -3 0|0 0 -1 -1
|0 0 0 3|3 0 -4 -1
|2 1 3 -1|1 0 0 0
|0 -3 15 0|12 -3 -8 -2
|0 0 -3 0|0 0 -1 -1
|0 0 0 3|3 0 -4 -1
usw.
Gruß, Patrick
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:43 Do 03.02.2005 | | Autor: | Maiko |
Hallo!
Danke für die schnelle Antwort.
Ich habe noch einmal eine andere Lösungsvariante ausprobiert, und zwar habe ich die ursprüngliche Ausgangsmatrix und Einheitsmatrix nach Erzeugung von 0en unterhalb der Diagonale transponiert. So bekomme ich ja die 0en oberhalb der Diagonale nach unten und kann einfach weiterrechnen.
1. Schritt:
|2 1 3 -1|1 0 0 0
|0 -1 5 -2|2 -1 0 0
|0 0 1 1|1 0 -1 0
|0 0 0 3|3 0 -4 -1
2.Schritt (transponiert)
|2 0 0 0|1 2 1 3
|1 -1 0 0|0 -1 0 0
|3 5 1 0|0 0 -1 -4
|-1 -2 1 3|0 0 0 -1
Meine Frage:
Das Ergebnis ist nicht gleich dem aus dem Lösungsbuch. Ich glaub, dass muss aber auch nicht so sein. Die Determinanten der Matrizen aus meiner Rechnung und aus dem Lösungsbuch sind aber gleich. Leider komme ich aber bei der Kontrolle bei A*A^-1 = E nur bei der Lösung aus dem Lösungsbuch auf die Einheitsmatrix.
Könnte jmd. bitte kontrollieren, ob auch meine Lösung korrekt ist?
Ergebnis aus Lösungsbuch:
|18 -3 -20 -11|
|-24 6 26 14 | * 1/6
| 0 0 2 2 |
| 6 0 -8 -2|
Mein Ergebnis:
1/2 1 1/2 3/2
1/2 2 1/2 3/2
-4 13 -5 -16,5
11/6 6 13/6 20/3
Das habe ich aber noch nicht zurück transponiert?
Muss ich dies tun?
Selbst wenn ich es mache, und danach A * A^-1 rechne, komme ich nicht auf die Einheitsmatrix.
Habe ich trotzdem eine richtige inverse Matrix? Könnte das bitte jmd. kontrollieren?
Das wäre eine große Hilfe.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:26 Do 03.02.2005 | | Autor: | Marsei |
Also die Matrix aus dem Lösungsbuch ist auf jeden Fall richtig, denn es muss ja gelten:
[mm] A*A^{-1}=E_{n}
[/mm]
Multiplizieren wir doch doch einmal die erste Spalte aus [mm] A^{-1} [/mm] mit der ersten Zeile aus A so erhalten wir
(32-24+0-6)* [mm] \bruch{1}{6}=1...
[/mm]
bei dir sieht das etwas anderes wie du ja festgelstellt hast.
Dein Problem ist, dass du nicht die Inverse der transpornierten Matrix mit der Ausgangsmatrix multiplizieren kannst um die Einheitsmatrix zu erhalten (transporieren gehört nicht zum Gauss-Algorhithmus).
Aber deine Matrix fast die richtige Iverse zu deiner Transpornierten:
[mm] \pmat{ 2 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & -1 & 0 & 0 \\ 3 & 5 & 1 & 0 \\ -1 & -2 & 1 & 5 } [/mm]
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Hallo.
Soweit ich das in der kurzen Zeit überblicken konnte, sind deine Umformungen alle richtig.
Allerdings bilden die invertierbaren Matrizen bezüglich Multiplikation eine Gruppe, das heißt unter anderem auch das die Inverse zu einer Matrix A eindeutig bestimmt ist, also im Klartext, daß die Lösung in deinem Buch die einzig richtige ist.
Das Problem ist hier vielmehr, daß Du transponiert hast, das heißt, sowohl Zeilen- als auch Spaltenoperationen angewandt hast.
Daß das nicht einfach so geht, kannst Du dir am besten an einem einfachen LGS klarmachen, denn offensichtlich verändert das da auch die Lösungsmenge.
Daß die Determinanten der beiden Matrizen übereinstimmen ist aber auch nicht weiter verwunderlich, denn wenn Du zu einer Zeile das k-Fache einer anderen Zeile addierst, verändert sich die Determinante nicht (das kann man sich leicht daran klarmachen, daß det eine multilineare Abbildung ist), ebenso bei Spaltenoperationen dieses Typs.
Anders ist es dagegen, wenn Du einfach nur eine Zeile oder Spalte mit k ungleich 0 multiplizierst. Dann wird aus der ursprünglichen Determinante das k-fache, aber da Du ja bei deinem Algorithmus die linke Seite in beiden Fällen auf die Einheitsmatrix umformst, sollten sich auch diese Unterschiede wieder aufheben, so daß Du am Ende beidesmal dieselbe Determinante erhältst.
Fazit ist also: Beim Gauß-Algorithmus nur Zeilenoperationen verwenden, dann wird das Ergebnis richtig sein und Zeilenoperationen sind einem sowieso von linearen Gleichungssystemen her geläufiger.
Gruß,
Christian
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