Inverse einer Matrix bestimmen < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | | Bestimmen Sie die inverse Matrix zu $A = [mm] \pmat{ 0 & 6 & 4 \\ 3 & 2 & 0 \\ 5 & 4 & 1}$ [/mm] in [mm] $\mathbb{Z}_7$, [/mm] sowie [mm] $\det(A)$ [/mm] in nachvollziehbaren Schritten. |
Hallo Matheforum,
wer findet meinen Fehler, ich moechte ihn wiederhaben, finde ihn aber leider nicht :(!
Bestimmen von [mm] $\det(A)$:
[/mm]
[mm] $\det(A) [/mm] = 0 [mm] \cdot [/mm] 2 [mm] \cdot [/mm] 1 + 6 [mm] \cdot [/mm] 0 [mm] \cdot [/mm] 5 + 4 [mm] \cdot [/mm] 3 [mm] \cdot [/mm] 4 - 5 [mm] \cdot [/mm] 2 [mm] \cdot [/mm] 4 - 4 [mm] \cdot [/mm] 0 [mm] \cdot [/mm] 0 - 1 [mm] \cdot [/mm] 3 [mm] \cdot [/mm] 6 = 48 - 40 - 18 = -10 mod 7 = 4$
Bestimmen von [mm] $A^{-1}$:
[/mm]
[mm] $C_A [/mm] = [mm] \pmat{
(+)\vmat{ 2 & 4 \\ 0 & 1 } & (-)\vmat{ 0 & 1 \\ 3 & 5 } & (+)\vmat{ 3 & 5 \\ 2 & 4} \\
(-)\vmat{ 4 & 6 \\ 1 & 4 } & (+)\vmat{ 1 & 4 \\ 5 & 0 } & (-)\vmat{ 5 & 0 \\ 4 & 6} \\
(+)\vmat{ 6 & 2 \\ 4 & 0 } & (-)\vmat{ 4 & 0 \\ 0 & 3 } & (+)\vmat{ 0 & 3 \\ 6 & 2} }$
[/mm]
Ausrechnen der einzelnen Elemente:
[mm] $c_{11} [/mm] = 2 [mm] \cdot [/mm] 1 + 4 [mm] \cdot [/mm] 0 = [mm] 2\\
[/mm]
[mm] c_{12} [/mm] = 0 [mm] \cdot [/mm] 5 - 1 [mm] \cdot [/mm] 3 = -3 [mm] \mod [/mm] 7 = [mm] 4\\
[/mm]
[mm] c_{13} [/mm] = 3 [mm] \cdot [/mm] 4 + 5 [mm] \cdot [/mm] 2 = 22 [mm] \mod [/mm] 7 = [mm] 1\\
[/mm]
[mm] c_{21} [/mm] = 4 [mm] \cdot [/mm] 4 - 6 [mm] \cdot [/mm] 1 = 10 [mm] \mod [/mm] 7 = [mm] 3\\
[/mm]
[mm] c_{22} [/mm] = 1 [mm] \cdot [/mm] 0 + 4 [mm] \cdot [/mm] 5 = 20 [mm] \mod [/mm] 7 = [mm] 6\\
[/mm]
[mm] c_{23} [/mm] = 5 [mm] \cdot [/mm] 6 - 0 [mm] \cdot [/mm] 4 = 30 [mm] \mod [/mm] 7 = [mm] 2\\
[/mm]
[mm] c_{31} [/mm] = 6 [mm] \cdot [/mm] 0 + 2 [mm] \cdot [/mm] 4 = 8 [mm] \mod [/mm] 7 = [mm] 1\\
[/mm]
[mm] c_{32} [/mm] = 4 [mm] \cdot [/mm] 3 - 0 [mm] \cdot [/mm] 0 = 12 [mm] \mod [/mm] 7 = [mm] 5\\
[/mm]
[mm] c_{33} [/mm] = 0 [mm] \cdot [/mm] 2 + 3 [mm] \cdot [/mm] 6 = 18 [mm] \mod [/mm] 7 = [mm] 4\\$
[/mm]
[mm] $C_A [/mm] = [mm] \pmat{ 2 & 4 & 1 \\ 3 & 6 & 2 \\ 1 & 5 & 4}$
[/mm]
Traversieren der Matrix [mm] $C_A$:
[/mm]
[mm] $C_A^{T} [/mm] = [mm] \pmat{ 2 & 3 & 1 \\ 4 & 6 & 5 \\ 1 & 2 & 4}$
[/mm]
Berechnen von [mm] $A^{-1}$:
[/mm]
[mm] $\det(A) \cdot C_A^{T} [/mm] = 4 [mm] \cdot \pmat{ 2 & 3 & 1 \\ 4 & 6 & 5 \\ 1 & 2 & 4} [/mm] = [mm] \pmat{ 8 & 12 & 4 \\ 16 & 24 & 20 \\ 4 & 8 & 16} [/mm] = [mm] \pmat{ 1 & 5 & 4 \\ 2 & 3 & 6 \\ 4 & 1 & 2}$
[/mm]
Pruefen ob das Ergebnis Stimmt $A [mm] \cdot A^{-1} [/mm] = [mm] \pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1}$:
[/mm]
[mm] $e_{11} [/mm] = 1 [mm] \cdot [/mm] 1 + 5 [mm] \cdot [/mm] 0 + 4 [mm] \cdot [/mm] 0 = [mm] 1\\
[/mm]
[mm] e_{12} [/mm] = 1 [mm] \cdot [/mm] 2 + 5 [mm] \cdot [/mm] 2 + 4 [mm] \cdot [/mm] 2 = 20 [mm] \mod [/mm] 7 = [mm] 6\\$
[/mm]
[mm] $e_{11}$ [/mm] passt noch, aber bei [mm] $e_{12}$ [/mm] kommt leider nicht $0$ raus. Ich habe schon 4 DinA4 Blaetter voll geschrieben aber mein Ergebnis wiederholt sich. Ich finde den Fehler nicht. Wo steckt er nur?
Vielen Dank fuer Eure Hilfe!
Viele Gruesse,
Chris
Edit5: Ich weiß nicht wieso sich die falsche Matrix $A$ in die Aufgabenstellung geschlichen hat... SORRY *argh*! Jetzt steht die richtige da!
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:44 Fr 07.04.2017 | | Autor: | leduart |
Hallo
erster Fehler den ich sehe [mm] C_{13} [/mm] 3*4-5*2=2
du kannst immer mit einem Matrixrechner überprüfen: z.B:
https://matrixcalc.org/de/#%7B%7B0,6,4%7D,%7B3,2,0%7D,%7B5,4,1%7D%7D%5E%28-1%29
Gruß leduart
|
|
|
| |
|
Hallo leduart,
danke fuer deine Antwort!
Wieso ist es ein $-$? Ich habe mir unter
https://en.wikipedia.org/wiki/Adjugate_matrix (bei 3 × 3 generic matrix)
das Schema abgeschaut. Und da ist doch fuer [mm] $c_{13}$ [/mm] ein $+$ vermerkt. Oder mach ich das falsch?
Gruß,
Chris
P.S.: Ich hab das Problem gefunden, die Darstellung auf Wikipedia habe ich einfach missverstanden. Danke fuer die Hilfe!
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:05 Fr 07.04.2017 | | Autor: | Fulla |
Hallo Chris,
du hast es wahrscheinlich jetzt schon selbst bemerkt, aber du musst erst die Determinanten berechnen und dann das Vorzeichenschema anwenden.
Lieben Gruß,
Fulla
|
|
|
| |
|
Hallo Fulla,
danke fuer deine Antwort. Und ja, ich dachte ich habe meinen Fehler gefunden. Jetzt habe ich es aber nochmal nach diesem Schema berechnet und finde die inverse Matrix leider nicht.
Ich schreibe meine Schritte nochmal ganz exakt auf, wuerde mich wirklich riesig freuen wenn du (ihr) mir hier weiterhelfen kannst!
Also gegeben die Matrix $A = [mm] \pmat{0 & 6 & 4 \\ 3 & 2 & 0 \\ 5 & 4 & 1}_{\mathbb{Z}_7}$
[/mm]
Ich suche die inverse Matrix und moechte dafuer die Adjunkte zu A bestimmen. Diese "ent"traversieren und dann mit Eins durch die Determinante multiplizieren. Dann sollte $A [mm] \cdot A^{-1} [/mm] = e$ das neutrale Element der Matrix ergeben.
Okay, die Determinante bestimmen:
$det(A) = 5 [mm] \cdot [/mm] 6 [mm] \cdot [/mm] 0 + 3 [mm] \cdot [/mm] 4 [mm] \cdot [/mm] 4+ 0 [mm] \cdot [/mm] 2 [mm] \cdot [/mm] 1 - 0 [mm] \cdot [/mm] 0 [mm] \cdot [/mm] 4 - 1 [mm] \cdot [/mm] 6 [mm] \cdot [/mm] 3 - 4 [mm] \cdot [/mm] 2 [mm] \cdot [/mm] 5 = - 10 [mm] \mod [/mm] 7 = 4$
Nun die Adjunkte von $A$:
$adj(A) = [mm] \pmat{ det\pmat{ 2 & 0 \\ 4 & 1} & -det\pmat{ 3 & 0 \\ 5 & 1} & det\pmat{3 & 2\\5 &4} \\ -det\pmat{ 6 &4 \\4 &1} & det\pmat{0 & 4\\5 &1} & -det\pmat{0 & 6\\5 &4} \\ det\pmat{6 & 4\\2 &0} & -det\pmat{0 &4 \\3 &0} & det\pmat{0 & 6\\ 3&2}}^T$
[/mm]
Berechnen der Unterdeterminanten:
[mm] $\pmat{(-1)^{1+1} 2\cdot 1 - 4\cdot 0 & (-1)^{1+2} 3\cdot 1 - 5 \cdot 0 & (-1)^{1+3} 3\cdot 4 - 5 \cdot 2 \\ (-1)^{2+1} 6\cdot 1 - 4 \cdot 4 & (-1)^{2+2} 0\cdot 1 - 5 \cdot 4 & (-1)^{2+3} 0\cdot 4 - 5 \cdot 6 & \\ (-1)^{3+1} 6\cdot 0 - 2 \cdot 4 & (-1)^{3+2} 0\cdot 0 - 3 \cdot 4 & (-1)^{3+3} 0\cdot 2 - 3 \cdot 6 &}^T$
[/mm]
[mm] $\pmat{ 2 & -1 \cdot 3 & (12 - 10) \\ -1\cdot (6 - 16) & -20 & -1 \cdot -30 \\ -8 & -1\cdot -12 & -18}^T$
[/mm]
Da wir in [mm] $\mathbb{Z}_7$ [/mm] rechnen:
[mm] $\pmat{ 2 \mod 7 & -3 \mod 7 & 2 \mod 7 \\ 10 \mod 7 & -20 \mod 7 & 30 \mod 7 \\ -8 \mod 7 & 12 \mod 7 & -18 \mod 7 }^T$
[/mm]
Ergibt:
[mm] $\pmat{2 & 4 & 2 \\ 3 & 1 & 2 \\ 6 & 5 & 3}^T$
[/mm]
"Ent"traversieren:
[mm] $\pmat{2 & 3 & 6 \\ 4 & 1 & 5 \\ 2 & 2 & 3}$
[/mm]
Jetzt kommen wir zu meinem ersten Punkt der mir nicht ganz klar ist:
[mm] $A^{-1} [/mm] = [mm] \frac{1}{det(A)} \cdot [/mm] adj(A)$
[mm] $\frac{1}{det(A)}$ [/mm] ist doch kein Element aus [mm] $\mathbb{Z}_7$ [/mm] und einen Schritt weiter gedacht, ist das Produkt [mm] $\frac{1}{det(A)} \cdot [/mm] adj(A)$ an einigen Stellen auch kein Element aus [mm] $\mathbb{Z}_7$. [/mm] Was durchblicke ich hier gerade nicht? Wenn ich es weiter rechne und dann mit [mm] $A^{-1} [/mm] \ cdot A$ pruefe, erhalte ich auch nicht die Einheitsmatrix.
Merci fuers Ansschauen, liebe Gruesse,
Chris
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:37 So 09.04.2017 | | Autor: | leduart |
Hallo
det(A) ist ja noch in [mm] ZZ_7:; [/mm] 1/(det(a)) ist dann das Inverse davon
hast du das mal in den Matrixrechner eingegeben und damit überprüft? natürlich muss man das dortige Ergebnis noch mod 7 rechnen.
alle deine Rechnungen per Hand zu überprüfen ist mir zu langweilig, vor allem weil ich diese Adjustierten Methode nie verwenden würde, [mm] A*A^{-1}=E [/mm] zu lösen finde ich schneller und sicherer, aber der Rechner rechnet ja auch die Schritte mit der Adj vor, also benutz den,
Gruß leduart
|
|
|
| |
|
Hallo leduart,
>hast du das mal in den Matrixrechner eingegeben und damit überprüft? natürlich muss man das dortige >Ergebnis noch mod 7 rechnen.
ja ich habe meine Ergebnisse mit dem Matrixrechner ueberprueft. Und die [mm] $\mod [/mm] 7$ Rechnung danach bin ich mit dem TR zur Kontrolle auch nochmal durch.
> det(A) ist ja noch in $ [mm] ZZ_7:; [/mm] $ 1/(det(a)) ist dann das Inverse davon
Aber das Inverse ist dann ja nicht mehr in [mm] $\mathbb{Z}_7$. [/mm] Und die resultierende Matrix auch nicht:
[mm] $\frac{1}{4}\cdot \pmat{2 & 3 & 6 \\ 4 & 1 & 5 \\ 2 & 2 & 3} [/mm] = [mm] \pmat{\frac{2}{4} & \frac{3}{4} & \frac{6}{4} \\ \frac{4}{4} & \frac{1}{4} & \frac{5}{4} \\ \frac{2}{4} & \frac{2}{4} & \frac{3}{4}}$
[/mm]
Ist das denn zulaessig?
> alle deine Rechnungen per Hand zu überprüfen ist mir zu langweilig,
Verstehe ich.
> vor allem weil ich diese Adjustierten Methode nie verwenden würde, $ [mm] A\cdot{}A^{-1}=E [/mm] $ zu lösen finde ich schneller und sicherer, aber der Rechner rechnet ja auch die Schritte mit der Adj vor, also benutz den.
Habe ich auch schon versucht, war die inverse Matrix auch wieder voll mit Bruechen. Ich versuche das nochmal.
Danke fuer die Hilfe!
Gruss,
Chris
|
|
|
| |
|
> > det(A) ist ja noch in [mm]ZZ_7:;[/mm] 1/(det(a)) ist dann das
> Inverse davon
> Aber das Inverse ist dann ja nicht mehr in [mm]\mathbb{Z}_7[/mm].
Hallo,
doch.
Es ist vllt. nicht so geschickt, in [mm] \IZ_7 [/mm] die Darstellung mit Brüchen zu verwenden.
Wir schreiben das mal lieber als "hoch minus 1".
Du hast det(A)=4, und nun brauchst Du [mm] (det(A))^{-1}=4^{-1}.
[/mm]
Was ist [mm] 4^{-1}? [/mm] Das Inverse zu 4, also die Zahl, die mit 4 multipliziert 1 ergibt!
Also ist
[mm] 4^{-1}=2, [/mm] denn [mm] 4*2\equiv [/mm] 1 (mod 7).
Wenn Du dies berücksichtigst, stimmt Deine Matrix, Du bekommst [mm] \pmat{4&6&5\\1&2&3\\4&4&6}.
[/mm]
Die Berechnung der inversen Matrix über die Adjunkte ist mir viel zu mühsam, da bekomme ich Knoten ins Gehirn.
Ich mache das mit Gauß:
Matrix links inschreiben, daneben die Einheitsmatrix, und dann mit dem Gaußalgorithmus arbeiten, bis links die Eineitsmatrix steht. Rechts hat man dann die Inverse:
A|E
[mm] \vdots
[/mm]
[mm] E|A^{-1}
[/mm]
Das Ganze natürlich modulo 7!
LG Angela
> Und die resultierende Matrix auch nicht:
> [mm]\frac{1}{4}\cdot \pmat{2 & 3 & 6 \\ 4 & 1 & 5 \\ 2 & 2 & 3} = \pmat{\frac{2}{4} & \frac{3}{4} & \frac{6}{4} \\ \frac{4}{4} & \frac{1}{4} & \frac{5}{4} \\ \frac{2}{4} & \frac{2}{4} & \frac{3}{4}}[/mm]
>
> Ist das denn zulaessig?
>
> > alle deine Rechnungen per Hand zu überprüfen ist mir zu
> langweilig,
> Verstehe ich.
>
> > vor allem weil ich diese Adjustierten Methode nie verwenden
> würde, [mm]A\cdot{}A^{-1}=E[/mm] zu lösen finde ich schneller und
> sicherer, aber der Rechner rechnet ja auch die Schritte mit
> der Adj vor, also benutz den.
> Habe ich auch schon versucht, war die inverse Matrix auch
> wieder voll mit Bruechen. Ich versuche das nochmal.
>
> Danke fuer die Hilfe!
>
>
> Gruss,
> Chris
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:49 So 09.04.2017 | | Autor: | Chrizzldi |
Liebe Angela,
ich weiß nicht was ich sagen soll, ausser DANKE!
Es ist so logisch, aber ich habs einfach uebersehen. Natuerlich ist es [mm] $4^{-1} [/mm] = 2$ in [mm] $\mathbb{Z}_7$.
[/mm]
Vielen vielen Dank. Das hat mich Stunden gekostet...
Mittlerweile bin ich beim Bestimmen der $adj(A)$ so verdammt schnell, dass es keine Knoten mehr gibt... bis auf diesen Einen... vielen Dank!
Liebe Gruesse und ein schoenen Sonntag!
Chris
|
|
|
|
