Inverse folg. Matrix < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:35 Do 22.01.2009 | | Autor: | nenena |
| Aufgabe 1 | [mm] \pmat{ cos \phi & sin \phi & 0 \\ - sin \phi & cos \phi & 0 \\ 0 & 0 & 1}
[/mm]
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| Aufgabe 2 | Guten Morgen,
ich suche die Inverse Matrix zu folgender Matrix
ich habe versucht, die 1. und 2. Zeile zu quadrieren und mit Hilfe des Additionstheorem [mm] cos^2 \phi + sin^2 \phi = 1 [/mm] heranzugehen doch dann ergibt sich in der 1. & 2. Zeile eine Nullzeile (1. Zeile von der 2. Zeile abgezogen und anders herum). Wo habe ich hier einen Denkfehler ? Kann es daran liegen das ich beim Quadrieren das Vorzeichen unterschlagen bzw. mir nicht genau überlege in welchem Quadranten ich mich bewege ?
Ich freue mich über jede Antwort sehr glücklich |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> [mm]\pmat{ cos \phi & sin \phi & 0 \\ - sin \phi & cos \phi & 0 \\ 0 & 0 & 1}
[/mm]
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> Guten Morgen,
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> ich suche die Inverse Matrix zu folgender Matrix
> ich habe versucht, die 1. und 2. Zeile zu quadrieren und
> mit Hilfe des Additionstheorem [mm]cos^2 \phi + sin^2 \phi = 1[/mm]
> heranzugehen doch dann ergibt sich in der 1. & 2. Zeile
> eine Nullzeile (1. Zeile von der 2. Zeile abgezogen und
> anders herum). Wo habe ich hier einen Denkfehler ? Kann es
> daran liegen das ich beim Quadrieren das Vorzeichen
> unterschlagen bzw. mir nicht genau überlege in welchem
> Quadranten ich mich bewege ?
hallo nenena,
Zeilen zu quadrieren ist natürlich bei Umformungen
von Matrizen keine erlaubte Operation.
Da die vorliegende Matrix nur die ersten beiden
Vektorkomponenten betrifft (Nullen rechts, Nullen
unten, 1 rechts unten), kannst du dich für das
Invertieren auf die 2x2-Untermatrix links oben
beschränken. Wenn du noch weißt, dass es sich
hier um eine Drehmatrix handelt, wird die Aufgabe
recht einfach.
LG
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:59 Do 22.01.2009 | | Autor: | nenena |
Hallo,
erstmal danke für deine Antwort. Was meinst du mit Drehmatrix ? Das sie leicht zu transponieren ist ?
Ich bin leider immer noch überfordert die 2x2 Matrix mit dem Gauß-Algorithmus auf eine Zeilenstufenform zu bringen.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:15 Do 22.01.2009 | | Autor: | fred97 |
Hallo,
ist $A = [mm] \pmat{ a & b \\ c & d }$ [/mm] eine invertierbare 2x2-Matrix, so ist
[mm] $A^{-1} [/mm] = [mm] \bruch{1}{det(A)}\pmat{ d & -b \\ -c & a }$
[/mm]
(eine Formel, die man sich merken sollte, oder von der man zumindest wissen sollte, dass es sie gibt)
FRED
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Hallo nenena,
Eine "Drehmatrix" ist es, weil sie eine Drehung des
Raumes um die z-Achse mit dem Drehwinkel [mm] \phi
[/mm]
beschreibt. Die dazu inverse Drehung ist jene mit
dem Drehwinkel [mm] -\phi [/mm] .
> Ich bin leider immer noch überfordert die 2x2 Matrix mit
> dem Gauß-Algorithmus auf eine Zeilenstufenform zu bringen.
Wenn's mit Gauß gehen soll, hier ein Anfang dazu:
(simultane Umformungen der Matrizen; $\ [mm] s=sin\phi\,,\, c=cos\phi\,)$
[/mm]
[mm] \pmat{c&s\\-s&c}\qquad\pmat{1&0\\0&1}
[/mm]
erste Zeile stehen lassen;
zweite Zeile ersetzen durch $\ s*(erste Z.)+c*(zweite Z.)$
[mm] \pmat{c&s\\0&1}\qquad\pmat{1&0\\s&c}
[/mm]
nächster Schritt:
zweite Zeile stehen lassen;
erste Zeile ersetzen durch $\ (erste Z.)-s*(zweite Z.)$
(anschliessend fehlt noch ein weiterer Schritt,
um links die Einheitsmatrix und rechts die
gesuchte inverse Matrix zu erhalten)
Gruß
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