Invertierbarkeit < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
Hallo Ihr,
also ich soll folgendes beweisen:
Sei T :=eine untere Dreiecksmatrix
dann soll gelten:
T invertierbar [mm] \gdw [/mm] alle Diagonalelemente [mm] \not= [/mm] 0
D.h. es ist zu zeigen:
I)T invertierbar [mm] \Rightarrow [/mm] alle Diagonalelemente [mm] \not= [/mm] 0
II) Alle Diagonalelemente [mm] \not=0 \Rightarrow [/mm] T invertierbar
Kann mir jemand hilfe geben? ich weiß nicht wie ich das angehen soll.
Ich weiß nur, dass wenn alle Diagonalelemente null sind, dann gibt es ja eine Nullzeile in der Matrix.
Aber mehr kann ich leider dazu nicht sagen und hätte gerne eine kleine Hilfestellung wie ich das lösen kann.
MfG Andi
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:27 Mi 09.02.2005 | | Autor: | Marc |
Hallo Andi!
> also ich soll folgendes beweisen:
>
> Sei T :=eine untere Dreiecksmatrix
>
> dann soll gelten:
>
> T invertierbar [mm]\gdw[/mm] alle Diagonalelemente [mm]\not=[/mm] 0
>
> D.h. es ist zu zeigen:
>
> I)T invertierbar [mm]\Rightarrow[/mm] alle Diagonalelemente [mm]\not=[/mm]
> 0
> II) Alle Diagonalelemente [mm]\not=0 \Rightarrow[/mm] T
> invertierbar
>
> Kann mir jemand hilfe geben? ich weiß nicht wie ich das
> angehen soll.
>
> Ich weiß nur, dass wenn alle Diagonalelemente null sind,
> dann gibt es ja eine Nullzeile in der Matrix.
Das stimmt (die erste Zeile wird dann wohl Null sein), aber das hilft hier nicht weiter.
> Aber mehr kann ich leider dazu nicht sagen und hätte gerne
> eine kleine Hilfestellung wie ich das lösen kann.
Überlege dir mal, wie man die Determinante einer Dreiecksmatrix berechnet, und was der Wert dieser Determinante über die Invertierbarkeit der Matrix aussagt.
Viele Grüße,
Marc
|
|
|
| |
|
Also eine Determinante habe ich bisher immer so bestimmt, indem ich die Matrix in Zeilenstufenform gebracht habe und dann jede Komponente der Diagonale miteinander multipliziert habe und wenn die Determinante ungleich 0 ist, dann ist die Matrix invertierbar, oder?
Also muss ich die untere Dreiecksmatrix in Zeilenstufenform bringen und dann zeigen, dass die det nicht null ist?
MfG Andi
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:10 Mi 09.02.2005 | | Autor: | Marc |
Hallo Andi!
> Also eine Determinante habe ich bisher immer so bestimmt,
> indem ich die Matrix in Zeilenstufenform gebracht habe und
> dann jede Komponente der Diagonale miteinander
> multipliziert habe
Das ist zwar richtig, hier aber unnötig, da die Matrix ja bereits auf Zeilenstufenform ist (zumindestens, wenn man sie tranponiert, was ja die Determinante nicht ändert).
Also ist hier die Determinante einfach das Produkt der Diagonalelemente.
> und wenn die Determinante ungleich 0
> ist, dann ist die Matrix invertierbar, oder?
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Also muss ich die untere Dreiecksmatrix in Zeilenstufenform
> bringen und dann zeigen, dass die det nicht null ist?
s.o.
Die Matrix ist invertierbar [mm] $\gdw$ [/mm] Das Produkt der Diagonaleinträge ist ungleich Null.
Viele Grüße,
Marc
|
|
|
| |
|
Ah danke Marc...auf die Idee mit der Transponierung bin ich irgendwie gar nicht gekommen.
Danke.
Bis dann,
Andi
|
|
|
|
