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| Aufgabe | Bestimmen Sie alle Werte von c [mm] \in \IR, [/mm] für welche die Matrix
A = [mm] \pmat{ 1 & 1 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & c}
[/mm]
invertierbar ist und bestimmen Sie wenn möglich die Inverse. |
Hallo zusammen,
ich hab da so ein kleines Problem mit der Invertierbarkeit dieser Matrize.
A inv´bar g.d.w det(A) [mm] \not= [/mm] 0
Also: Zeile 4 + Zeile 2, dann Zeile 2 + Zeile 1 und Zeile 4 - Zeile 3 ergibt die obere Dreiecksmatrix. Daraus lese ich ab: det(A) = (c - 1) :det(A) [mm] \not= [/mm] 0 für c [mm] \not= [/mm] 1
[mm] \Rightarrow A^{-1} [/mm] existiert für ein c [mm] \in \IR \{0} [/mm] .
Richtig soweit?
Wenn ich nun aber die [mm] A^{-1} [/mm] errechnen will, dann schreibe ich:
[mm] A^{-1} [/mm] = [mm] \bruch{1}{det(A)} [/mm] * A g.d.w. [mm] A^{-1} [/mm] = [mm] \bruch{1}{det(A)} [/mm] * [mm] \pmat{ 1 & 1 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & c} [/mm] = [mm] \pmat{ \bruch{1}{det(A)}& \bruch{1}{det(A)}& \bruch{1}{det(A)}& 0 \\ -\bruch{1}{det(A)}& 0 & \bruch{1}{det(A)} & -\bruch{1}{det(A)} \\ 0 & 0 & \bruch{1}{det(A)} & 0 \\ \bruch{1}{det(A)} & 0 & 0 & \bruch{c}{det(A)}} [/mm]
oder:
[mm] \pmat{ 1 & 1 & 1 & 0 & I & 1 & 0 & 0 & 0 \\ -1 & 0 & 1 & -1 & I & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & I & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & c & I & 0 & 0 & 0 & 1}
[/mm]
und pivotiere bis ich links die Einheitsmatrix und rechts die [mm] A^{-1} [/mm] habe. Allerdings funktioniert es nicht....jetzt frage ich mich, ob ich mich nur verrechne, oder ob ich oben schon eine falsche Argumentation habe.
Viele Grüße
Semi
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Vielen herzlichen Dank für deine Antwort. Vor allem, dass du auch noch den Link zu wolframalpha.de dazugetan hast. Jetzt habe ich bequem die möglichkeit schnell zu prüfen.
Allerdings werde ich schon schauen, dass ich nicht durch Zeilen-Spaltenumformung die Inverse berechnen muss. Da verrechne ich mich nur zu leicht. Da gibt´s sicher schnelleres :)
Mal schauen.
Danke nochmal
Semi
P.S. Warum ich gerade die 0 ausgeschlossen habe,...gute Frage :)
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http://www.wolframalpha.com/input/?i=det%28{{1%2C1%2C1%2C0}%2C+{-1%2C0%2C1%2C-1}%2C+{0%2C0%2C1%2C0}%2C{1%2C0%2C0%2Cc}}%29