Invertierbarkeit < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Sei K ein Körper. Eine Matrix A [mm] \in K^{n,n} [/mm] heißt nilpotent, falls es ein k [mm] \in [/mm] N gibt mit [mm] A^{k} [/mm] = 0. Sei A [mm] \in K^{n,n} [/mm] nilpotent.
Zeigen Sie, dass μIn − A genau dann invertierbar ist, wenn μ [mm] \in [/mm] K [mm] \backslash [/mm] {0} ist. |
Hallo liebes Forum =),
Mein Problem an dieser Aufgabe ist, dass ich nicht verstehe, was "μ" hier für eine Rolle spielt. Ich weiß, dass In − A invertierbar ist, aber ist das Vielfache der Einheitsmatrix - A auch invertierbar? Und wenn ja, wie kann ich das zeigen? Hat einer einen Tipp oder Denkanstoß?
Danke für die Hilfe =).
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum oder auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
kann mir keiner helfen? =(
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:19 Di 12.06.2012 | | Autor: | barsch |
Hallo
> Sei K ein Körper. Eine Matrix A [mm]\in K^{n,n}[/mm] heißt
> nilpotent, falls es ein k [mm]\in[/mm] N gibt mit [mm]A^{k}[/mm] = 0. Sei A
> [mm]\in K^{n,n}[/mm] nilpotent.
>
> Zeigen Sie, dass μIn − A genau dann invertierbar ist,
Was meinst du mit "In". Ich nehme an, dass soll die Einheitsmatrix sein. Ich bezeichne diese im Folgenden nur mit I.
> wenn μ [mm]\in[/mm] K [mm]\backslash[/mm] {0} ist.
> Hallo liebes Forum =),
>
>
> Mein Problem an dieser Aufgabe ist, dass ich nicht
> verstehe, was "μ" hier für eine Rolle spielt. Ich weiß,
> dass In − A invertierbar ist, aber ist das Vielfache der
> Einheitsmatrix - A auch invertierbar? Und wenn ja, wie kann
> ich das zeigen? Hat einer einen Tipp oder Denkanstoß?
Denkanstoß:
[mm]\mu*I-A[/mm] ist invertierbar, wenn [mm]det(\mu*I-A)\neq0[/mm].
[mm]det(\mu*I-A)[/mm] ist das charakteristische Polynom der Matrix A.
Wie sieht denn allgemein das charakteristische Polynom einer nilpotenten Matrix aus?
> Danke für die Hilfe =).
>
>
> Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum oder auf
> anderen Internetseiten gestellt.
Gruß
barsch
|
|
|
| |
|
danke für deinen Denkanstoß, du bist meine Rettung =). Ich werde versuchen das jetzt mal nachzuvollziehen. =) Und ja In ist die Einheitsmatrix.
|
|
|
| |
|
Also ich habe mir das jetzt folgendermaßen mit deinem Ansatz durchdacht:
μ I − A ist invertierbar, wenn det(μ I − A) [mm] \not= [/mm] 0
det (μ I − A) ist ja nun genau das charakteristische Polynom. Für eine nilpotente Matrix ist das char. Polynom: [mm] -1^{n} [/mm] μ^{n}. Daraus folgt nun:
det (μ I − A) = [mm] -1^{n} [/mm] μ^{n} [mm] \not= [/mm] 0
Damit [mm] -1^{n}μ^{n} \not= [/mm] 0 , muss μ^{n} [mm] \not= [/mm] 0 .
Stimmt das soweit? Das wäre ja die Hinrichtung und jetzt muss noch die Rückrichtung gezeigt werden, oder?
Danke, dass du mir hilfst? =)
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 07:08 Di 12.06.2012 | | Autor: | fred97 |
> Also ich habe mir das jetzt folgendermaßen mit deinem
> Ansatz durchdacht:
>
> μ I − A ist invertierbar, wenn det(μ I − A) [mm]\not=[/mm] 0
>
>
> det (μ I − A) ist ja nun genau das charakteristische
> Polynom. Für eine nilpotente Matrix ist das char. Polynom:
> [mm]-1^{n}[/mm] μ^{n}. Daraus folgt nun:
>
> det (μ I − A) = [mm]-1^{n}[/mm] μ^{n} [mm]\not=[/mm] 0
>
> Damit [mm]-1^{n}μ^{n} \not=[/mm] 0 , muss μ^{n} [mm]\not=[/mm] 0 .
>
> Stimmt das soweit?
Ja, nur fürchterlich aufgeschrieben.
> Das wäre ja die Hinrichtung und jetzt
> muss noch die Rückrichtung gezeigt werden, oder?
Geht in einem Aufwasch:
Sei A nilpotent und [mm] p_A [/mm] das char. Polynom. Dann ist [mm] p_A(\lambda)=(-1)^n\lambda^n.
[/mm]
[mm] \mu [/mm] I-A invertierbar [mm] \gdw \mu [/mm] ist kein Eigenwert von A [mm] \gdw p_A(\mu) \ne [/mm] 0 [mm] \gdw \mu \ne [/mm] 0.
FRED
>
>
> Danke, dass du mir hilfst? =)
|
|
|
|
