Invertierbarkeit einer Matrix < Determinanten < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Sei n [mm] \ge [/mm] 1 eine natürliche Zahl und A eine (n [mm] \times [/mm] n) Matirx über den Körper K. Welche der folgenden Bedingungen sind notwendig/hinreichend/äquivalent für die bzw. zur Invertierbarkeit von A?
1) detA=1
2)det A [mm] \not= [/mm] 0
3) Der Rang von A ist wenigstens n.
4) Keine zwei verschiedenen Zeilen von A sind linear abhängig.
5) A= [mm] \pmat{ a & b \\ c & d } [/mm] und ad [mm] \not= [/mm] bc |
Hallo
ich habe ein Problem mit der Aufgabe, weil ich mir nicht sicher bin ob mein verständnis für eine notwenidge bzw. für eine hinreichende Bedingung korrekt sind. Also ich versteh das so, dass eine hinreichende Bedingung zwar in unserem Fall die Implikation zur Invertierbarkeit zu lässt jedoch diese bedingung nicht zwangsläufig erfüllt sein muss, damit die Matrix invertierbar ist. Wohingegen eine notwendige Bedingung erfüllt sein muss damit die Matrix invertierbar ist. Ist das so korrekt?..dann komme ich zu dem Schluss, dass
1) detA=1
eine hinreichende Bedingung ist, weil diese Bedingung impliziert, dass sich A durch Zeilenumformung zur Einheitsmatrix umwandeln lässt und die Einheitsmatrix ist invertierbar. Jedoch muss die Determinante eine invertierbaren Matrix nicht 1 sein.
2)det A [mm] \not= [/mm] 0
ist eine notwendige Bedingung, weil sie äquivalent zur Definition von Invertierabarkeit ist.
3) Der Rang von A ist wenigstens n.
dies ist auch eine notwendige Bedingung weil eine Matrix vollen Rang haben muss damit sie invertierbar ist.
4) Keine zwei verschiedenen Zeilen von A sind linear abhängig.
auch hier würde ich mit meinen Verständnis sagen, dass es sich um eine notwendige Bedingung handelt, weil die Zeilenvektoren l.u. sein müssen damit die Matrix invertierbar ist.
5) A= [mm] \pmat{ a & b \\ c & d } [/mm] und ad [mm] \not= [/mm] bc
hierbei handelt es sich in meinen augen auch um eine hinreichende Bedingung weil diese Bedingung indirekt impliziert das [mm] detA\not= [/mm] 0 ist und das würde ja bedeuten das A invertierbar ist.
ich bin mir nur nicht sicher ob das reicht um zu sagen dass sie hinreichend ist und nicht notwendig.
LG Schmetterfee
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Hallo Schmetterfee!
> Sei n [mm]\ge[/mm] 1 eine natürliche Zahl und A eine (n [mm]\times[/mm] n)
> Matirx über den Körper K. Welche der folgenden
> Bedingungen sind notwendig/hinreichend/äquivalent für die
> bzw. zur Invertierbarkeit von A?
> 1) detA=1
> 2)det A [mm]\not=[/mm] 0
> 3) Der Rang von A ist wenigstens n.
> 4) Keine zwei verschiedenen Zeilen von A sind linear
> abhängig.
> 5) A= [mm]\pmat{ a & b \\ c & d }[/mm] und ad [mm]\not=[/mm] bc
> Hallo
>
> ich habe ein Problem mit der Aufgabe, weil ich mir nicht
> sicher bin ob mein verständnis für eine notwenidge bzw.
> für eine hinreichende Bedingung korrekt sind. Also ich
> versteh das so, dass eine hinreichende Bedingung zwar in
> unserem Fall die Implikation zur Invertierbarkeit zu lässt
> jedoch diese bedingung nicht zwangsläufig erfüllt sein
> muss, damit die Matrix invertierbar ist. Wohingegen eine
> notwendige Bedingung erfüllt sein muss damit die Matrix
> invertierbar ist. Ist das so korrekt?..dann komme ich zu
> dem Schluss, dass
> 1) detA=1
> eine hinreichende Bedingung ist, weil diese Bedingung
> impliziert, dass sich A durch Zeilenumformung zur
> Einheitsmatrix umwandeln lässt und die Einheitsmatrix ist
> invertierbar. Jedoch muss die Determinante eine
> invertierbaren Matrix nicht 1 sein.
Ich weiß nicht, ob aus $\ det(A) = 1 $ folgt, dass sie mittels Elementarumformungen zur Einheitsmatrix gebildet werden kann. Jedenfalls ist 1) eine Hinreichende Bedingung.
> 2)det A [mm]\not=[/mm] 0
> ist eine notwendige Bedingung, weil sie äquivalent zur
> Definition von Invertierabarkeit ist.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Wobei ich nicht sagen würde, dass $\ det(A) = 0 $ äquivalent zur Definition der Invertierbarkeit ist. $\ det(A) = 0 $ ist die Voraussetzung dafür, dass eine Matrix $\ B $ so existiert, dass $\ B = [mm] A^{-1} [/mm] $, so dass gilt $\ AB = E = BA $
> 3) Der Rang von A ist wenigstens n.
> dies ist auch eine notwendige Bedingung weil eine Matrix
> vollen Rang haben muss damit sie invertierbar ist.
> 4) Keine zwei verschiedenen Zeilen von A sind linear
> abhängig.
> auch hier würde ich mit meinen Verständnis sagen, dass
> es sich um eine notwendige Bedingung handelt, weil die
> Zeilenvektoren l.u. sein müssen damit die Matrix
> invertierbar ist.
ist äquivalent zu Aussage 3)
> 5) A= [mm]\pmat{ a & b \\ c & d }[/mm] und ad [mm]\not=[/mm] bc
> hierbei handelt es sich in meinen augen auch um eine
> hinreichende Bedingung weil diese Bedingung indirekt
> impliziert das [mm]detA\not=[/mm] 0 ist und das würde ja bedeuten
> das A invertierbar ist.
> ich bin mir nur nicht sicher ob das reicht um zu sagen dass
> sie hinreichend ist und nicht notwendig.
Diese Bedingung ist notwendig.
Wie du schon sagst, ist für $\ ad [mm] \not= [/mm] bc $ die Determinante $\ det(A) [mm] \not [/mm] = 0 $, was, äquivalent zur Aussage 2) die notwendigste Bedingung ist 
>
> LG Schmetterfee
Grüße
ChopSuey
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danke für die schnelle antwort...dann ist mein Verständnis für hinreichende bzw notwendige bedingungen ja doch nicht so falsch...
LG Schmetterfee
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hallo
ich habe zu der Aufgabe noch eine allgemeinere Frage..kann eine Bedingung gleichzeitig hinreichend und notwendig sein?..zum beispiel ist aussage zwei ja äquivalent zur invertierbarkeit bedeutet dies das es sich sowohl um eine notwendige als auch um eine hinreichende bedingung handelt?
LG Schmetterfee
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also ich habe mich mit der aufgabe nochm al beschäftig und bin mir sicher das ausasagen 2 und 3 sowohl hinreichend als auch ntowendif sind.
zu aussage 4 habe ich eine Frage ich habe schon hin und her probiert aber ist es möglich, dass die zeilen einer matrix linear unabhängig sind, die spalten jedoch abhängig?
und aussage 5 bin ich mir nicht ganz sicher ob es sowohl hinreichend als auch notwendig ist...denn die aussage ist ja äquivalent dazu das det(A) [mm] \not= [/mm] 0 ist und von daher müsste die bedingung doch hinreichend und notwendig sein oder?
LG Schmetterfee
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Hallo,
> also ich habe mich mit der aufgabe nochm al beschäftig und
> bin mir sicher das ausasagen 2 und 3 sowohl hinreichend als
> auch ntowendif sind.
>
> zu aussage 4 habe ich eine Frage ich habe schon hin und her
> probiert aber ist es möglich, dass die zeilen einer matrix
> linear unabhängig sind, die spalten jedoch abhängig?
Ja.
Es gilt Zeilenrang = Spaltenrang = Rang A für jede Matrix A.
Wenn hingegen Zeilen (Spalten) von A lin. abhängig sind, gilt Det A = 0
>
> und aussage 5 bin ich mir nicht ganz sicher ob es sowohl
> hinreichend als auch notwendig ist...denn die aussage ist
> ja äquivalent dazu das det(A) [mm]\not=[/mm] 0 ist und von daher
> müsste die bedingung doch hinreichend und notwendig sein
> oder?
Ja.
>
> LG Schmetterfee
Grüße
ChopSuey
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:34 Mi 28.04.2010 | | Autor: | felixf |
Hallo Schmetterfee!
> ich habe zu der Aufgabe noch eine allgemeinere Frage..kann
> eine Bedingung gleichzeitig hinreichend und notwendig
> sein?
Ja!
>..zum beispiel ist aussage zwei ja äquivalent zur
> invertierbarkeit bedeutet dies das es sich sowohl um eine
> notwendige als auch um eine hinreichende bedingung
> handelt?
Genau.
Mal das ganze in Logik uebersetzt:
* $A$ ist notwendig fuer $B$ bedeutet: $B [mm] \Rightarrow [/mm] A$
* $A$ ist hinreichend fuer $B$ bedeutet: $A [mm] \Rightarrow [/mm] B$
Also, das beides kombiniert:
* $A$ ist notwendig und hinreichend fuer $B$, wenn $A [mm] \Rightarrow [/mm] B$ und $B [mm] \Rightarrow [/mm] A$ gilt, also wenn $A [mm] \Leftrightarrow [/mm] B$ gilt.
LG Felix
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