Invertierbarkeit von Matrizen < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Es sei A, B (nxn)-Matrizen. Zeigen sie, dass AB nicht inventierbar ist, wenn A singulär ist. |
Ich habe das ganze versucht mit einem Widerspruchsbeweis zu lösen:
Sei A eine singuläre Matrix, B eine reguläre Matrix
Annahme: Es existiert eine inverse Matrix zu AB mit [mm] (AB)^{-1} [/mm]
[mm] \Rightarrow E=(A*B)(A*B)^{-1}=A*\underbrace{B*B^{-1}}_{=E}*A^{-1}=
[/mm]
[mm] A*E*A^{-1}=A*A^{-1}\not=E [/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] WIDERSPRUCH
q.e.d.
Kann ich das soweit machen oder habe ich dabei etwas vergessen?
Die Rechenregeln für Matrizen/ inverse Matrizen sind bekannt und soweit bewiesen.
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Hallo,
und wie würde es mit
[mm] (AB)^{-1}(AB) [/mm]
ausschauen?
Ich würde übrigens mit der Determinante argumentieren:
Da AB nicht invertierbar, so gilt [mm] 0=\det(AB), [/mm] weiter gilt nach Rechenregeln für Determinanten:
[mm] 0=\det(AB)=\det{A}*\det{B}
[/mm]
...
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Der Ansatz mit den Determinanten ist wirklich eleganter.
Ich werde wohl diesen verwenden.
Falls ich es mit dem obigen Widerspruchsbeweis machen würde dann könnte ich doch den von dir angesprochen Teil entweder mit der Rechenregel
[mm] C*C^{-1}=C^{-1}*C=E [/mm]
begründen oder wenn ich es beweisen möchte mit
[mm] E=(A*B)^{-1}*(A*B) [/mm]
Multiplikation mit B von links und mit [mm] B^{-1} [/mm] von rechts
[mm] B*E*B^{-1}=B*(A*B)^{-1}*(A*B)*B^{-1}
[/mm]
Und damit würde ich ja dann auch wieder auf
[mm] B*B^{-1}=E=B*B^{-1}*A^{-1}*A*B*B^{-1} [/mm]
kommen und damit auf
[mm] E=A^{-1}*A
[/mm]
Könnte ich das so begründen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 03:15 Di 28.01.2014 | | Autor: | Sax |
Hi,
deine Beweise sind nicht als solche zu akzeptieren, weil du von der Regel [mm] (AB)^{-1}=B^{-1}*A^{-1} [/mm] Gebrauch machst, aber das Symbol [mm] A^{-1} [/mm] hat für singuläre Matrizen A überhaupt keinen Sinn.
Du könntest aber nachweisen, dass [mm] B*(AB)^{-1} [/mm] eine zu A (rechts-)inverse Matrix ist, womit ein Widerspruch zur Singularität von A offensichtlich ist.
Übrigens schreibst du in deinem ersten Beitrag "sei B regulär", du müsstest dann auch noch den Fall untersuchen, dass B ebenfalls singulär ist.
Gruß Sax.
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