Invertierbarkeit von lin.Abb. < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo Forum!
Ich muss eine Mathe-Prüfung wiederholen und brauche das eure Hilfe!
Ich habe da eine Frage zur Invertierbarkeit von Matritzen. Ich weiß dass, wenn die Determinante ungleich null ist, dass sie invertierbar ist.
Bei unserer Prüfung haben wir eine Funktion mit (4x2) Matrix sowie eine Funktion mit (2x4) verknüpfen müssen. Daraus enstand eine (4x4) Matrix. So..
Jetzt war die Frage, ob diese invertierbar ist.
Ich wollte mir die Determinante der (4x4 Matrix) ausrechnen, nur war das sehr viel Rechenaufwand. Ich habe dann von jemanden gehört dass diese Matrix nicht invertierbar ist, wenn ich vom R2 in den R4 gehe und dann wieder retour!
Stimmt das? Bzw. wie kann ich das noch feststellen ob eine Matrix oder Funktion invertierbar ist ausser die Determinante ausrechnen. Der Professor stellt immer solche Fragen wo die Lösung der Aufgabenstellung 10 sekunden braucht ohne Rechenaufwand ^^.
Im Anhang die Prüfung.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Mfg Chris
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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Hallo Forum!
Ich muss eine Mathe-Prüfung wiederholen und brauche da eure Hilfe!
Ich habe da eine Frage zur Invertierbarkeit von Matritzen. Ich weiß dass, wenn die Determinante ungleich null ist, dass sie invertierbar ist.
Bei unserer Prüfung haben wir eine Funktion mit (4x2) Matrix sowie eine Funktion mit (2x4) verknüpfen müssen. Daraus enstand eine (4x4) Matrix. So..
Jetzt war die Frage, ob diese invertierbar ist.
Ich wollte mir die Determinante der (4x4 Matrix) ausrechnen, nur war das sehr viel Rechenaufwand. Ich habe dann von jemanden gehört dass diese Matrix nicht invertierbar ist, wenn ich vom R2 in den R4 gehe und dann wieder retour!
Stimmt das? Bzw. wie kann ich das noch feststellen ob eine Matrix oder Funktion invertierbar ist ausser die Determinante ausrechnen. Der Professor stellt immer solche Fragen wo die Lösung der Aufgabenstellung 10 sekunden braucht ohne Rechenaufwand ^^.
Es geht mir hier nur um die Theorie! Wenn ihr aber das Beispiel braucht, dann tippe ich es schnell ab.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Mfg Chris
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> Stimmt das?
Ja.
Dafür klau ich mal ![[]](/images/popup.gif) hier von Wiki:
$ [mm] \mathrm{rang}(A \cdot [/mm] B) [mm] \leq \mathrm{min}\left\{\mathrm{rang}(A),\mathrm{rang}(B) \right\}$
[/mm]
Du hast nun eine $2 [mm] \times [/mm] 4$ und eine $4 [mm] \times [/mm] 2$ Matrix und bildest deren Produkt.
Kann dieses Produkt Rang 4 haben?
(Erinnerung: Eine $n [mm] \times [/mm] n$ Matrix ist genau dann invertierbar, wenn sie Rang n hat.)
> Bzw. wie kann ich das noch feststellen ob eine
> Matrix oder Funktion invertierbar ist ausser die
> Determinante ausrechnen.
Du könntest die Spalten oder Zeilen auf lineare Abhängigkeit prüfen.
Nehmen wir als Beispiel mal:
[mm] $\pmat{1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 2 & 4 & 6}$
[/mm]
Hier ist die dritte Zeile das doppelte der ersten, also sind diese linear abhängig und die Matrix somit nicht invertierbar.
Auch haben äquivalente Matrizen den selben Rang, also kannst du deine gegebene Matrix mit dem Gaußalgorithmus ein wenig umformen bis du den Rang erkennen kannst oder zumindest siehst, ob die Matrix vollen Rang hat oder nicht.
Ich persönlich würde dir ein kurzes Hinsehen, ob du lineare Abhängigkeit hast, empfehlen und dann notfalls ein wenig Gauß, nur so lang bis du es siehst.
Und natürlich wäre ein bisschen Wissen über den Rang wie oben gesehen auch immer ganz praktisch.^^
lg
Schadow
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| Aufgabe | Ich stelle mal die Aufgabenstellung rein. Ist besser so!
F= [mm] \pmat{ 1 & 3 \\ 2 & 2 \\ 0 & 1 \\ -1 & 1 } [/mm] * [mm] \vektor{x_{1} \\ x_{2}}
[/mm]
H= [mm] \pmat{ -1 & 0 & 1 & 2\\ 2 & 2 & 0 & -2 } [/mm] * [mm] \vektor{x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \\ x_{4} }
[/mm]
c) ist die Funktion f o h invertierbar? (stichhaltige Begründung)
d) ist die Funktion h o f invertierbar? (stichhaltige Begründung) |
Hi Shadowmaster!
Also ich hab mal die Aufgabenstellung gepostet!
Bei H*F bekomme ich HF [mm] \vmat{ -3 & 0 \\ 8 & 8 }
[/mm]
-> Determinante ist -24 -> ja sie ist invertierbar!
bei F*H= [mm] \vmat{ 5 & 6 & 1 & -4 \\ 2 & 4 & 2 & 0 \\ 2 & 2 & 0 & -2 \\ 3 & 2 & -1 & -4 }
[/mm]
Da ist die Deterrminante NULL -> habe ich jetzt zuhause ausgerechnet!
Sie hat vollen Rang -> rang=4
Danke! Ich weiß dass man die lineare unbhängikeit sowie den Rang damit bestimmt. Nur was hilft mir das, wenn sie vollen rang hat??
Werde da nicht schlau draus!
lg Chris
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> bei F*H= [mm]\vmat{ 5 & 6 & 1 & -4 \\
2 & 4 & 2 & 0 \\
2 & 2 & 0 & -2 \\
3 & 2 & -1 & -4 }[/mm]
>
> Da ist die Deterrminante NULL -> habe ich jetzt zuhause
> ausgerechnet!
Hallo,
da hast Du falsch gerechnet, denn man sieht doch recht gut,
daß 1.Spalte +3.Spalte=2.Spalte.
LG Angela
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Sei [mm]A\in K^{4\times 2},B\in K^{2\times 4},C=AB[/mm]
Es gilt [mm]rg(C)\leq \min \{rg(A),rg(B)\}[/mm]
Falls C invertierbar ist, so müsste C vollen Rang=4 haben.
An dich:
Geht das?
Wenn ja: Warum?
Wenn nein: Warum?
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Hi! Danke für die Antwort!
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Ja sie hat vollen Rang, das heisst rang= 4
:/
Und die die Determinante ist gleich 0 ! Das heisst sie ist nicht invertierbar!
^^
Kenn mich jetzt nimmer aus! Wenn der rang=4 sollte sie doch invertierbar sein, oder??
Ich habe die aufgabenstellung reingepostet.
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> Hi! Danke für die Antwort!
> ..
Hallo,
es geht um eine 4-times 4/Matrix.
> Ja sie hat vollen Rang, das heisst rang= 4
>
> :/
>
> Und die die Determinante ist gleich 0 ! Das heisst sie ist
> nicht invertierbar!
Tja, voller Rang und Det=0 wird nicht beides gleichzeitig zutreffen können.können.
Du hast Dich beim Rang sicher verrechnet.
Überleg doch mal:
die [mm] 2\times [/mm] 4-Matrix ist Darstellungsmatrix einer Abbildung [mm] f:\IR^4\to \IR^2.
[/mm]
Welche Dimension kann das Bild [mm] f(\IR^4) [/mm] also höchstens haben?
Darauf läßt man nun eine weitere lineare Abbildung [mm] g:\IR^2\to \IR^4 [/mm] los.
Welche Dimension kann [mm] g(f(\IR^4)) [/mm] höchstens haben?
LG Angela
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Ich denke das Bild kann höchstens im [mm] R^2 [/mm] liegen. Bitte korrigiere mich falls ich falsch liege.
Und sorry falls ich da wieder doppelt poste. ;)
lg Chris
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Hallo,
Du schriebst eingangs:
"Bei unserer Prüfung haben wir eine Funktion mit (4x2) Matrix sowie eine Funktion mit (2x4) verknüpfen müssen. Daraus enstand eine (4x4) Matrix. So..
Jetzt war die Frage, ob diese invertierbar ist."
Wir haben also Funktionen
[mm] f:\IR^2\to\IR^4 [/mm] mit [mm] (4\times [/mm] 2)-Matrix F
und
[mm] g:\IR^4\to\IR^2 [/mm] mit [mm] (2\times [/mm] 4)-Matrix G,
und wir interessieren uns für die Funktion
[mm] f\circ g:\IR^4\to\IR^4 [/mm] mit [mm] (4\times [/mm] 4)-Matrix FG.
Meine Idee war: betrachte jeweils die Bilder.
Zuerst kommt g.
Da g in den [mm] \IR^2 [/mm] abbildet, kann die Dimension von [mm] g(\IR^4) [/mm] ja höchstens =2 sein.
Wenn man hierauf f anwendet, sich also [mm] f(g(\IR^4)) [/mm] ansieht, kann auch hier die Dimension höchstens =2 sein.
Es ist [mm] f(g(\IR^4)) [/mm] also ein Unterraum des [mm] \IR^4, [/mm] welche höchstens die Dimension 2 haben kann. (Mitnichten ist es der [mm] \IR^2!)
[/mm]
Also ist der Rang von FG höchstens =2. Damit ist die Invertierbarkeit gestorben, ohne daß man dafür irgendetwas rechnen muß.
LG Angela
> Ich denke das Bild kann höchstens im [mm]R^2[/mm] liegen. Bitte
> korrigiere mich falls ich falsch liege.
>
> Und sorry falls ich da wieder doppelt poste. ;)
>
> lg Chris
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Danke Angela!
Ich habs verstanden!
lg Chris
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> Hi! Danke für die Antwort!
> ..
> Ja sie hat vollen Rang, das heisst rang= 4
>
> :/
>
> Und die die Determinante ist gleich 0 ! Das heisst sie ist
> nicht invertierbar!
Oh man. Nicht so aggressiv! Du hattest die Frage zweimal gestellt. Da war jemand so nett und hat die beiden Themen zusammengelegt. Des Wegen hat sich meine Antwort nun auch hierher gesellt.
Ich war nur zu faul im anderen Thema meine Antwort wieder zu löschen.
Außerdem ist das Humbug, was du oben geschrieben hattest, wie Angela anmerkte.
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Ähmm Sorry Mann, aber wenn du dann einen "Unterthread" mit "vollen Rang?" aufmachst muss ich ja doppelt antworten ^^.
Sorry, falls das aggresiv rüber gekommen ist. War ned meine Absicht!
Aber zurück zum Thema:
Danke Angela!
Ja du hast recht, die Matrix hat nicht vollen Rang und deshalb nicht invertierbar. Das habe ich tatsächlich übersehen.
Und danke nochmal an Wieschoo!
mfg Chris
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:05 Sa 24.03.2012 | | Autor: | wieschoo |
Ich möchte dich noch einmal darauf hinweisen, dass DU die Frage zweimal gestellt hattest und Moderator die zwei Themen wohl möglich zusammen gefasst hat.
Sei's drum. Ist Gras drüber.
Gruß
wieschoo
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