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| Aufgabe | I1: Zu zwei verschiedenen Punkten gibt es genau eine Gerade die mit beiden Punkten inzidiert
I2: Zu jeder Geraden gibt es mindestens zwei verschiedene Punkte, die mit dieser Geraden inzidieren
I3: Es gibt drei verschiedene Punkte, die nicht alle mit derselben Geraden inzidieren.
Die Axiome sind erfüllt!
zeige:
a) Durch jeden Punkt gehen mindestens zwei verschiedene geraden
b) Zwei verschiedene Geraden haben höchstens einen gemeinsamen Punkt
c) Es gibt 3 Geraden, die keinen gemeinsamen Punkt haben. |
Ich weiß nicht wie man das anhand der gegebenen Axiome zeigen soll.
a) [mm] A\in [/mm] P und [mm] a,b\in [/mm] G, dann muss gelten [mm] A\in [/mm] a und [mm] A\in [/mm] b.
Aber damit ist ja nichts bewiesen. Ich hab eine Idee, bin mir aber nicht sicher ob das so richtig ist.
nach I3 gibt es 3 verschiedene Punkte A,B,C die nicht alle mit der selben Geraden inzidieren. Also [mm] A\in [/mm] a und [mm] B\in [/mm] a und [mm] C\not\in [/mm]
a. Da nach I1 zu zwei verschiedenen Punkten genau eine Gerade existiert muss es eine Gerade [mm] b\ot= [/mm] a geben mit [mm] C\in [/mm] b und [mm] B\in [/mm] B. damit ist auch gezeigt dass I2 gilt, denn zur Geraden b gibt es Punkt B und C die mit diesem inzidieren.
b) a,b seien zwei Geraden mit [mm] a\not= [/mm] b. man kann annehmen, dass mehr als einen gemeinsamen Punkt von a und b gibt. A und B sind also zwi verschiedene Punkte mit [mm] A\in [/mm] a und [mm] B\in [/mm] a sowie [mm] A\in [/mm] b und [mm] B\in [/mm] b. Nach I1 folgt dann a=b was ber nach Voraussetzung ein Widerspruch ist.
c) das kann doch nur gelten wenn das Parallenenaxiom hinzugenommen wird, aber das geht doch nicht mit den 3 Axiomen zu zeigen die oben genannt sind oder?
Wie mache ich das hier?
MfG
Mathegirl
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:54 Mo 16.04.2012 | | Autor: | tobit09 |
Hallo Mathegirl,
b) ist von dir korrekt gelöst.
Auch bei c) hast du Recht: Die Aussage lässt sich nicht aus den Axiomen I1 bis I3 folgern, wie man durch ein "Minimalmodell" mit nur 3 Punkten und 3 Geraden zeigen kann.
Viele Grüße
Tobias
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(Antwort) fertig | | Datum: | 07:57 Di 17.04.2012 | | Autor: | tobit09 |
> a) Durch jeden Punkt gehen mindestens zwei verschiedene
> geraden
> a) [mm]A\in[/mm] P und [mm]a,b\in[/mm] G, dann muss gelten [mm]A\in[/mm] a und [mm]A\in[/mm] b.
Nicht ganz. Wenn [mm] $A\in [/mm] P$, dann müssen [mm] $a,b\in [/mm] G$ EXISTIEREN mit [mm]A\in[/mm] a und [mm]A\in[/mm] b.
> nach I3 gibt es 3 verschiedene Punkte A,B,C die nicht alle
> mit der selben Geraden inzidieren. Also [mm]A\in[/mm] a und [mm]B\in[/mm] a
> und [mm]C\not\in[/mm] a.
> Da nach I1 zu zwei verschiedenen Punkten genau eine
> Gerade existiert muss es eine Gerade [mm]b\not=[/mm] a geben mit [mm]C\in[/mm] b
> und [mm]B\in[/mm] B.
Korrekt.
> damit ist auch gezeigt dass I2 für die Gerade b gilt, denn zur
> Geraden b gibt es Punkt B und C die mit diesem inzidieren.
Sei F ein Punkt. Wir wollen die Existenz zweier Geraden zeigen, die durch F gehen.
1. Fall: F=A
2. und 3. Fall: F=B oder C (geht genauso wie der 1. Fall)
4. Fall: [mm] $F\not=A,B,C$
[/mm]
Betrachte jeweils verschiedene Geraden durch F und A,B,C, die du durch I1 erhältst.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:34 Mi 18.04.2012 | | Autor: | Mathegirl |
Vielen Dank! jetzt komme ich weiter !
MfG
Mathegirl
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