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| Aufgabe | Untersuchen Sie(mit Beweis) auf irreduzibilität:
(1) f(x) = [mm] x^{4}-x^{3}-9x^{2}+4x+2; [/mm] g(x) = [mm] x^{4}+2x^{3}+x^{2}+2x+1 [/mm] in [mm] \IQ[x]
[/mm]
(2) f(x,y) = [mm] z^{6}+xy^{5}+2xy^{3}+2x^{2}y^{2}-x^{3}y+x^{2}+x [/mm] in [mm] \IQ[x,y] [/mm] |
Hallo!
Kann mir jemand helfen? Wie gehe ich denn hier vor, v.a. was soll ich beweisen?? Wie mache ich dies dann wenn ich 2 verschiedene Variablen habe??
Also die (2) habe ich mittlerweile selbst gelös, aber bei der (1) fehlt mir jegiche idee,..
MfG SuSi
Habe dies in keinenm anderen Forum geschrieben!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:37 So 07.01.2007 | | Autor: | felixf |
Hallo sonnenfee,
> Untersuchen Sie(mit Beweis) auf irreduzibilität:
> (1) f(x) = [mm]x^{4}-x^{3}-9x^{2}+4x+2;[/mm] g(x) =
> [mm]x^{4}+2x^{3}+x^{2}+2x+1[/mm] in [mm]\IQ[x][/mm]
das erste Polynom ist reduzibel, das zweite irreduzibel (laut Maple). Dass beide keine Nullstellen in [mm] $\IQ$ [/mm] haben sieht man schnell (es muessten schon Nullstellen in [mm] $\IZ$ [/mm] sein, und dazu kommen nur Teiler des kleinsten Koeffizienten in Frage). Wenn sie also reduzibel sind, dann muessen sie in das Produkt von zwei quadratischen Faktoren aufspalten.
Daraus erhaelst du ein Gleichungssystem in vier Unbekannten (woraus sich zwei schnell eliminieren lassen), welches beim ersten Polynom eine Loesung in [mm] $\IQ$ [/mm] hat und beim zweiten wohl nicht.
Beim ersten liefert dir das eine Faktorisierung, wenn du eine Loesung findest. Wenn du beim zweiten zeigen kannst, dass es keine Loesung gibt, bist du auch fertig. Das ist aber wohl etwas schwieriger...
Die Methode Substituieren+Eisenstein klappt bei beiden Polynomen nicht wie es aussieht. Reduktion modulo Primzahl koennte beim zweiten vielleicht helfen; modulo 2 ist es reduzibel, aber modulo 3 oder 5 hast du vielleicht Erfolg... (Dort kannst du den ggT mit [mm] $x^{3^2} [/mm] - x$ bzw. [mm] $x^{5^2} [/mm] - x$ ausrechnen, wenn sie teilerfremd sind dann ist es irreduzibel.)
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:20 So 07.01.2007 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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