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| Aufgabe | Es sei K ein Körper und f(Y),g(Y) aus K[Y] teilerfremde Polynome mit grad(f*g)>=1.
Zeigen Sie, dass das Polynom
f(Y)-g(Y)*X
irreduzibel im Ring (K(X))[Y] ist. |
Hallo Ihr!
Ich habe da noch so meine Probleme bei der Aufgabe. Grundsätzlich denke ich, dass man das Kriterium von Eisenstein o.ä. benutzen sollte - allerdings bin ich mir nicht ganz sicher wie!
Mich verwirrt nämlich die Verwendung von X und Y hier. Das Polynom ist doch aus K[X], oder? Oder aus K[X,Y]? Und das soll dann in (K(X))[Y] landen? Ich bin mir schon da nicht sicher, d.h. ich komm gar nicht erst zur Anwendung von Eisenstein.
Kann mir jemand helfen? Wäre super :)
Laura
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:40 Mo 22.11.2010 | | Autor: | felixf |
Moin Laura!
> Es sei K ein Körper und f(Y),g(Y) aus K[Y] teilerfremde
> Polynome mit grad(f*g)>=1.
> Zeigen Sie, dass das Polynom
> f(Y)-g(Y)*X
> irreduzibel im Ring (K(X))[Y] ist.
>
> Ich habe da noch so meine Probleme bei der Aufgabe.
> Grundsätzlich denke ich, dass man das Kriterium von
> Eisenstein o.ä. benutzen sollte - allerdings bin ich mir
> nicht ganz sicher wie!
> Mich verwirrt nämlich die Verwendung von X und Y hier.
> Das Polynom ist doch aus K[X], oder? Oder aus K[X,Y]?
Es ist ein Polynom in $K[X, Y] = R[Y]$ mit dem Integritaetsring $R = K[X]$, und das kann natuerlich auch als Polynom in $Q[Y]$ mit $Q = K(X)$, dem Quotientenkoerper von $R$, auffassen.
(Und es reicht, wie bei [mm] $\IZ[Y]$ [/mm] versus [mm] $\IQ[Y]$, [/mm] sich das in [mm] $\IZ[Y]$ [/mm] anzuschauen, wenn es primitiv ist.)
> Und
> das soll dann in (K(X))[Y] landen? Ich bin mir schon da
> nicht sicher, d.h. ich komm gar nicht erst zur Anwendung
> von Eisenstein.
Eisenstein kannst du nicht umbedingt anwenden, da der konstante Term auch eine Einheit sein kann.
Versuch es doch direkt: angenommen $f(Y) - g(Y) X = [mm] h_1 \cdot h_2$ [/mm] mit [mm] $\deg_Y h_1 [/mm] > 0$. Zeige jetzt, dass [mm] $\deg_Y h_2 [/mm] = 0$ sein muss.
LG Felix
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Vielen Dank schonmal! :)
Dein Ansatz klingt auch gut, leider komme ich nicht wirklich darüber hinaus. Ich habe bisher leider auch nicht so viele Beweise über den Grad geführt bzw gesehen... Mit Nullstellen oä werde ich hier ja kaum argumentieren können, oder?
Liebe Grüße,
Laura
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:55 Mo 22.11.2010 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Dein Ansatz klingt auch gut, leider komme ich nicht
> wirklich darüber hinaus. Ich habe bisher leider auch nicht
> so viele Beweise über den Grad geführt bzw gesehen... Mit
> Nullstellen oä werde ich hier ja kaum argumentieren
> können, oder?
Mit Nullstellen kommst du hier nicht weiter.
Du kannst aber z.B. wie folgt argumentieren:
$f$ irreduzibel in $K(X)[Y] [mm] \Leftrightarrow [/mm] f$ irreduzibel in $K[X, Y] [mm] \Leftrightarrow [/mm] f$ irreduzibel in $K(Y)[X]$
(kannst du die Aequivalenzen begruenden?)
Und weisst du, warum es in $K(Y)[X]$ irreduzibel ist?
LG Felix
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Hallo nochmal 
Supervielen Dank für deine Hilfe!
> Du kannst aber z.B. wie folgt argumentieren:
>
> [mm]f[/mm] irreduzibel in [mm]K(X)[Y] \Leftrightarrow f[/mm] irreduzibel in
> [mm]K[X, Y] \Leftrightarrow f[/mm] irreduzibel in [mm]K(Y)[X][/mm]
>
> (kannst du die Aequivalenzen begruenden?)
>
das sollte doch mit dem Satz von Gauß funktionieren, oder?
> Und weisst du, warum es in [mm]K(Y)[X][/mm] irreduzibel ist?
>
das scheint dann nochmal der Knackpunkt zu sein. mich wundert ja dann auch dass der Grad von fg in der Aufgabe angegeben wird, d.h. den brauche ich wohl.
ich würde jetzt wohl probieren die Irreduzibilität in [mm]K(Y)[X][/mm] auf die in [mm]K[X][/mm] zurückzuführen - wobei Eisenstein bzw. das Reduktionskriterium wohl auch hier nicht funktionieren werden.
ich hab dann hier wohl auch das gleiche Problem wie schon bei [mm]K(X)[Y][/mm], ich hänge da fest.
Liebe Grüße,
Laura
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:41 Mo 22.11.2010 | | Autor: | felixf |
Moin Laura!
> Supervielen Dank für deine Hilfe!
Bitte! :)
> > Du kannst aber z.B. wie folgt argumentieren:
> >
> > [mm]f[/mm] irreduzibel in [mm]K(X)[Y] \Leftrightarrow f[/mm] irreduzibel in
> > [mm]K[X, Y] \Leftrightarrow f[/mm] irreduzibel in [mm]K(Y)[X][/mm]
> >
> > (kannst du die Aequivalenzen begruenden?)
>
> das sollte doch mit dem Satz von Gauß funktionieren,
> oder?
Ja. Du musst allerdings dessen Voraussetzungen beachten! Weisst du, wie die lauten?
> > Und weisst du, warum es in [mm]K(Y)[X][/mm] irreduzibel ist?
>
> das scheint dann nochmal der Knackpunkt zu sein. mich
> wundert ja dann auch dass der Grad von fg in der Aufgabe
> angegeben wird, d.h. den brauche ich wohl.
So genau brauchst du den Grad nicht. Du musst nur gucken, was die Bedingung [mm] $\deg(f [/mm] g) [mm] \ge [/mm] 1$ ausschliesst -- naemlich, dass beide Polynome konstant sind, oder das eins von ihnen 0 ist. Solange das nicht der Fall ist, ist die Bedingung automatisch erfuellt.
> ich würde jetzt wohl probieren die Irreduzibilität in
> [mm]K(Y)[X][/mm] auf die in [mm]K[X][/mm] zurückzuführen - wobei Eisenstein
> bzw. das Reduktionskriterium wohl auch hier nicht
> funktionieren werden.
Das brauchst du nicht. Es ist viiiiel einfacher.
Schau dir einfach an, welchen Grad das Polynom in Bezug auf $X$ hat.
LG Felix
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Hallo nochmal :)
> > ich würde jetzt wohl probieren die Irreduzibilität in
> > [mm]K(Y)[X][/mm] auf die in [mm]K[X][/mm] zurückzuführen - wobei Eisenstein
> > bzw. das Reduktionskriterium wohl auch hier nicht
> > funktionieren werden.
>
> Das brauchst du nicht. Es ist viiiiel einfacher.
>
> Schau dir einfach an, welchen Grad das Polynom in Bezug auf
> [mm]X[/mm] hat.
>
Ohje! Danke für den Wink mit dem Zaunpfahl!
> > > Du kannst aber z.B. wie folgt argumentieren:
> > >
> > > [mm]f[/mm] irreduzibel in [mm]K(X)[Y] \Leftrightarrow f[/mm] irreduzibel in
> > > [mm]K[X, Y] \Leftrightarrow f[/mm] irreduzibel in [mm]K(Y)[X][/mm]
> > >
> > > (kannst du die Aequivalenzen begruenden?)
> >
> > das sollte doch mit dem Satz von Gauß funktionieren,
> > oder?
>
> Ja. Du musst allerdings dessen Voraussetzungen beachten!
> Weisst du, wie die lauten?
Nun ja, wir haben in der Vorlesung gemacht dass K[X1,X2,...] faktoriell ist, das braucht man für den Satz von Gauß.
Außerdem haben wir auch noch gemacht, dass für einen faktoriellen Ring R mit Quotientenkörper K:=Q(R) gilt
f irreduz in K[X] <=> f irreduz in R[X]
(für f prim, bzw mit einem f'=cf mit c aus K*)
Damit geht es ja dann, wenn ich mich nicht irre.
Nochmal Danke für all deine Hilfe heute!
Liebe Grüße,
Laura
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:16 Mo 22.11.2010 | | Autor: | felixf |
Moin!
> > > > Du kannst aber z.B. wie folgt argumentieren:
> > > >
> > > > [mm]f[/mm] irreduzibel in [mm]K(X)[Y] \Leftrightarrow f[/mm] irreduzibel in
> > > > [mm]K[X, Y] \Leftrightarrow f[/mm] irreduzibel in [mm]K(Y)[X][/mm]
> > > >
> > > > (kannst du die Aequivalenzen begruenden?)
> > >
> > > das sollte doch mit dem Satz von Gauß funktionieren,
> > > oder?
> >
> > Ja. Du musst allerdings dessen Voraussetzungen beachten!
> > Weisst du, wie die lauten?
>
>
> Nun ja, wir haben in der Vorlesung gemacht dass
> K[X1,X2,...] faktoriell ist, das braucht man für den Satz
> von Gauß.
> Außerdem haben wir auch noch gemacht, dass für einen
> faktoriellen Ring R mit Quotientenkörper K:=Q(R) gilt
> f irreduz in K[X] <=> f irreduz in R[X]
> (für f prim, bzw mit einem f'=cf mit c aus K*)
Die Details sind hier ganz wichtig. So ist $2 X - 2$ irreduzibel in [mm] $\IQ[X]$, [/mm] jedoch nicht in [mm] $\IZ[X]$ [/mm] -- woran liegt das?
(Das passende Stichwort faengt mit "p" an.)
LG Felix
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