Irreduzibilität < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Überprüfen Sie [mm] X^5+7X^3+4X^2+6X+1
[/mm]
auf Irreduzibilität in Z[x] und Q[x] |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo,
Ich habe ein Problem:
Ich habe keine Ahnung wie man das löst. Ich habe schon versucht das Reduktionskriterium anzuwenden und dann da irgendwelche Aussagen zu treffen, hat aber zu nichts geführt...
Hilfe...
|
|
| |
|
Hi,
ich habe jetzt es auch mal verschieden Einsetzung-Automorphismen probiert. Ich glaub du kommst nicht um die Annahme:
Es gibt f und g mit f*g=dein Polynom
also
o.B.d.A grad(f)=3 und grad(g)=2
[mm]f*g=(a_1x^3+a_2x^2+a_3x+a_4)*(b_1x^2+b_2x+b_3)[/mm]
Du brauchst ja auch nur die Irreduzibilität in [mm]\IZ[X][/mm]. Die Irreduzibilität in [mm]Q(\IZ[X])=\IQ[X][/mm] folgt ja mit dem Gaußkriterium ( und ggt(Koeff)=1)
|
|
|
| |
|
Vielen Dank für eure Hilfe. Jetzt war es ja wirklich nicht mehr schwierig:)
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:59 Mi 01.06.2011 | | Autor: | Lippel |
Hallo,
> Überprüfen Sie [mm]X^5+7X^3+4X^2+6X+1[/mm]
> auf Irreduzibilität in Z[x] und Q[x]
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
> Hallo,
> Ich habe ein Problem:
> Ich habe keine Ahnung wie man das löst. Ich habe schon
> versucht das Reduktionskriterium anzuwenden und dann da
> irgendwelche Aussagen zu treffen, hat aber zu nichts
> geführt...
Reduktionskriterium ist ein guter Ansatz. Wenn du das Polynom modulo 2 reduzierst, erhälst du ja $f = [mm] X^5+X^3+1$. [/mm] Falls dieses irreuzibel in [mm] $\IF_2[X]$, [/mm] dann wissen wir, dass das ursprüngliche Polynom irreduzibel in [mm] $\IZ[X]$ [/mm] ist (dass dies dann auch für [mm] $\IQ[X]$ [/mm] gilt, folgt aus dem Satz von Gauß, wie wieschoo schon geschrieben hat).
Nun hat f keine Nullstelle in [mm] $\IF_2[X]$ [/mm] also wird f nicht von einem linearen Polynom geteilt. Bleibt noch zu zeigen, dass f nicht in Faktoren g und h zerfällt mit Grad 2 und Grad 3. Die Teiler g ung h müssten wieder irreduzibel sein, denn sonst hätte f ja eine Nullstelle (denn reduzible Polynome vom Grad 2 oder 3 spalten zwingend eine Linearfaktor ab und haben damit eine Nullstelle). Es gibt nun aber nur sehr wenige irreduzible Polynome vom Grad 2 in [mm] $\IF_2[X]$, [/mm] welche keine Nullstellen haben. Finde diese und zeige, dass sie f nicht teilen. Damit hast du die Irreduzibilität von f gezeigt und folglich auch, dass das ursprüngliche Polynom irreduzibel ist.
LG Lippel
|
|
|
|
