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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:49 So 15.12.2013 | | Autor: | Vidane |
| Aufgabe | Es sei R ein Integritätsbereich. Wir betrachten den Unterring
[mm] A:=\left\{ \sum ^{n}_{i=0}a_{i}X^{i}\vline n\in \mathbb{N} ,a_{i}\in R,a_{1}=0\right\} \subseteq R\left[ X\right] [/mm]
des Polynomrings über R in der unabhängigen Variablen X.
a) Zeigen Sie, dass die Elemente [mm] X^{2},X^{3}\in [/mm] A beide irreduzibel sind. |
Hey Leute, ich verzweifel echt an der Aufgabe, obwohl die eigentlich nicht soo schwer sein sollte.
Also [mm] X^{2} [/mm] ist ja irreduzibel, falls folgendes gilt:
[mm] X^{2}\notin \left\{ 0\right\} \cup R^{\times }\wedge \left[ X^{2}=fg\Rightarrow f\in R^{x} \vee g\in R^{\times }\right] [/mm]
Ich hab das jetzt so probiert:
Angenommen [mm] X^{2} [/mm] wäre reduzibel, dann: [mm] \exists f,g\in A:X^{2}=fg,so [/mm] dass [mm] f,g\notin R^{x}.
[/mm]
[mm] X^{2}=fg=\left( \sum ^{2}_{i=1}a_{i}X^{i}\right) \left( \sum ^{2}_{i=1}b_{i}X^{i}\right) =\left( a_{0}+a_{2}X^{2}\right) \left( b_{0}+b_{2}X^{2}\right) [/mm]
Aber ich glaub, das bringt mich nicht weiter, falls das überhaupt richtig sein sollte. Über einen Tipp/Ansatz wäre ich echt dankbar. (oder mir eventuell vorzuführen, wie das mit [mm] X^{2} [/mm] klappt, dann probier ich das mit [mm] X^{3})
[/mm]
Vielen Dank und mit freundlichen Grüßen,
Vidane.
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Hey,
$R$ ist ein Integritätsbereich, das heißt du hast in $R[x]$ einen Grad und es gilt $grad(fg) = grad(f)+grad(g)$. Willst du nun [mm] $X^2$ [/mm] faktorisieren, so reicht es also die Fälle $grad(f)=2,grad(g)=0$ und $grad(f)=grad(g)=1$ zu betrachten.
Gucken wir uns weiterhin den Leitterm an (also den Vorfaktor der höchsten $X$-Potenz), so gilt - wieder da wir einen Bereich haben - $LT(fg) = [mm] LT(f)\cdot [/mm] LT(g)$. Da [mm] $LT(X^2)=1$ [/mm] hast du also zusätzlich in beiden Fällen von oben, dass [mm] $LT(f)\cdot [/mm] LT(g) = 1$
Überlege dir, dass du damit oBdA $f,g$ als normiert annehmen kannst.
Auf die Art wirst du dann sehr bald feststellen, dass alle Möglichkeiten dein $f,g$ zu wählen leider nicht in $A$ liegen.
Mit [mm] $X^3$ [/mm] geht das dann praktisch ganz genau so.
lg
Schadow
PS: Wenn du es ganz genau machen willst, kannst du die Einbettung von $A$ in $R[x]$ betrachten und sagen, dass eine Faktorisierung in $A$ auch eine in $R[x]$ ist (da die Einbettung ein Ringhomomorphismus ist).
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:28 So 15.12.2013 | | Autor: | Vidane |
Ahhh perfekt, vielen Dank :)
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