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Forum "Algebra" - Irreduzibilität eines Polynoms
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Irreduzibilität eines Polynoms: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:49 Do 02.02.2006
Autor: kluh

Aufgabe
[mm] f = X^{3}+17X^{2}+6X+4 \in \IQ[X] [/mm]

Hallo Leute,

das obere Polynom soll auf Irreduzibilität geprüft werden. Habe dazu in einer Musterlösung den folgenden Weg gefunden:
"Da [mm]grad(f)\,=\,3[/mm] gilt: [mm]f\, irreduzibel \, in \, \IQ[X] \; \gdw \; f \, hat\, keine\, Nullstelle\, in\, \IQ. [/mm] (Soweit ist mir das noch klar.)
Da der Quotientenkörper von [mm] \IZ [/mm] gleich [mm] \IQ [/mm] ist und [mm]\,f[/mm] primitiv ist, kann dies abgeschwächt werden zu:
[mm]f\, irreduzibel\, in\, \IQ[X]\; \gdw\; f\, irreduzibel\, in\, \IZ[X]\; \gdw\; f\, hat\, keine\, Nullstelle\, in\, \IZ.[/mm]
Als Nullstellen kommen nur Teiler vom konstanten Glied in Frage. Durch Einsetzen von 1, -1, 2, -2, 4, -4 erhält man, dass [mm]\,f[/mm] keine Nullstellen in [mm] \IZ [/mm] besitzt und somit irreduzibel ist. "

Warum genügt es, das Polynom nur in [mm] \IZ[X] [/mm] zu betrachten und warum darf man das überhaupt?
Das für ein Polynom in [mm] \IZ[X] [/mm] die Nullstellen Teiler des konstanten Gliedes sind, ist mir klar.

Schöne Grüße,
Stefan

        
Bezug
Irreduzibilität eines Polynoms: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:06 Do 02.02.2006
Autor: dande

kann es damit zusammenhängen, daß rationale Zahlen als Brüche von ganzen Zahlen gesehen werden, und ein Bruch nur dann null werden kann, wenn sein Zähler null ist?

Bezug
        
Bezug
Irreduzibilität eines Polynoms: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 22:44 Do 02.02.2006
Autor: kluh

Hallo dande,

wenn eine der Nullstellen (sofern vorhanden) gleich Null wäre, dann könnte man X aus dem Polynom ausklammern. Die Nullstellen (sofern vorhanden) haben natürlich die Form  [mm] \bruch{a}{b} [/mm] mit a, b [mm] \in \IQ, [/mm] aber die Null ist hier ja keine Nullstelle des Polynoms.

Gruß,
Stefan

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Bezug
Irreduzibilität eines Polynoms: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:31 Do 02.02.2006
Autor: leduart

Hallo Stefan
setz doch mal für x den gekürzten Bruch p/q    [mm] p,q\in \IZ [/mm] ein, dannsiehst du, dass es wegen der 1 vor [mm] x^{3} [/mm] klar ist!
Gruss leduart.

Bezug
        
Bezug
Irreduzibilität eines Polynoms: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 00:07 Fr 03.02.2006
Autor: kluh

Wenn ich [mm] \bruch{p}{q} [/mm] mit p, q [mm] \in \IZ [/mm] für X einsetze, bekomme ich den Ausdruck:
[mm]p^{3}+17p^{2}q+6pq^{2}+4q^{3}=0[/mm]
Aber inwiefern hilft mir das jetzt weiter?

Bezug
                
Bezug
Irreduzibilität eines Polynoms: Teilbarkeit.
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 00:28 Fr 03.02.2006
Autor: leduart

Hallo,
Ich hät das als Brüche stehen lassen und gezeigt, dass sie nicht als Summe Ganz sind aber so wie du es schreibst ist es auch klar:

> Wenn ich [mm]\bruch{p}{q}[/mm] mit p, q [mm]\in \IZ[/mm] für X einsetze,
> bekomme ich den Ausdruck:
>  [mm]p^{3}+17p^{2}q+6pq^{2}+4q^{3}=0[/mm]

q teilt p nicht nach Vors.  [mm] 17p^{2}q+6pq^{2}+4q^{3} [/mm] ist durch q teilbar, [mm] p^{3}nicht. [/mm] Die Differenz ist also mindestens 1, Widerspruch!
Oder  [mm] p^{3}=-(17p^{2}q+6pq^{2}+4q^{3}) [/mm] links nicht durch q teilbar, rechts durch q teilbar, Widerspruch zur eindeutigen Primzahlzerlegung!

>  Aber inwiefern hilft mir das jetzt weiter?

Ich hoffe du siehst es
Gruss leduart


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Irreduzibilität eines Polynoms: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 00:37 Fr 03.02.2006
Autor: kluh

Jetzt ist mir das klar.

Vielen Dank!

Schöne Grüße,
Stefan

Bezug
        
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Irreduzibilität eines Polynoms: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:14 Fr 03.02.2006
Autor: mathmetzsch

Hallo,

f irreduzibel in [mm] \IZ[x]\gdw [/mm] f irreduzibel in [mm] \IQ[x]. [/mm]

Das liegt daran, dass [mm] \IQ [/mm] der Quotientenkörper von [mm] \IZ [/mm] ist . Ein Satz aus der Algebra sagt uns das dann. Um das zu beweisen, benötigt man allerdings den Begriff des primitiven Polynoms und das Lemma von Gauß.

Viele Grüße
Daniel

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Irreduzibilität eines Polynoms: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 12:18 Fr 03.02.2006
Autor: DerHein

Das ganze Läuft unter dem Namen:
Lemma von Gauß

mfg Heinrich

Bezug
                
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Irreduzibilität eines Polynoms: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 12:31 Fr 03.02.2006
Autor: kluh

Hallo Daniel,

vielen Dank. Konnte jetzt den Satz auch in unserem Skript finden.

Schöne Grüße,
Stefan

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