Irreduzibilität von Elementen < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:20 Di 30.11.2010 | | Autor: | ThomasTT |
Hi,
Unser Professor hat folgdendes definiert:
Sei [mm] (R,+,\cdot) [/mm] ein Integritätsbereich. Ein Element [mm] p\in [/mm] R (keine Einheit und [mm] p\ne [/mm] 0) heißt unzerlegbar/irreduzibel, falls es nur durch Einheiten oder Assoziierte von sich selbst teilbar ist.
Was genau bedeutet "Assoziierte von sich selbst" in diesem Zusammenhang? Ist damit vielleicht bloß ein Vielfaches gemeint?
Und eine Sache noch:
Sei [mm] f\in\IZ[X] [/mm] ein reduzibles Polynom. Kann ich dann folgende Aussage machen? Aussage:
Es existieren [mm] g,h\in\IZ[X] [/mm] mit [mm] g,h\ne \pm1 [/mm] und $f=g [mm] \cdot [/mm] h$.
Oder muss es so heißen:
Es existieren [mm] g,h\in\IZ[X] [/mm] mit grad g>0, grad h>0 und $f=g [mm] \cdot [/mm] h$.
Mit freundlichen Grüßen
Thomas
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> keine
> Hi,
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> Unser Professor hat folgdendes definiert:
> Sei [mm](R,+,\cdot)[/mm] ein Integritätsbereich. Ein Element [mm]p\in[/mm]
> R (keine Einheit und [mm]p\ne[/mm] 0) heißt
> unzerlegbar/irreduzibel, falls es nur durch Einheiten oder
> Assoziierte von sich selbst teilbar ist.
>
> Was genau bedeutet "Assoziierte von sich selbst" in diesem
> Zusammenhang? Ist damit vielleicht bloß ein Vielfaches
> gemeint?
Vielfaches i.S.v. multipliziert mit einer Einheit.
Irreduzibel
Eine Nichteinheit [mm]0\neq p\in R[/mm] (Integritätsbereich) heißt irreduzibel [mm]:\gdw p=a*b \Rightarrow a \textrm{ ist Einheit} \vee b \textrm{ ist Einheit}[/mm]
Assoziertheit
ist eine Äquivalenzrelation, a und a' heißen assoziiert genau dann, wenn eine Einheit c existiert mit ca=a'
in [mm] $\IZ$
[/mm]
Ist 2 irreduzibel. Mann kann 2=2*1 (Da wäre 1 eine Einheit) schreiben. Oder 2= (-1)*(-2) damit wäre (-2) assoziert zu 2 also zu sich selbst. Also heißt assoziert zu sich selbst, wenn man sich mit einer Einheit multipliziert aufschreibt.
3=(-1)(-3). Oder in [mm] $\IZ [/mm] [i]:$ $1+i=(-1-i)*i$ wäre i auch eine Einheit und (-1-i) assoziert zu 1+i.
>
> Und eine Sache noch:
> Sei [mm]f\in\IZ[X][/mm] ein reduzibles Polynom. Kann ich dann
> folgende Aussage machen? Aussage:
> Es existieren [mm]g,h\in\IZ[X][/mm] mit [mm]g,h\ne \pm1[/mm] und [mm]f=g \cdot h[/mm].
Beide g und h [mm] $\neq \pm [/mm] 1$? Du meinst g und h sollen keine Einheiten sein? Das ist ja gerade wegen der Definition so. Ist f reduzibel, so existiert eine Produkt aus zwei NICHTEINHEITEN a,b mit f = a*b.
>
> Oder muss es so heißen:
> Es existieren [mm]g,h\in\IZ[X][/mm] mit grad g>0, grad h>0 und [mm]f=g \cdot h[/mm].
Ist 2x+2 nicht auch reduzibel in [mm] $\IZ [/mm] [X]$?! g*h=2*(x+2)=2x+2=f. Damit wäre grad(g) = 0!!
>
> Thomas
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 01:25 Mi 01.12.2010 | | Autor: | ThomasTT |
Danke erstmal!
>Ist 2x+2 nicht auch reduzibel in [mm] \IZ [/mm] [X]?!
>g*h=2*(x+2)=2x+2=f. Damit wäre grad(g) = 0!!
Das heißt also: ein Polynom [mm] 0\ne f\in\IZ[X] [/mm] ist reduzibel, wenn es ein Produkt aus (mindestens) zwei Elementen [mm] g,h\in\IZ [/mm] ist, also f=gh. Und dabei dürfen g und h keine Einheiten sein. Also g könnte 2,3,4,... oder [mm] x,x^2,x^3,... [/mm] oder [mm] 623x^5-33x^2 [/mm] etc. sein, AUSSER 1 und -1 eben? Für h gilt genau selbiges?
Und sofern g oder h als 1 oder -1 gewählt werden müssen, so ist f irreduzibel?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 02:10 Mi 01.12.2010 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Danke erstmal!
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> >Ist 2x+2 nicht auch reduzibel in [mm]\IZ[/mm] [X]?!
> >g*h=2*(x+2)=2x+2=f. Damit wäre grad(g) = 0!!
>
> Das heißt also: ein Polynom [mm]0\ne f\in\IZ[X][/mm] ist reduzibel,
> wenn es ein Produkt aus (mindestens) zwei Elementen
> [mm]g,h\in\IZ[/mm] ist, also f=gh. Und dabei dürfen g und h keine
> Einheiten sein. Also g könnte 2,3,4,... oder [mm]x,x^2,x^3,...[/mm]
> oder [mm]623x^5-33x^2[/mm] etc. sein, AUSSER 1 und -1 eben? Für h
> gilt genau selbiges?
Exakt.
Die Einheiten in [mm] $\IZ[x]$ [/mm] sind gerade [mm] $\pm [/mm] 1$.
> Und sofern g oder h als 1 oder -1 gewählt werden müssen,
> so ist f irreduzibel?
In [mm] $\IZ[x]$: [/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
In $R[x]$ fuer beliebige Ringe $R$: nein. Bei $R = [mm] \IQ$ [/mm] darf $g$ z.B. auch 2 oder [mm] $\frac{129844298}{982498}$ [/mm] sein.
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 02:16 Mi 01.12.2010 | | Autor: | ThomasTT |
Ok. Ich glaube ich habe es verstanden. Danke!
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