Irreduzibilität von K[X][Y] < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 02:20 Sa 14.11.2009 | | Autor: | StefanK. |
| Aufgabe | | z.z.: f= X^2Y + [mm] XY^2 [/mm] - X - Y + 1 [mm] \in [/mm] K[Y][X] = K[X,Y] ist irreduzibel, K Körper |
Hallo an alle,
ich hab keine Ahnung, wie ich hier weiterkomme. Spontan hab ich an das Eisensteinkriterium gedacht, aber kann es iwie nicht anwenden :-(
Kann mir jemand helfen?! Ich bin mir auch gar nicht sicher, wie ich den Körper K[X,Y] auffassen soll. Ist das der Körper über den Polynomen X und Y?!
Wäre echt lieb, wenn mir da jemand helfen könnte...
Vielen Dank schonmal
Liebe Grüße
Stefan
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 04:31 Sa 14.11.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo Stefan!
> z.z.: f= X^2Y + [mm]XY^2[/mm] - X - Y + 1 [mm]\in[/mm] K[Y][X] = K[X,Y] ist
> irreduzibel, K Körper
> Hallo an alle,
> ich hab keine Ahnung, wie ich hier weiterkomme. Spontan hab
> ich an das Eisensteinkriterium gedacht, aber kann es iwie
> nicht anwenden :-(
> Kann mir jemand helfen?! Ich bin mir auch gar nicht
> sicher, wie ich den Körper K[X,Y] auffassen soll. Ist das
> der Körper über den Polynomen X und Y?!
$K[X, Y]$ ist kein Koerper, sondern ein Ring. Und zwar nimmst du den Koerper $K$, betrachtest Polynome in $Y$ mit Koeffizienten in $K$, das ist dann $K[Y]$, und betrachtest dann Polynome in $X$ mit Koeffizienten in $K[Y]$. Das ist dann $K[Y][X] = K[X, Y]$.
Eisensteinkriterium ist schon eine gute Idee. Setze $R := K[Y]$: dies ist ein Hauptidealbereich, und $f$ ist ein Polynom in $R[X]$ von Grad 2, mit Leitterm $Y$, Koeffizient [mm] $Y^2 [/mm] - 1$ von $X$ und konstanten Term $1 - Y$.
Betrachte doch mal das Primelement $Y - 1$ in $R$.
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:07 Sa 14.11.2009 | | Autor: | StefanK. |
Hallo Stefan,
das heißt also, du betrachtest f also als:
f= [mm] YX^2 [/mm] + [mm] (Y^2 [/mm] – [mm] 1)X^1 [/mm] + (1 – [mm] Y)X^0
[/mm]
Jetzt haben alle Koeffizienten keinen gemeinsamen Teiler, aber der das Primelement Y-1 teilt alle bis auf den letzten Koeffizienten.
Daraus folgt, Eisenstein gilt und f ist irreduzibel! Stimmt meine Schlussfolgerung soweit?!
Ganz lieben Dank für deine Hilfe!!!
LG Stefan
(nur mal so nebenbei: wofür brauche ich denn die Tatsache, dass R[Y] ein Hauptidealbereich ist?)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:04 Sa 14.11.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo Stefan!
> das heißt also, du betrachtest f also als:
> f= [mm]YX^2[/mm] + [mm](Y^2[/mm] – [mm]1)X^1[/mm] + (1 – [mm]Y)X^0[/mm]
> Jetzt haben alle Koeffizienten keinen gemeinsamen Teiler,
> aber der das Primelement Y-1 teilt alle bis auf den letzten
> Koeffizienten.
Du meinst: alle bis auf den fuehrenden Koeffizienten! Ansonsten koenntest du das gar nicht so machen...
Und insbesondere teilt es den konstanten Term genau einmal -- das ist auch wichtig.
> Daraus folgt, Eisenstein gilt und f ist irreduzibel! Stimmt
> meine Schlussfolgerung soweit?!
Ja.
> (nur mal so nebenbei: wofür brauche ich denn die Tatsache,
> dass R[Y] ein Hauptidealbereich ist?)
Nun: deswegen sind irreduzible Elemente von $K[Y]$ bereits prim. Und dass Polynome von Grad 1 in Polynomringen ueber Koerpern irreduzibel sind ist klar, und somit sind sie auch prim.
Du kannst auch direkt zeigen, dass $Y - 1$ prim ist, aber es ist einfacher diesen "Umweg" zu gehen.
LG Felix
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