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Forum "Gruppe, Ring, Körper" - Irreduziblität von Polynomen
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Irreduziblität von Polynomen: Frage (reagiert)
Status: (Frage) reagiert/warte auf Reaktion Status 
Datum: 15:43 Di 21.02.2017
Autor: anpera

Aufgabe
Zeigen Sie, dass folgende Polynome irreduzibel in [mm] \IQ[X] [/mm] irreduzibel sind:
a) f := [mm] X^3 [/mm] + [mm] 3X^2 [/mm] + 3X - 1
b) g := [mm] X^6 [/mm] + [mm] X^3 [/mm] + 1
c) h := [mm] X^5 [/mm] + [mm] 2X^4 [/mm] + [mm] X^3 [/mm] + [mm] 4X^2 [/mm] + 1


Hallo,

ich versuche mich gerade an den Nachweisen über die Irreduzibilität der obigen Polynome.
Ich habe bisher gemacht:

1) Eisenstein ist in keinem Fall anwendbar, da in allen Fällen gilt 1 [mm] \mid a_0 [/mm] , ... , [mm] a_{n-1} [/mm] , aber auch 1 [mm] \mid a_n [/mm]
2) alle Polynome sind primitiv: [mm] ggT(a_0 [/mm] , ... , [mm] a_{n}) [/mm] = 1

Für das erste Polynom habe ich das Reduktionskriterium ( 3 [mm] \nmid [/mm] 1 = [mm] a_{n} [/mm] ) angewandt:
[mm] f_{3} [/mm] := f mod 3 = [mm] X^3 [/mm] + 2 [mm] \in F_{3}[X] [/mm]
Da deg [mm] \bar{f} [/mm] = 3, kann ich nach Nullstellen durch Einsetzen suchen und daraus Irreduzibilität folgern:
[mm] f_{3} [/mm] (0) = 2
[mm] f_{3} [/mm] (1) = 3 = 0 [mm] \Rightarrow [/mm] keine Aussage über Irreduzibilität möglich

Nochmal mit (2 [mm] \nmid [/mm] 1 = [mm] a_{n}) f_{2} [/mm] := f mod 2 = [mm] X^3 [/mm] + [mm] X^2 [/mm] + X + 1 [mm] \in F_{2}[X] [/mm]
[mm] f_{2} [/mm] (0) = 1
[mm] f_{3} [/mm] (1) = 1 + 1 +1 + 1 = 4 = 0 [mm] \Rightarrow [/mm] keine Aussage über Irreduzibilität möglich

Irgendwie fehlen mir jetzt weitere Ideen. Kann mir jemand auf die Sprünge helfen? Danke!



Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
Irreduziblität von Polynomen: Ideen zu a) und b)
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:59 Di 21.02.2017
Autor: M.Rex

Hallo und [willkommenmr]

Zu a) und b) hätte ich Ideen.

Hier würde ich versuchen, umzuformen.

Bei a)
[mm] x^{3}+3x^{2}+3x-1 [/mm]
[mm] =x^{3}+3x^{2}+3x+1-2 [/mm]
[mm] =(x+1)^{3}-2 [/mm]

Und bei b)
[mm] x^{6}+x^{3}+1 [/mm]
[mm] =(x^{3})^{2}+(x^{3})+1 [/mm]

Nun bedenke, dass [mm] x^{2}+x+1 [/mm] in [mm] $\IR$ [/mm] (und damit dann auch in [mm] $\IQ$) [/mm] nicht in Linearfaktoren zerlegt werden kann.

Ob das Zielführend ist, weiß ich gerade auf die Schnelle nicht wirklich, das wäre aber mein Ansatz


Marius

Bezug
        
Bezug
Irreduziblität von Polynomen: Antwortversuch
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:25 Mi 08.03.2017
Autor: Ladon

Hallo,

falls du noch Interesse hast, ist hier die Antwort.

ad a):
Betrachte $ [mm] f=X^3 [/mm]  + [mm] 3X^2 [/mm]  + 3X - 1 $ in [mm] $\mathbb{F}_7[X]$. [/mm] Dann ist [mm] $\bar f=X^3+3X^2+3X-1$ [/mm] und [mm] $\bar f(0)=-1,\bar f(1)=6,\bar [/mm] f(2)=25, [mm] \bar f(3)=62,\bar f(4)=123,\bar f(5)=214,\bar [/mm] f(6)=314$ sind offenbar nicht durch 7 teilbar, damit ungleich $0$.

ad b):
Betrachte [mm] $g=X^6+X^3+1$ [/mm] in [mm] $\mathbb{F}_2[X]$. [/mm] Dann ist $g(0)=1$ und $g(1)=3=1$ ungleich $0$.

ad c):
Betrachte $h= [mm] X^5 [/mm]  + [mm] 2X^4 [/mm]  +  [mm] X^3 [/mm]  +  [mm] 4X^2 [/mm]  + 1 $ in [mm] $\mathbb{F}_2[X]$, [/mm] d.h. [mm] $\bar [/mm] h= [mm] X^5 [/mm]  +  [mm] X^3 [/mm]  +   1 $. Dann ist [mm] $\bar h(0)=1\neq [/mm] 0$ und [mm] $\bar h(1)=3=1\neq [/mm] 0$.

Viele Grüße
Ladon

Bezug
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