Irreduziblität von Polynomen < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 15:43 Di 21.02.2017 | | Autor: | anpera |
| Aufgabe | Zeigen Sie, dass folgende Polynome irreduzibel in [mm] \IQ[X] [/mm] irreduzibel sind:
a) f := [mm] X^3 [/mm] + [mm] 3X^2 [/mm] + 3X - 1
b) g := [mm] X^6 [/mm] + [mm] X^3 [/mm] + 1
c) h := [mm] X^5 [/mm] + [mm] 2X^4 [/mm] + [mm] X^3 [/mm] + [mm] 4X^2 [/mm] + 1 |
Hallo,
ich versuche mich gerade an den Nachweisen über die Irreduzibilität der obigen Polynome.
Ich habe bisher gemacht:
1) Eisenstein ist in keinem Fall anwendbar, da in allen Fällen gilt 1 [mm] \mid a_0 [/mm] , ... , [mm] a_{n-1} [/mm] , aber auch 1 [mm] \mid a_n [/mm]
2) alle Polynome sind primitiv: [mm] ggT(a_0 [/mm] , ... , [mm] a_{n}) [/mm] = 1
Für das erste Polynom habe ich das Reduktionskriterium ( 3 [mm] \nmid [/mm] 1 = [mm] a_{n} [/mm] ) angewandt:
[mm] f_{3} [/mm] := f mod 3 = [mm] X^3 [/mm] + 2 [mm] \in F_{3}[X]
[/mm]
Da deg [mm] \bar{f} [/mm] = 3, kann ich nach Nullstellen durch Einsetzen suchen und daraus Irreduzibilität folgern:
[mm] f_{3} [/mm] (0) = 2
[mm] f_{3} [/mm] (1) = 3 = 0 [mm] \Rightarrow [/mm] keine Aussage über Irreduzibilität möglich
Nochmal mit (2 [mm] \nmid [/mm] 1 = [mm] a_{n}) f_{2} [/mm] := f mod 2 = [mm] X^3 [/mm] + [mm] X^2 [/mm] + X + 1 [mm] \in F_{2}[X]
[/mm]
[mm] f_{2} [/mm] (0) = 1
[mm] f_{3} [/mm] (1) = 1 + 1 +1 + 1 = 4 = 0 [mm] \Rightarrow [/mm] keine Aussage über Irreduzibilität möglich
Irgendwie fehlen mir jetzt weitere Ideen. Kann mir jemand auf die Sprünge helfen? Danke!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:59 Di 21.02.2017 | | Autor: | M.Rex |
Hallo und ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
Zu a) und b) hätte ich Ideen.
Hier würde ich versuchen, umzuformen.
Bei a)
[mm] x^{3}+3x^{2}+3x-1
[/mm]
[mm] =x^{3}+3x^{2}+3x+1-2
[/mm]
[mm] =(x+1)^{3}-2
[/mm]
Und bei b)
[mm] x^{6}+x^{3}+1
[/mm]
[mm] =(x^{3})^{2}+(x^{3})+1
[/mm]
Nun bedenke, dass [mm] x^{2}+x+1 [/mm] in [mm] $\IR$ [/mm] (und damit dann auch in [mm] $\IQ$) [/mm] nicht in Linearfaktoren zerlegt werden kann.
Ob das Zielführend ist, weiß ich gerade auf die Schnelle nicht wirklich, das wäre aber mein Ansatz
Marius
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:25 Mi 08.03.2017 | | Autor: | Ladon |
Hallo,
falls du noch Interesse hast, ist hier die Antwort.
ad a):
Betrachte $ [mm] f=X^3 [/mm] + [mm] 3X^2 [/mm] + 3X - 1 $ in [mm] $\mathbb{F}_7[X]$. [/mm] Dann ist [mm] $\bar f=X^3+3X^2+3X-1$ [/mm] und [mm] $\bar f(0)=-1,\bar f(1)=6,\bar [/mm] f(2)=25, [mm] \bar f(3)=62,\bar f(4)=123,\bar f(5)=214,\bar [/mm] f(6)=314$ sind offenbar nicht durch 7 teilbar, damit ungleich $0$.
ad b):
Betrachte [mm] $g=X^6+X^3+1$ [/mm] in [mm] $\mathbb{F}_2[X]$. [/mm] Dann ist $g(0)=1$ und $g(1)=3=1$ ungleich $0$.
ad c):
Betrachte $h= [mm] X^5 [/mm] + [mm] 2X^4 [/mm] + [mm] X^3 [/mm] + [mm] 4X^2 [/mm] + 1 $ in [mm] $\mathbb{F}_2[X]$, [/mm] d.h. [mm] $\bar [/mm] h= [mm] X^5 [/mm] + [mm] X^3 [/mm] + 1 $. Dann ist [mm] $\bar h(0)=1\neq [/mm] 0$ und [mm] $\bar h(1)=3=1\neq [/mm] 0$.
Viele Grüße
Ladon
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