Irrtumswahrscheinlichkeit < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:01 Mo 23.05.2005 | | Autor: | M.a.x.i |
Hallo alle miteinander!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Ich habe wieder einmal ein Problem mit der Wahrscheinlichkeitsberechnung. ;)
Meine Aufgaben sind...
a) für eine zufällig ausgewählte Person die Wahrscheinlichkeiten P{T = t und H = h} für alle 4 Kombinationen (s. unten mein Bild) der möglichen Testergebnisse t = 0,1 mit dem HIV-Status h = 0,1 zu berechnen.
b) die Irrtumswahrscheinlichkeiten für
- P {H = 0 | T = 1} -> eine nicht infizierte Person, dessen Testergebnis dennoch HIV-positiv lautet und...
- P {H = 1 | T = 0} -> eine infizierte Person, dessen Testergebnis dennoch HIV-negativ lautet
...zu berechnen.
Folgende Wahrscheinlichkeiten sind schon vorgegeben:
- P {T = 1 | H = 1} = 99,5% -> die bedingte W'keit, dass bei einer infizierten Person das Testergebnis ebenfalls positiv ist
- P {T = 1 | H = 0} = 2,5% -> die bedingte W'keit, dass bei einer nicht-infizierten Person das Testergebnis falsch (T=1) ausfällt ist
- P {T = 1 | H = 0} = 0,1% -> Anteil der Infizierten in der betrachteten Bevölkerung/die W'keit, dass eine zufällig ausgewählte Person infiziert ist
Hier ist ein Bild zur Veranschaulichung:
[Externes Bild http://www.kunstgalerie-barbara.de/aidstest.jpg]
Wie kann ich nun die fehlenden Wahrscheinlichkeiten in der Graphik und in Aufgabe b) berechnen?
Ich habe zwar schon versucht mit der Bayes'schn Formel anhand eines ähnlichen Beispiels einige Werte auszurechnen, aber letzen Endes habe ich nicht wirklich gewusst welchen Wert ich wo einsetzen muss. Ich hoffe mir kann da jemand weiterhelfen. ;)
Vielen Dank im Voraus!
Maxi
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Du benötigst hier tatsächlich die Bayes´sche Formel
Definiere:
[mm] A_{1} [/mm] = "zufällig ausgewählte Person ist krank"
[mm] A_{2} [/mm] = "zufällig ausgewählte Person ist gesund"
B = "Testergebnis: HIV-negativ"
C = "Testergebnis: HIV-positiv"
Zunächst: [mm] P(A_{1}|B) [/mm] also, die Wahrscheinlichkeit, dass bei einer infizierten Person der Test dies nicht feststellt.
[mm] P(A_{1}|B) [/mm] = [mm] [P(A_{1})*P(B|A_{1})] [/mm] / [mm] [P(A_{1})*P(B|A_{1}) [/mm] + [mm] P(A_{2})*P(B|A_{2})]
[/mm]
= 0,001 * 0,005 / 0,001 * 0,005 + 0,999 * 0,975
Bekommst du so das andere hin?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 07:39 Di 24.05.2005 | | Autor: | M.a.x.i |
Hallo julieann!
Danke für deine Hilfe.
Aber wie hast du folgende Werte ermittelt:
[mm] P(B|A_{1}) [/mm] und [mm] P(B|A_{2}) [/mm] ?
Müsste [mm] P(B|A_{1}) [/mm] nicht 0,995 sein?
http://www.kunstgalerie-barbara.de/aisdtest.jpg
Gruß,
Maxi
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[mm] P(B|A_{1}) [/mm] ist ja die Wahrscheinlichkeit, dass der Test sagt: HIV-negativ, obwohl die Person infiziert ist.
Das entspricht einfach der Gegenwahrscheinlichkeit zur Aussage, dass eine infizierte Person auch als HIV-positiv getestet wird. Denn eine infizierte Person wird zu 99,5% auch als das getestet, also zu 0,5% erhält sie das Ergebnis HIV-negativ.
Genauso für [mm] P(B|A_{2}):
[/mm]
Das ist die Wahrscheinlichkeit, dass der Test sagt: HIV-negativ, wenn sich eine gesunde Person testen lässt.
Nun, wenn sich eine gesunde Person testen lässt, hast du ja vorgegeben, dass dann trotzdem bei 2,5% "HIV-positiv" rauskommt. Das heißt aber, dass bei 97,5% das Gegenteil, also HIV-negativ (praktisch "das richtige") angezeigt wird.
Und vom Ergebnis her macht das auch sinn, denn so hast du eine relativ kleine Zahl, da unten im Nenner ja etwas viel größeres reauskommt als oben. Und die Wahrscheinlichkeit, dass eine kranke Person trotzdem als gesund eingestuft wird, sollte ja auch ziemlich klein sein, nicht wahr?!
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