Isoklinen bestimmen & zeichnen < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:27 Di 02.02.2010 | | Autor: | pavelle |
| Aufgabe | Bestimmen sie näherungsweise y(-2), wobei y Lösung des AWP
[mm] y'(x)=y^2(x)+2y(x)x+x^2 [/mm]
mit y(-1)=1 ist.
Gehen Sie dazu wie folgt vor:
1. Bestimmen sie die Isoklinen für [mm] f(x,y)\in{0,1,4,9}
[/mm]
2. Skizzieren Sie das Richtungsfeld.
3. Zeichnen Sie qualitativ die Lösungskurve y, welche der Anfangsbedingung genügt.
4. Lesen Sie den Funktionswert y an der Stelle x=-2 ab. |
Hallo zusammen,
im Moment zerbreche ich mir den Kopf mit dieser Aufgabe. Auch wenn ich mich wiederholt mit Isoklinken auseinander gesetzt habe, begreife ich dieses Thema noch nicht ganz.
Die DGL lautet in vereinfachter Form: [mm] y'=(y+x)^2
[/mm]
Soweit so gut.
Mir ist auch bekannt, dass die y Ableitung die Tangenten Steigung wiedergibt. [mm] y'=m=tan(\alpha)
[/mm]
Eine Isokline wird wie folgt definiert:
Eine Linie auf der nur „Slopes" (Steigungstangenten) liegen mit der gleichen Steigung, heißt Isokline. y'=f(x,y)=const.
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Und genau hier fängt mein Problem an, als erstes das Verständnis dieser Aussage, wie auch die Umsetzung bzw Darstellung im Diagramm. Aber immer der Reihe nach
Aufgabe 1:
a) [mm] y'=m=0=(y+x)^2 [/mm] => mal Wurzel => 0=y+x => y=-x
b) [mm] y'=m=1=(y+x)^2 [/mm] => mal Wurzel => 1=y+x => y=1-x
c) [mm] y'=m=4=(y+x)^2 [/mm] => mal Wurzel => 2=y+x => y=2-x
d) [mm] y'=m=9=(y+x)^2 [/mm] => mal Wurzel => 3=y+x => y=3-x
===> Isokline: y= {0,1,2,3}-x
Mit diesem Ergebnis soll man nun in Aufgabenteil 2. das Richtungsfeld skizzieren, nur....
1. wie stelle ich dafür zuerst die Isoklinen im Diagramm dar?
2. was wird in der Aufgabe mit y(-2) gemeint?
3. Der Anfangswert ist y(-1)=1. Ist an diesem Punkt die Steigung = Null?
Das ist soweit mein Problem. Mit Sicherheit werden sich noch einige weitere Fragen im Laufe der Aufarbeitung ergeben, aber immer der Reihe nach.
Lg
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:48 Mi 03.02.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
Also erstmal hast du die Isoklinen richtig gefunden. Also zeichne sie dünn in dein Koordinatennetz ein.
Jetzt wisst du das Richtungsfeld haben.
Dazu zeichnest du längs der Geraden y=-x lauter kleine waagerecht Striche ein (deshalb war die vorher dünn gezeichnet.
dann längs der Geraden y=-x+1 lauter kleine Richtungsstückchen mit der Steigung 1 usw, für alle eine vorgegebenen Geraden.
Jetzt solltest du ein Bild haben, auf dem lauter kurze Richtungsstücke sind.
Wenn du jetzt an einer Stelle anfängst und immer in Richtung der Geradenstückchen weiter gehst, kannst du zeichnerisch ne Lösungskurve finden.
ich stell dir ein Bildchen rein, um dir den Spass nicht zu verderben für ne andere DGL nämlich y'=y*(1-y)
(Die Isoklinen sind hier einfach Geraden mit y=const)
dabei sind 3 Lösungskurven mit verschiedenen Startwerten schon eingezeichnet.
[Dateianhang nicht öffentlich]
(erstellt mit 3D-XplorMath das du im internet umsonst kriegen kannst)
Gruss leduart
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:13 Fr 05.02.2010 | | Autor: | pavelle |
Hallo leduart,
verzeih mir bitte meine späte Antwort, konnte mich erst jetzt der Aufgabe wieder witmen.
Ich habe jetzt soweit die Isoklinen gezeichnet (siehe Anhang). Sollte so richtig sein.
Die Steigung ist an jeder Geraden konstant, richtig? Sprich für
y=-x+1 = m=1
y=-x+2 = m=2
......
Bei der Einzeichnung der Steigung bzw Winkels, muss ich mich da an die x Achse richten?
Gruß
[Dateianhang nicht öffentlich]
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
Anhang Nr. 2 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:50 Fr 05.02.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
die Isoklinen sind richtig. Die Frage versteh ich nicht, Steigung ist immer Äanderung in y Richtung : änderung in x- richtung- m=1 hat also die Richtung der Geraden y=x
du zeichnes also auf der Isoklinen lauter kleine Striche in 45° sur x- Achse, bei m=2 steiler (2 nach oben, 1 nach rechts usw. m=0 waagerecht wie's am Schluss etwa aussehen soll hast du ja an meinem Bild gesehen.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 02:09 Fr 05.02.2010 | | Autor: | pavelle |
Hi,
mit der gleichen Steigung meinte ich, dass sie an jedem Punkt der jeweiligen Gerade konstant ist.
Ich denke ich habe es nun geschaft. (siehe Anhang, die Auflösung ist ziemlich grob aber man kann den Verlauf näherungsweise erkennen)
Nun müsste man mit dem AWP die gesuchte Funktion aus der Lösungsschar ermitteln. Angegeben ist y(-1)=1, sprich an der Stelle ist der Wendepunkt, richtig? Nur was bedeutet das zusätzliche y(-2) in der Aufgabenstellung?
Gruß
[Dateianhang nicht öffentlich]
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:48 Fr 05.02.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
Das Richtungsfeld sieht gut aus, aber deine Kurve scheint durch (-1,-1) zu gehen. In der Aufgabe stand y(-1)=1 das wäre der Punkt (-1,1)
oder du hast oben ne falsche Angabe.
Wenn du die Kurve eingezeichnet hast, sollst du jetzt nur noch die Kurve bis x=-2 verfolgen und dort den Wert für y(-2) ablesen. Dann bist du fertig.
Gruss leduart
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