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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:18 Mi 23.05.2007 | | Autor: | Esra |
Hallo leute ,
ich habe hier eine aufgabe mit der ich nicht ganz klar komme, würde mich freuen wenn jemand mir da behilflich seien könnte
Aufgabe:
Betrachten sie den Vektorraum M [mm] (n,\IR) [/mm] der reellen nxn- matrizen versehen mit der positiv definiten symmetrischen Bilinearform<A,B>=Spur ( [mm] A^{T}B). [/mm] Weiter sei R [mm] \in [/mm] O(n) fest und die lineare Abbildung f: M [mm] (n,\IR)\to [/mm] M [mm] (n,\IR) [/mm] gegeben durch f(A)=RA.
Zeigen Sie, dass f eine Isometrie ist.
EIgentlich scheint es nicht so schwer zu sein die Isometrie Eigenschaften sind mir zum teil klar aber wie gehe ich hier Vor?
Danke im Vorraus
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:01 Mi 23.05.2007 | | Autor: | felixf |
Hallo Esra
> ich habe hier eine aufgabe mit der ich nicht ganz klar
> komme, würde mich freuen wenn jemand mir da behilflich
> seien könnte
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> Aufgabe:
>
> Betrachten sie den Vektorraum M [mm](n,\IR)[/mm] der reellen nxn-
> matrizen versehen mit der positiv definiten symmetrischen
> Bilinearform<A,B>=Spur ( [mm]A^{T}B).[/mm] Weiter sei R [mm]\in[/mm] O(n)
> fest und die lineare Abbildung f: M [mm](n,\IR)\to[/mm] M [mm](n,\IR)[/mm]
> gegeben durch f(A)=RA.
> Zeigen Sie, dass f eine Isometrie ist.
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> EIgentlich scheint es nicht so schwer zu sein die Isometrie
> Eigenschaften sind mir zum teil klar aber wie gehe ich hier
> Vor?
Du rechnest nach, dass fuer alle $A, B [mm] \in [/mm] M(n, [mm] \IR)$ [/mm] gilt [mm] $\langle [/mm] A, B [mm] \rangle [/mm] = [mm] \langle [/mm] f(A), f(B) [mm] \rangle$. [/mm] (Ist ganz einfach, du musst das nur mal alles Einsetzen.) Daraus folgt insbesondere, dass [mm] $\| [/mm] f(A) [mm] \| [/mm] = [mm] \sqrt{\langle f(A), f(A) \rangle} [/mm] = [mm] \sqrt{\langle A, A \rangle} [/mm] = [mm] \| [/mm] A [mm] \|$ [/mm] ist.
LG Felix
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