Isometrie < Skalarprodukte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:28 Fr 27.05.2011 | | Autor: | chesn |
| Aufgabe | | Sei [mm] (V,\Phi) [/mm] ein euklidischer Vektorraum und [mm] v,w\in [/mm] V zwei unterschiedliche Vektoren der gleichen Länge. Zeige, dass eine Isometrie [mm] \psi \in [/mm] End(V) existiert mit [mm] \psi(v)=w. [/mm] |
Hallo!
Eine Isometrie ist ja eine längenerhaltende Abbildung, also gilt schonmal [mm] ||\psi(v)|| [/mm] = ||v|| = ||w||. Hilft mir das irgendwie weiter?
Hatte weiter an die Householder-Matrix gedacht, denn jedes w lässt sich dann ja durch Spiegelung von v darstellen (abhängig vom Normalenvektor, der die Spiegel-Ebene beschreibt). Geht das schonmal in die richtige Richtung? Und wie kann ich das dann als Gleichung zu Papier bringen?
Danke schonmal für jeden hilfreichen Tipp. :)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:46 Fr 27.05.2011 | | Autor: | fred97 |
> Sei [mm](V,\Phi)[/mm] ein euklidischer Vektorraum und [mm]v,w\in[/mm] V zwei
> unterschiedliche Vektoren der gleichen Länge. Zeige, dass
> eine Isometrie [mm]\psi \in[/mm] End(V) existiert mit [mm]\psi(v)=w.[/mm]
> Hallo!
>
> Eine Isometrie ist ja eine längenerhaltende Abbildung,
> also gilt schonmal [mm]||\psi(v)||[/mm] = ||v|| = ||w||. Hilft mir
> das irgendwie weiter?
> Hatte weiter an die Householder-Matrix gedacht, denn jedes
> w lässt sich dann ja durch Spiegelung von v darstellen
> (abhängig vom Normalenvektor, der die Spiegel-Ebene
> beschreibt). Geht das schonmal in die richtige Richtung?
> Und wie kann ich das dann als Gleichung zu Papier bringen?
>
> Danke schonmal für jeden hilfreichen Tipp. :)
Ist V endlichdimensional ? Wenn ja, so sei [mm] $U:=\{\alpha v: \alpha \in \IR\}$ [/mm] . Dann ist
$V=U [mm] \oplus U^{\perp}$
[/mm]
Ist dann x [mm] \in [/mm] V, so ex [mm] \alpha \in \IR [/mm] und u [mm] \in U^{\perp} [/mm] mit: $x= [mm] \alpha [/mm] v+u$.
Setze [mm] $\psi(x):=\alpha [/mm] w+u$ und zeige, dass [mm] \psi [/mm] des Gewünschte leistet.
Edit: [mm] \psi [/mm] leistet nicht das Gewünschte. Meine Idee war keine gute Idee
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:50 Fr 27.05.2011 | | Autor: | felixf |
Moin Fred!
> > Sei [mm](V,\Phi)[/mm] ein euklidischer Vektorraum und [mm]v,w\in[/mm] V zwei
> > unterschiedliche Vektoren der gleichen Länge. Zeige, dass
> > eine Isometrie [mm]\psi \in[/mm] End(V) existiert mit [mm]\psi(v)=w.[/mm]
> > Hallo!
> >
> > Eine Isometrie ist ja eine längenerhaltende Abbildung,
> > also gilt schonmal [mm]||\psi(v)||[/mm] = ||v|| = ||w||. Hilft mir
> > das irgendwie weiter?
> > Hatte weiter an die Householder-Matrix gedacht, denn jedes
> > w lässt sich dann ja durch Spiegelung von v darstellen
> > (abhängig vom Normalenvektor, der die Spiegel-Ebene
> > beschreibt). Geht das schonmal in die richtige Richtung?
> > Und wie kann ich das dann als Gleichung zu Papier bringen?
> >
> > Danke schonmal für jeden hilfreichen Tipp. :)
>
> Ist V endlichdimensional ? Wenn ja, so sei [mm]U:=\{\alpha v: \alpha \in \IR\}[/mm]
> . Dann ist
>
> [mm]V=U \oplus U^{\perp}[/mm]
>
> Ist dann x [mm]\in[/mm] V, so ex [mm]\alpha \in \IR[/mm] und u [mm]\in U^{\perp}[/mm]
> mit: [mm]x= \alpha v+u[/mm].
>
> Setze [mm]\psi(x):=x= \alpha w+u[/mm] und zeige, dass [mm]\psi[/mm] des
> Gewünschte leistet.
Das ist aber keine Isometrie. Wenn etwa $u = (1, 0)$ und $w = (0, 1)$ in $V = [mm] \IR^2$ [/mm] (mit Standardskalarprodukt) ist, dann ist [mm] $\psi(x, [/mm] y) = (0, x + y)$, und das ist nicht injektiv, also insb. nicht laengenerhaltend.
Bei dieser Aufgabe kommt man mit dem Basisergaenzungssatz und Gram-Schmidt weiter: wenn man [mm] $\|v\| [/mm] = [mm] \|w\| [/mm] = 1$ annimmt (was man o.E. machen kann), reicht es ja aus zwei ON-Basen anzugeben, wobei die eine $v$ enthaelt und die andere $w$.
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:59 Fr 27.05.2011 | | Autor: | fred97 |
> Moin Fred!
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> > > Sei [mm](V,\Phi)[/mm] ein euklidischer Vektorraum und [mm]v,w\in[/mm] V zwei
> > > unterschiedliche Vektoren der gleichen Länge. Zeige, dass
> > > eine Isometrie [mm]\psi \in[/mm] End(V) existiert mit [mm]\psi(v)=w.[/mm]
> > > Hallo!
> > >
> > > Eine Isometrie ist ja eine längenerhaltende Abbildung,
> > > also gilt schonmal [mm]||\psi(v)||[/mm] = ||v|| = ||w||. Hilft mir
> > > das irgendwie weiter?
> > > Hatte weiter an die Householder-Matrix gedacht, denn jedes
> > > w lässt sich dann ja durch Spiegelung von v darstellen
> > > (abhängig vom Normalenvektor, der die Spiegel-Ebene
> > > beschreibt). Geht das schonmal in die richtige Richtung?
> > > Und wie kann ich das dann als Gleichung zu Papier bringen?
> > >
> > > Danke schonmal für jeden hilfreichen Tipp. :)
> >
> > Ist V endlichdimensional ? Wenn ja, so sei [mm]U:=\{\alpha v: \alpha \in \IR\}[/mm]
> > . Dann ist
> >
> > [mm]V=U \oplus U^{\perp}[/mm]
> >
> > Ist dann x [mm]\in[/mm] V, so ex [mm]\alpha \in \IR[/mm] und u [mm]\in U^{\perp}[/mm]
> > mit: [mm]x= \alpha v+u[/mm].
> >
> > Setze [mm]\psi(x):=x= \alpha w+u[/mm] und zeige, dass [mm]\psi[/mm] des
> > Gewünschte leistet.
>
> Das ist aber keine Isometrie. Wenn etwa [mm]u = (1, 0)[/mm] und [mm]w = (0, 1)[/mm]
> in [mm]V = \IR^2[/mm] (mit Standardskalarprodukt) ist, dann ist
> [mm]\psi(x, y) = (0, x + y)[/mm], und das ist nicht injektiv, also
> insb. nicht laengenerhaltend.
>
> Bei dieser Aufgabe kommt man mit dem Basisergaenzungssatz
> und Gram-Schmidt weiter: wenn man [mm]\|v\| = \|w\| = 1[/mm] annimmt
> (was man o.E. machen kann), reicht es ja aus zwei ON-Basen
> anzugeben, wobei die eine [mm]v[/mm] enthaelt und die andere [mm]w[/mm].
>
> LG Felix
>
Hallo Felix,
Du hast recht. Meine Idee ist keine.
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:21 Fr 27.05.2011 | | Autor: | statler |
Hallo Felix, ich noch mal ...
Weil gleich Wochenende ist und weil ich deswegen jetzt unernst bin und wegen dieser ![[]](/images/popup.gif) Veranstaltung gönne ich mir den Hinweis, daß das auch mit dem Satz von Witt bewiesen werden kann.
Gruß
Dieter
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:39 Fr 27.05.2011 | | Autor: | felixf |
Moin Dieter
> Weil gleich Wochenende ist und weil ich deswegen jetzt
> unernst bin und wegen dieser
> Veranstaltung
Viel Spass dort schonmal!
> gönne ich mir den Hinweis, daß das auch mit dem Satz von
> Witt bewiesen werden kann.
Ah, interessant. Den Satz kannte ich noch gar nicht. Ich hab ein wenig per google books im Buch "Angewandte lineare Algebra" von de Gruyter geblaettert, in dem der Satz zu finden ist. Dort wird als Voraussetzung ein "klassischer Vektorraum" genannt (Seite 537). Ich frage mich nun: enthaelt die Klasse der klassischen Vektorraeume auch unendlichdimensionale Vektorraeume (mit Skalarprodukt)? Da ich das Buch nicht zur Hand habe kann ich nicht wirklich nachschauen (und google laesst mir zu viele Seiten weg, als das ich Lust habe es damit herauszufinden); das wuerde moeglicherweise auch SEckis Frage beantworten.
LG Felix
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 14:16 Fr 27.05.2011 | | Autor: | SEcki |
| Aufgabe | > Sei [mm](V,\Phi)[/mm] ein euklidischer Vektorraum und [mm]v,w\in[/mm] V zwei
> unterschiedliche Vektoren der gleichen Länge. Zeige, dass
> eine Isometrie [mm]\psi \in[/mm] End(V) existiert mit [mm]\psi(v)=w.[/mm] |
Wie sieht das im unendlich dimensionalen aus? Sagen wir mal, wir haben ein SKP zur Verfügung.
SEcki
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:31 Fr 27.05.2011 | | Autor: | felixf |
Moin SEcki
> > Sei [mm](V,\Phi)[/mm] ein euklidischer Vektorraum und [mm]v,w\in[/mm] V zwei
> > unterschiedliche Vektoren der gleichen Länge. Zeige,
> dass
> > eine Isometrie [mm]\psi \in[/mm] End(V) existiert mit [mm]\psi(v)=w.[/mm]
>
> Wie sieht das im unendlich dimensionalen aus? Sagen wir
> mal, wir haben ein SKP zur Verfügung.
Meinst du mit SKP ein Skalarprodukt? Das ist ja gegeben, da wir einen euklidischen Vektorraum haben 
Solange es orthogonale Komplemente von endlichdimensionalen Untervektorraeumen gibt, geht das: nimm $W = span(v, w)$, dann ist $W$ ein eukl. Vektorraum und man kann die Aussage aus dem endl.-dimensionalen auf $W$ anwenden. Nun ist $V = W [mm] \oplus W^\bot$, [/mm] und man definiert [mm] $\psi$ [/mm] auf [mm] $W^\bot$ [/mm] als Identitaet.
Allerdings: wann gilt $V = W [mm] \oplus W^\bot$? [/mm] Es ist immer eine direkte Summe, aber ist diese bereits $V$?
In Hilbertraeumen sollte es denke ich aber gehen, da $W$ als endlichdimensionaler UVR abgeschlossen ist. Wie es in beliebigen unendlichdimensionalen euklidischen Vektorraeumen aussieht weiss ich nicht...
LG Felix
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:44 Fr 27.05.2011 | | Autor: | felixf |
Moin,
> > > Sei [mm](V,\Phi)[/mm] ein euklidischer Vektorraum und [mm]v,w\in[/mm] V zwei
> > > unterschiedliche Vektoren der gleichen Länge. Zeige,
> > dass
> > > eine Isometrie [mm]\psi \in[/mm] End(V) existiert mit
> [mm]\psi(v)=w.[/mm]
> >
> > Wie sieht das im unendlich dimensionalen aus? Sagen wir
> > mal, wir haben ein SKP zur Verfügung.
>
> Meinst du mit SKP ein Skalarprodukt? Das ist ja gegeben, da
> wir einen euklidischen Vektorraum haben
ah, kann es sein dass du die Frage in Bezug auf allgemeine normierte Raeume meintest?
Ich glaube, dass es bei allg. Normen teilweise gar nicht geht. Betrachte z.B. $V = [mm] \IR^2$ [/mm] mit der Maximumsnorm und $v = (1, 0)$, $w = (1, 1)$. Dann gibt es keine Isometrie, die $v$ auf $w$ abbildet: es gibt einen zu $v$ l.u. Vektor (naemlich $z = (0, 1)$) so, dass [mm] $\|v [/mm] + [mm] \lambda [/mm] z [mm] \| [/mm] = 1$ fuer kleine [mm] $\lambda$. [/mm] Allerdings gibt es keine zu $w$ l.u. Vektoren mit derselben Eigenschaft.
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:21 So 29.05.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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