Isometrie Beweis < Topologie+Geometrie < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Sei $X$ zweidimensional. Zeigen Sie, dass es zu jeder endlichen Untergruppe $G$ von $Isom(X)$ einen Punkt [mm] $A\in [/mm] X$ gibt, für den [mm] $\varphi(A)=A$ [/mm] ist für alle [mm] $\varphi\in [/mm] G$.
(Hinweis: Betrachten Sie den Schwerpunkt (Baryzentrum mit Gewicht $(1,...,1)$) der Menge [mm] $C^G:=\{\varphi(C)|\varphi\inG\}$ [/mm] für einen Punkt [mm] $C\inX$.) [/mm] |
Ich habe natürlich erstmal versucht dem Hinweis zu folgen.
Es gilt [mm] $C^G:=\{\varphi(C)|\varphi\in G\}=\{C_1,...,C_n\}$ [/mm] da [mm] $C^G$ [/mm] endlich ist.
Sei [mm] $Z\in [/mm] X$ das Baryzentrum von [mm] $((C_1,...,C_n),(1,...,1))$.
[/mm]
Dann gilt:
[mm] \sum_{i=1}^n \overrightarrow{ZC_i} [/mm] = 0.
Also gilt auch:
$0 = [mm] \overrightarrow{\varphi}\left(\sum_{i=1}^n \overrightarrow{ZC_i} \right) [/mm] = [mm] \sum_{i=1}^n \overrightarrow{\varphi}(\overrightarrow{ZC_i})=\sum_{i=1}^n\overrightarrow{\varphi(Z)\varphi(C_i)}$.
[/mm]
Damit gilt also:
[mm] $\sum_{i=1}^n \overrightarrow{ZC_i} =\sum_{i=1}^n\overrightarrow{\varphi(Z)\varphi(C_i)}$.
[/mm]
[mm] \underline{Behauptung}: [/mm] Sei [mm] $\varphi\in G:\varphi(C_i)\in C^G\, \forall i\in \{1,...,n\}$
[/mm]
[mm] \underline{Beweis}: [/mm] Sei [mm] $\varphi, \psi \in [/mm] G$ und [mm] $i\in \{1,...,n\}$ [/mm] beliebig, dann gibt es ein [mm] $\psi(C)=C_i\, \forall [/mm] i=1,...,n$
Somit gilt:
[mm] $\varphi(C_i)=\varphi(\psi(C)) [/mm] = [mm] \underbrace{(\varphi \circ \psi)}_{\in G}(C)\in C^G$
[/mm]
Also ist [mm] $\varphi(C_i)\in C^G$.
[/mm]
Wenn ich jetzt wüsste, dass [mm] \{\varphi(C_1),...,\varphi(C_n)\} [/mm] = [mm] \{C_1,...,C_n\} [/mm] wäre, dann hätte ich:
[mm] $\sum_{i=1}^n \overrightarrow{ZC_i} =\sum_{i=1}^n\overrightarrow{\varphi(Z)C_i}=0$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow \varphi(Z)=Z$.
[/mm]
Aber ich weiss nicht wieso das ganze gelten sollte. Theor. könnte doch [mm] $\varphi(C_1)=\varphi(C_2)=C_1$ [/mm] gelten, damit wäre [mm] |\{\varphi(C_1),...,\varphi(C_n)\}|\not=|\{C_1,...,C_n\}|$.
[/mm]
Es wäre gut wenn mir jemand weiterhelfen könnte.
Mfg. Raspary
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:36 Mi 13.01.2016 | | Autor: | hippias |
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> Wenn ich jetzt wüsste, dass
> [mm]\{\varphi(C_1),...,\varphi(C_n)\}[/mm] = [mm]\{C_1,...,C_n\}[/mm] wäre,
> dann hätte ich:
>
> [mm]\sum_{i=1}^n \overrightarrow{ZC_i} =\sum_{i=1}^n\overrightarrow{\varphi(Z)C_i}=0[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow \varphi(Z)=Z[/mm].
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> Aber ich weiss nicht wieso das ganze gelten sollte. Theor.
> könnte doch [mm]$\varphi(C_1)=\varphi(C_2)=C_1$[/mm] gelten, damit
> wäre
> [mm]|\{\varphi(C_1),...,\varphi(C_n)\}|\not=|\{C_1,...,C_n\}|$.[/mm]
>
Tip: [mm] $\varphi$ [/mm] ist eine Isometrie und damit [mm] $$\varphi(C_1)=\varphi(C_2)\Rightarrow\ldots$
[/mm]
> Es wäre gut wenn mir jemand weiterhelfen könnte.
> Mfg. Raspary
Ich finde, dass Du Du die Aufgabe sehr gut bearbeitet hast.
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