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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:24 So 08.11.2015 | | Autor: | MinLi |
| Aufgabe | Sei G eine Gruppe mit zwei Normalteilern N und H, so dass N < H. Zeigen Sie, dass gilt: (G/N)/(H/N) [mm] \cong [/mm] G/H.
Damit die linke Seite überhaupt Sinn macht, sollten Sie zunächst folgendes zeigen:
a) N ist ein Normalteiler von H.
b) Das Bild der natürlichen Abbildung H [mm] \to [/mm] G/N ist isomorph zu H/N. |
Guten Abend,
ich soll obige Aussage beweisen und bräuchte etwas Hilfe dabei.
Zu a) habe ich mir folgendes überlegt:
Da N ein Normalteiler von G ist gilt: g * N * [mm] g^{-1} [/mm] = N [mm] \forall [/mm] g [mm] \in [/mm] G (+), außerdem ist N < H.
Da H ein Normalteiler von G ist folgt aus (+), dass dies insbesondere auch [mm] \forall [/mm] g [mm] \in [/mm] H gilt [mm] \Rightarrow [/mm] N ist Normalteiler von H.
Ist meine Überlegung soweit richtig?
Zu b):
Sei [mm] \alpha [/mm] : H [mm] \to [/mm] G/N und [mm] \beta [/mm] : im( [mm] \alpha [/mm] ) [mm] \to [/mm] H/N. Zu zeigen ist nun dass im( [mm] \alpha [/mm] ) [mm] \cong [/mm] H/N, das heißt es gilt zu zeigen, dass [mm] \beta [/mm] ein bijektiver Homomorphismus ist.
Hier weiß ich nicht mehr weiter.
Für den Beweis der Injektivität von [mm] \beta [/mm] nimmt man zwei Elemente x,y [mm] \in [/mm] im( [mm] \alpha [/mm] ) und zeigt dann, dass gilt
[mm] \beta [/mm] (x) = [mm] \beta [/mm] (y) [mm] \Rightarrow [/mm] x = y.
Allerdings habe ich keine Ahnung wie man das folgern kann mit dem was wir bereits wissen. Bei der Surjektivität weiß ich auch nicht weiter. Bei diesem Beweis soll man zeigen, dass jedes Element in H/N getroffen wird.
Ich habe mir gedacht dass die Abbildung [mm] \beta [/mm] bijektiv ist, da ja alle Elemente von H nach G/N geworfen werden und diese dann zu H/N, also gibt es ja genau gleich viel Elemente in im( [mm] \alpha [/mm] ) und in H/N.
Ich würde mich über eine kleine Hilfestellung freuen.
LG, MinLi
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Hallo,
die (a) ist so in Ordnung. Allerdings ist $N$ auch dann ein Normalteiler von $H$, wenn $H$ nicht unbedingt ein Normalteiler von $G$ ist. Es sollte also eher heißen "Da $H$ eine Untergruppe ist...".
Zur (b): Wir haben die Einbettung [mm] $H\hookrightarrow [/mm] G$, [mm] $x\longmapsto [/mm] x$ und die Projektion [mm] $G\twoheadrightarrow [/mm] G/N$, [mm] $x\longmapsto [/mm] xN$ und somit die Komposition [mm] $H\longrightarrow [/mm] G/N$ [mm] $x\longmapsto [/mm] xN$, von der du zeigen sollst, dass ihr Bild genau $H/N$ ist. $H/N$ sind alle Nebenklassen $xN$ mit [mm] $x\in [/mm] H$ (falls ihr den Quotienten über Nebenklassen konstruiert habt, zumindest). Nun ist direkt einzusehen, dass das genau die Nebenklassen sind, die von [mm] $H\longrightarrow [/mm] G/N$ getroffen werden.
Für den Hauptteil der Aufgabe: Verwende den Homomorphiesatz.
Liebe Grüße,
UniversellesObjekt
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:49 So 08.11.2015 | | Autor: | MinLi |
Hallo,
der Isomorphiesatz besagt: Sei eine Abbildung [mm] \alpha [/mm] : G [mm] \to [/mm] G' ein Gruppenhomomorphismus. Dann ist G/ker( [mm] \alpha [/mm] ) [mm] \cong [/mm] im( [mm] \alpha [/mm] ).
Heißt das ich soll mir in diesem Fall eine Abbildung von G/N [mm] \to [/mm] G/H ansehen? Und wenn ja, muss nach dem Isomorphiesatz und meiner Aufgabe der Kern dieser Abbildung H/N sein. Kann man dies zeigen indem man ein beliebiges Element x aus H/N nimmt und beweist, dass für dieses Element gilt: [mm] \alpha [/mm] (x) = eH, wobei eH das neutrale Element in G/H?
LG, MinLi
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Genau,
du brauchst einen Homomorphismus [mm] $G/N\longrightarrow [/mm] G/H$, der 1. surjektiv ist, 2. $H/N$ als Kern hat. Den gesuchten Homomorphismus bekommst du ebenfalls vom Homomorphiesatz geliefert.
Liebe Grüße,
UniversellesObjekt
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:26 Mo 09.11.2015 | | Autor: | MinLi |
Ich verstehe noch nicht richtig wie ich das mit dem Kern zeigen kann.
Ich nehme ein beliebiges Element x aus H/N, dieses x ist dann von der Form x=hN mit einem h [mm] \in [/mm] H. Dann wende ich [mm] \alpha [/mm] daraus an:
[mm] \alpha [/mm] (hN) = ... = eH.
Aber wie soll ich dies zeigen ohne ein konkretes [mm] \alpha [/mm] zu haben?
Genauso mit der Injektivität und der Surjektivität. Ich könnte Injektivität doch auch zeigen indem ich beweise, dass der Kern von [mm] \alpha [/mm] nur das neutrale Element enthält, aber dann habe ich wieder das gleich Problem wie beim Beweis vom Kern.
Wie kriege ich den gesuchten Homomorphismus aus dem Homomorphiesatz geliefert? Beim Homomorphiesatz geht man ja schon davon aus, dass die Abbildung ein Homomorphismus ist und dann sagt man, dass so ein [mm] \alpha [/mm] ' existiert wenn der Normalteiler von G eine Teilmenge des Kerns von [mm] \alpha [/mm] ist. Aber dieses [mm] \alpha [/mm] ' muss doch kein Homomorphismus sein...
LG, MinLi
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Wir betrachten den Homomorphismus [mm] $G\longrightarrow [/mm] G/H$, [mm] $x\mapsto \overline{x}$, [/mm] welcher als Kern $H$ hat. Nun gilt [mm] $N\subset [/mm] H$, das heißt, wir bekommen einen Homomorphismus [mm] $G/N\longrightarrow [/mm] G/H$, [mm] $\overline{x}\longmapsto\overline{x}$. [/mm] Dieser ist per Konstruktion surjektiv und hat den Kern $H/N$. Noch einmal der Homomorphiesatz liefert [mm] $(G/N)/(H/N)\cong [/mm] G/H$.
Liebe Grüße,
UniversellesObjekt
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:04 Di 10.11.2015 | | Autor: | MinLi |
Ich verstehe nicht genau wie du von N < H auf den Homomorphismus G/N [mm] \longrightarrow [/mm] G/H kommst und wieso dieser Homomorphismus surjektiv ist. Woher weiß man dann dass alle Elemente von G/H getroffen werden?
LG, MinLi
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Wir betrachten den Homomorphismus [mm] $\pi_H\colon G\longrightarrow [/mm] G/H$. Es gilt [mm] $\ker(\pi_H)=H$. [/mm] Es ist $N$ ein Normalteiler mit [mm] $N\subseteq \ker(\pi_H)$. [/mm] Der Homomorphiesatz liefert nun eine eindeutige Abbildung $f [mm] \colon G/N\longrightarrow [/mm] G/H$ mit [mm] $f\circ\pi_N=\pi_H$. [/mm] Die Surjektivität kannst du entweder aus [mm] $f\circ\pi_N=\pi_H$ [/mm] zusammen mit der Surjektivität von [mm] $\pi_N$ [/mm] und [mm] $\pi_H$ [/mm] folgern (das ist sogar die etwas schönere Möglichkeit), oder mit Elementen nachrechnen.
Liebe Grüße,
UniversellesObjekt
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:33 Di 10.11.2015 | | Autor: | MinLi |
Ok, ist gut, ich habe es geblickt.
Vielen Dank für deine Hilfe und deine Geduld.
LG, MinLi
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