Isomorphie von Gruppen < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 18:28 Fr 28.11.2008 | | Autor: | onnex |
Hallo,
ich bekomme gerade ein Aufgabe, und ich weiss net, ob ich in der richtige Richtung bin. Jmd kann mir vllt helfen.
Aufgabe: Seien n,m zwei natuerliche Zahlen. Wir bezeichnet mit (G, +) die additive Gruppe von [mm] \IZ/nm\IZ. [/mm] Die Gruppe(H, [mm] \circ) [/mm] ist auf der Menge [mm] (\IZ/n\IZ) \times (\IZ/m\IZ) [/mm] definiert, wobei die Verknuepfung [mm] \circ [/mm] durch [mm] ([a1]_{n},[a2]_{m}) \circ ([b1]_{n},[b2]_{m}) [/mm] = ([a1 + [mm] b1]_{n},[a2 [/mm] + [mm] b2]_{m}) [/mm] gegeben ist.
(a) Beweisen oder widerlegen Sie, dass schon aus diesen Voraussetzungen die Isomorphie der Gruppen (G, +) und (H, [mm] \circ) [/mm] folgt.
(b) Gleiche Frage wie in (a), allerdings unter der zusaetzlichen Voraussetzung, dass n und m teilerfremd sind.
Meine Idee: Um Isomorphie der Gruppen zu beweisen, muss man zuerst eine Gruppenisomorphismus Abb. f: G [mm] \mapsto [/mm] H bilden. Dann zeigt man, dass die Abb. f bijektiv ist.
(fuer die neutralen Elemente: [mm] f(1_{G}) [/mm] = [mm] 1_{H} [/mm] ist einfach zu beweisen)
Die Abb. habe ich so gebildet: sei n [mm] \ge [/mm] m, f: [mm] G\mapstoH [/mm] und [mm] f([a]_{nm}) [/mm] = ([a % [mm] n]_{n} [/mm] , [mm] [a/n]_{m}), [/mm] gilt dann f(a + b) = f(a) [mm] \circ [/mm] f(b) [mm] \forall [/mm] a,b [mm] \in [/mm] G. Dh. die Abb. f ist Gruppenhomomorphismus.
Das Problem bei mir ist, wie man die Abb. f bijektiv beweisen kann. und falls die Idee von mir richtig ist, dann gibts es dann gar keinen Unterschied zwieschen Loesunngen von (a) und (b).
danke im Voraus
mfG
onnex
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:46 Fr 28.11.2008 | | Autor: | felixf |
Hallo onnex
> Die Abb. habe ich so gebildet: sei n [mm]\ge[/mm] m, f: [mm]G\mapstoH[/mm]
> und [mm]f([a]_{nm})[/mm] = ([a % [mm]n]_{n}[/mm] , [mm][a/n]_{m}),[/mm]
Warum sollte $a$ durch $n$ teilbar sein? Oder was verstehst du unter $a/n$?
Und wenn du das erklaert hast, wie zeigst du dann:
> gilt dann f(a + b) = f(a) [mm]\circ[/mm] f(b) [mm]\forall[/mm] a,b [mm]\in[/mm] G.
?
LG Felix
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:48 So 30.11.2008 | | Autor: | onnex |
Hallo Felix,
> > Die Abb. habe ich so gebildet: sei n [mm]\ge[/mm] m, f: [mm]G\mapstoH[/mm]
> > und [mm]f([a]_{nm})[/mm] = ([a % [mm]n]_{n}[/mm] , [mm][a/n]_{m}),[/mm]
>
> Warum sollte [mm]a[/mm] durch [mm]n[/mm] teilbar sein? Oder was verstehst du unter [mm]a/n[/mm]?
Also a muss nicht duch n teilbar sein. Hier a/n bedeutet (a - a%b)/b, also 7/3 = 2 meinte ich.
>
> Und wenn du das erklaert hast, wie zeigst du dann:
>
> > gilt dann f(a + b) = f(a) [mm]\circ[/mm] f(b) [mm]\forall[/mm] a,b [mm]\in[/mm] G.
>
> ?
so beweise ich:
f(a + b) = [mm] f([a]_{nm} [/mm] + [mm] [b]_{nm}) [/mm] = [mm] f([a+b]_{nm}) [/mm] = ([(a+b) % [mm] n]_{n}, [/mm] [(a+b) / [mm] n]_{m}) [/mm] = ([a%n + b % [mm] n]_{n}, [/mm] [a/n + [mm] b/n]_{m}) [/mm] = ([a % [mm] n]_{n}, [a/n]_{m}) \circ([b [/mm] % [mm] n]_{n}, [b/n]_{m}) [/mm] = [mm] f([a]_{nm}) \circ f([b]_{nm}) [/mm] = f(a) [mm] \circ [/mm] f(b)
mfG
Onnex
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:16 Mo 01.12.2008 | | Autor: | felixf |
Hallo
> > > Die Abb. habe ich so gebildet: sei n [mm]\ge[/mm] m, f: [mm]G\mapstoH[/mm]
> > > und [mm]f([a]_{nm})[/mm] = ([a % [mm]n]_{n}[/mm] , [mm][a/n]_{m}),[/mm]
> >
> > Warum sollte [mm]a[/mm] durch [mm]n[/mm] teilbar sein? Oder was verstehst du
> unter [mm]a/n[/mm]?
>
> Also a muss nicht duch n teilbar sein. Hier a/n bedeutet (a
> - a%b)/b, also 7/3 = 2 meinte ich.
Also sozusagen Division mit Abrunden.
> > Und wenn du das erklaert hast, wie zeigst du dann:
> >
> > > gilt dann f(a + b) = f(a) [mm]\circ[/mm] f(b) [mm]\forall[/mm] a,b [mm]\in[/mm] G.
> >
> > ?
>
> so beweise ich:
>
> f(a + b) = [mm]f([a]_{nm}[/mm] + [mm][b]_{nm})[/mm] = [mm]f([a+b]_{nm})[/mm] = ([(a+b) % [/b][/mm]
> [mm][b][mm]n]_{n},[/mm] [(a+b) / [mm]n]_{m})[/mm] = ([a%n + b % [mm]n]_{n},[/mm] [a/n + [/b][/mm]
Mooment. Dass [mm][(a + b) % n]_n = [a % n + b % n]_n[/mm] ist ja ok, aber warum ist [mm][(a + b)/n]_m = [a/n + b/n]_m[/mm]?
Ist z.B. $n = 2$, $m = 3$ und $a = b = 1$, so ist $a/n + b/n = 1/2 + 1/2 = 0 + 0 = 0$ und $(a + b)/n = 2/2 = 1$.
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 07:44 Mo 01.12.2008 | | Autor: | felixf |
Hallo
> ich bekomme gerade ein Aufgabe, und ich weiss net, ob ich
> in der richtige Richtung bin. Jmd kann mir vllt helfen.
>
> Aufgabe: Seien n,m zwei natuerliche Zahlen. Wir bezeichnet
> mit (G, +) die additive Gruppe von [mm]\IZ/nm\IZ.[/mm] Die Gruppe(H,
> [mm]\circ)[/mm] ist auf der Menge [mm](\IZ/n\IZ) \times (\IZ/m\IZ)[/mm]
> definiert, wobei die Verknuepfung [mm]\circ[/mm] durch
> [mm]([a1]_{n},[a2]_{m}) \circ ([b1]_{n},[b2]_{m})[/mm] = ([a1 +
> [mm]b1]_{n},[a2[/mm] + [mm]b2]_{m})[/mm] gegeben ist.
> (a) Beweisen oder widerlegen Sie, dass schon aus diesen
> Voraussetzungen die Isomorphie der Gruppen (G, +) und (H,
> [mm]\circ)[/mm] folgt.
> (b) Gleiche Frage wie in (a), allerdings unter der
> zusaetzlichen Voraussetzung, dass n und m teilerfremd
> sind.
Es reicht hier voellig aus, zu Beweisen oder Widerlegen, dass $H$ zyklisch ist: es ist genau dann zyklisch, wenn es isomorph zu $G$ ist.
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:20 Di 02.12.2008 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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