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| Aufgabe | Für n [mm] \in \IN [/mm] sei A(n) die Anzaahl der Isomorphieklassen von abelschen Gruppen der Ordnung n.
Es gilt: Für teilerfremde m,n [mm] \in \IN [/mm] gilt A(mn)=A(m)*A(n) und für jede Primzahlpotenz [mm] p^e [/mm] gilt [mm] A(p^e)= [/mm] # [mm] \{(j_1,...,j_e | e =\summe_{i=1}^{e} (j_i * i)}. [/mm] Diese Zahl heißt Anzahl der Partitionen von e. |
Hallo,
wie kann man die behaupteten Aussagen zeigen? Was sind Isomorphieklassen abelscher Gruppen bzw. wie sehen diese aus?
Gruß
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:12 So 21.12.2008 | | Autor: | Merle23 |
> Was sind Isomorphieklassen abelscher Gruppen bzw. wie sehen diese aus?
In einer Isomorphieklasse sind alle abelschen Gruppen, welche isomorph zueinander sind.
Technisch gesprochen:
Du hast die Menge [mm]G_{ab}[/mm] aller abelschen Gruppen (das ist eine -sehr- große Menge) und du hast die Äquivalenzrelation "R", wobei gilt:
[mm]aRb :\gdw \mbox{ a isomorph zu b}[/mm], wobei a und b Elemente von [mm]G_{ab}[/mm] sind, also abelsche Gruppen.
Eine Isomorphieklasse einer abelschen Gruppe c ist dann die Menge [mm]\{a \in G_{ab} : aRc\}[/mm], d.h. da sind alle abelschen Gruppen drin, welche isomorph zu c sind.
edit: Eine Frage meinerseits an die schlauen Leute hier... ist [mm]G_{ab}[/mm] überhaupt eine Menge? Man kann ja aus jeder Menge trivialerweise eine Gruppe bauen, also müsste es doch eher eine Klasse sein, oder?
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Hallo,
ok, vielen Dank für diesen Hinweis. Ist es vllt. möglich, diese Aussage mithilfe des chin. Restsatzes zu zeigen?
Gruß
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:53 So 21.12.2008 | | Autor: | felixf |
Hallo
> ok, vielen Dank für diesen Hinweis. Ist es vllt. möglich,
> diese Aussage mithilfe des chin. Restsatzes zu zeigen?
Ich denke nicht.
Hattet ihr den Hauptsatz ueber endlich erzeugte abelsche Gruppen, oder den Elementarteilersatz? Oder die Sylow-Saetze?
LG Felix
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Hallo,
also wir hatten den Elemetarteilersatz und zudem die Sylowsätze kurz angesprochen. Ich versuche das auch schon eine Weile in Verbindung zu bringen, kann die Sätze aber nicht konstruktiv einsetzen. Hast du einen Vorschlag?
Gruß
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Hallo,
also habe nun so ziemlich alles versucht, komme aber auf keinen grünen Zweig. Hat jemand von euch einen passenden Vorschlag? Ich wäre dafür sehr dankbar!
Gruß
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:46 So 21.12.2008 | | Autor: | felixf |
Hallo
> edit: Eine Frage meinerseits an die schlauen Leute hier...
> ist [mm]G_{ab}[/mm] überhaupt eine Menge? Man kann ja aus jeder
> Menge trivialerweise eine Gruppe bauen, also müsste es doch
> eher eine Klasse sein, oder?
Ich wuerde sagen es ist eine Klasse. Aus jeder Menge $M$ kann man leicht eine einelementige Gruppe machen: [mm] $\{ M \}$ [/mm] mit der trivialen Operation.
Um aus jeder Menge selber eine Gruppe zu machen kann man evtl wie folgt vorgehen:
- bei endlichen Mengen nimmt man eine zyklische Gruppenstruktur;
- bei unendlichen Mengen nimmt man eine Wohlordnung [mm] $\le$ [/mm] auf der Menge und kreiert daraus einen Monoid (so wie [mm] $\IN$); [/mm] aus dem wiederum kann man eine Gruppe bekommen (wie [mm] $\IZ$ [/mm] aus [mm] $\IN$) [/mm] und schliesslich ist diese Gruppe bijektiv auf die urspruengliche Menge abbildbar, womit man die Gruppenstrkutur ueber die Bijektion rueberziehen kann auf die Menge.
Also kann man jede Menge mit mindestens einer Gruppenstruktur ausstatten, falls man ans Auswahlaxiom glaubt.
LG Felix
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:55 So 21.12.2008 | | Autor: | felixf |
Hallo
> Für n [mm]\in \IN[/mm] sei A(n) die Anzaahl der Isomorphieklassen
> von abelschen Gruppen der Ordnung n.
> Es gilt: Für teilerfremde m,n [mm]\in \IN[/mm] gilt A(mn)=A(m)*A(n)
> und für jede Primzahlpotenz [mm]p^e[/mm] gilt [mm]A(p^e)=[/mm] #
> [mm]\{(j_1,...,j_e | e =\summe_{i=1}^{e} (j_i * i)}.[/mm] Diese Zahl
> heißt Anzahl der Partitionen von e.
> Hallo,
>
> wie kann man die behaupteten Aussagen zeigen? Was sind
> Isomorphieklassen abelscher Gruppen bzw. wie sehen diese
> aus?
Wahlweise mit dem Elementarteilersatz, dem Hauptsatz ueber endlich erzeugte abelsche Gruppen oder mit den Sylow-Saetzen kannst du zeigen, dass du eine endliche abelsche Gruppe $G$ der Ordnung [mm] $p_1^{e_1} \cdots p_t^{e_t}$ [/mm] eindeutig in der Form $G = [mm] U_1 \times \dots \times U_t$ [/mm] schreiben kannst mit [mm] $|U_i| [/mm] = [mm] p_i^{e_i}$.
[/mm]
(Hinweis: mit dem Elementarteilersatz ist's ziemlich einfach, zumindest die Existenz der [mm] $U_i$. [/mm] Mit den Sylow-Saetzen zeigst du die Zerlegung, indem du als [mm] $U_i$ [/mm] die [mm] $p_i$-Sylow-Untergruppen [/mm] nimmst -- warum gibt es genau eine? -- und zeigst dass sie eine direkte Summe bilden mit $G$ als Ergebnis.)
Daraus folgt schonmal, dass $A(n) = [mm] \prod_{i=1}^t A(p_i^{e_i})$ [/mm] ist falls $n = [mm] \prod_{i=1}^t p_i^{e_i}$ [/mm] ist, womit $A(n m) = A(n) A(m)$ ist fuer teilerfremde $n, m$.
Die letzte Behauptung (mit der Partitionszahl) bekommst du mit dem Elementarteilersatz: Wenn du eine abelsche Gruppe der Ordnung [mm] $p^e$ [/mm] hast, wie kann die Struktur aussehen?
LG Felix
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Hallo,
danke für die Hinweise.
Zwei Sachen sind mir aber noch nicht klar.
> (Hinweis: mit dem Elementarteilersatz ist's ziemlich
> einfach, zumindest die Existenz der [mm]U_i[/mm]. Mit den
> Sylow-Saetzen zeigst du die Zerlegung, indem du als [mm]U_i[/mm] die
> [mm]p_i[/mm]-Sylow-Untergruppen nimmst -- warum gibt es genau eine?
> -- und zeigst dass sie eine direkte Summe bilden mit [mm]G[/mm] als
> Ergebnis.)
Wie kann ich mit den Sylowsätzen zeigen, dass die [mm] p_i-Sylowuntergruppen [/mm] eine direkte Summe bilden?
Und wie die Struktur bei einer abelschen Gruppe der Ordnung [mm] p^e [/mm] aussieht kann ich noch nicht so richtig nachvollziehen.
Gruß
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:35 Mo 22.12.2008 | | Autor: | felixf |
Hallo
> danke für die Hinweise.
> Zwei Sachen sind mir aber noch nicht klar.
>
> > (Hinweis: mit dem Elementarteilersatz ist's ziemlich
> > einfach, zumindest die Existenz der [mm]U_i[/mm]. Mit den
> > Sylow-Saetzen zeigst du die Zerlegung, indem du als [mm]U_i[/mm] die
> > [mm]p_i[/mm]-Sylow-Untergruppen nimmst -- warum gibt es genau eine?
> > -- und zeigst dass sie eine direkte Summe bilden mit [mm]G[/mm] als
> > Ergebnis.)
>
> Wie kann ich mit den Sylowsätzen zeigen, dass die
> [mm]p_i-Sylowuntergruppen[/mm] eine direkte Summe bilden?
Nun, wann bilden Untergruppen denn eine direkte Summe?
> Und wie die Struktur bei einer abelschen Gruppe der Ordnung
> [mm]p^e[/mm] aussieht kann ich noch nicht so richtig
> nachvollziehen.
Schreib doch mal den Elementarteilersatz hierhin, und zwar konkret fuer eine Gruppe der Ordnung [mm] $p^e$ [/mm] mit $p$ prim.
LG Felix
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