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| Aufgabe | | sei n [mm] \ge [/mm] 2 eine natürliche Zahl. Zeigen sie, dass es nur endlich viele Isomorphieklassen abelscher gruppen der ordnung n gibt und bestimmen die diese Anzahl für n=20 und n=30. |
Hallo,
ich bin mir bei der fragestellung oben nicht ganz sicher, was zu zeigen ist. Ich dachte mit, dass ich zeigen muss , dass es endlich viele Isomorhieklassen gibt - was ich über den hauptsatz endlich erzeugter abelscher gruppen machen würde. Muss ich auch noch zeigen dass die odnung n ist (hierzu hab ich noch keine idee, da mir bisher noch nicht klar war bzw. aufgefallen ist, dass ich das vielleicht auch noch zeigen müsste)??
Hat da jemand eine idee, ob ich das auch zeigen muss??
bei n=20 habe ich in primfaktoren zerlegt:
20=2*2*5
Ich bekomme dann die klassen:
A/(2) [mm] \times [/mm] A/(2) [mm] \times [/mm] A/(5)
A/(4) [mm] \times [/mm] A/(5)
A/(2) [mm] \times [/mm] A/(10)
A/(20)
ich bin mir aber hier nicht sicher, ob das so stimmt...ich habe dazu nämlich noch nie ein beispiel gesehen, (hab zwar gegoogelt) aber trotzdem bin ich mir nicht sicher..
Kann mir jemand helfen??
Ich würde mich sehr freuen.
Vielen Dank!
pythagora
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> sei n [mm]\ge[/mm] 2 eine natürliche Zahl. Zeigen sie, dass es nur
> endlich viele Isomorphieklassen abelscher gruppen der
> ordnung n gibt und bestimmen die diese Anzahl für n=20 und
> n=30.
> Hallo,
> ich bin mir bei der fragestellung oben nicht ganz sicher,
> was zu zeigen ist. Ich dachte mit, dass ich zeigen muss ,
> dass es endlich viele Isomorhieklassen gibt - was ich über
> den hauptsatz endlich erzeugter abelscher gruppen machen
> würde. Muss ich auch noch zeigen dass die odnung n ist
Hallo,
vielleicht mißverstehe ich Dich.
Was willst Du zeigen? Daß die Ordnung der zu betrachtenden Gruppen n sein soll, ist doch voausgesetzt.(?)
> (hierzu hab ich noch keine idee, da mir bisher noch nicht
> klar war bzw. aufgefallen ist, dass ich das vielleicht auch
> noch zeigen müsste)??
> Hat da jemand eine idee, ob ich das auch zeigen muss??
Ich glaube, es wäre gut, wenn Du den verwendeten Satz und Deinen Beweis mal postest.
Da wir nicht wissen, was Du getan hast, können wir auch nicht wissen, ob es richtig ist bzw. was fehlt,
und die Dir vorliegende Formulierung des Satzes wäre auch nützlich, um Dir bei der Anwendung auf n=20 und n=30 zu helfen.
>
> bei n=20 habe ich in primfaktoren zerlegt:
> 20=2*2*5
[mm] =2^2*5^1.
[/mm]
> Ich bekomme dann die klassen:
> A/(2) [mm]\times[/mm] A/(2) [mm]\times[/mm] A/(5)
> A/(4) [mm]\times[/mm] A/(5)
> A/(2) [mm]\times[/mm] A/(10)
> A/(20)
Ich komme mit Deiner Schreibweise nicht zurecht. ich weiß nicht, was Du mit A/(...) meinst.
Wenn es das ist, was ich mir zusammenreime, dann ist es falsch.
Der Hauptsatz sagt doch, daß man abelsche Gruppen der Ordnung 20 schreiben kann als direktes Produkt von zyklischen Gruppen, deren Ordnungen Potenzen von 2 und 5 sind, hier also als direktes Produkt von Gruppen [mm] \IZ_{2^{k_1} }und \IZ_{5^{k_2}}.
[/mm]
In der mir vorliegenden Version sagt der Satz auch etwas über die Anzahl der Möglichkeiten.
Wenn Du mit Deinen Bezeichnungen das meinst, was ich vermute, dann hast Du zuviele Klassen.
Die Klassen sind [mm] \IZ_2\times\IZ_2\times \IZ_5 [/mm] und [mm] \IZ_{2^2}\times\IZ_{5}. [/mm] Also bloß 2.
(Es ist ja [mm] \IZ_{10}\cong\IZ_2\times\IZ_5, [/mm] wieder nach demselben Satz.)
Gruß v. Angela
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Hallo,
danke für die rasche Antwort^^ Man muss ja nie wirklich lange warten, bis man hier Hilfe bekommt, faszinierend!
> Ich glaube, es wäre gut, wenn Du den verwendeten Satz und
> Deinen Beweis mal postest.
ok:
Zu jeder endlich erzeugten abeschen Gruppe G gibt es ein d [mm] \in \IN [/mm] und eine endliche Menge P von Primzahlen, so dass
G [mm] \cong [/mm] F [mm] \otimes \otimes_{p \in P} G_{p} ((((\otimes_{p \in P} [/mm] ist direkte Summe... gibt es so ein großes [mm] \otimes [/mm] ???))))
ist, wobei F [mm] \cong \IZ^{d} [/mm] ist und [mm] G_{p} [/mm] Untergruppe aller Elemente von G, deren Ordnung eine Potenz von p ist.
Jedes [mm] G_{p} [/mm] hat seinerseits die Form : [mm] G_{p} [/mm] isomorph zu direkte Summe (großes [mm] \otimes [/mm] ) [mm] \IZ/p^{n_j}\IZ
[/mm]
Die menge P, die Gruppen [mm] G_p, [/mm] die Zahl d und zu jedem p, die Zahlen s und [mm] n_j, [/mm] sind durch G eindeutig bestimmt.
> Da wir nicht wissen, was Du getan hast, können wir auch
> nicht wissen, ob es richtig ist bzw. was fehlt,
> und die Dir vorliegende Formulierung des Satzes wäre auch
> nützlich, um Dir bei der Anwendung auf n=20 und n=30 zu
> helfen.
>
> >
> > bei n=20 habe ich in primfaktoren zerlegt:
> > 20=2*2*5
> [mm]=2^2*5^1.[/mm]
>
> > Ich bekomme dann die klassen:
> > A/(2) [mm]\times[/mm] A/(2) [mm]\times[/mm] A/(5)
> > A/(4) [mm]\times[/mm] A/(5)
> > A/(2) [mm]\times[/mm] A/(10)
> > A/(20)
>
> Ich komme mit Deiner Schreibweise nicht zurecht. ich weiß
> nicht, was Du mit A/(...) meinst.
> Wenn es das ist, was ich mir zusammenreime, dann ist es
> falsch.
>
> Der Hauptsatz sagt doch, daß man abelsche Gruppen der
> Ordnung 20 schreiben kann als direktes Produkt von
> zyklischen Gruppen, deren Ordnungen Potenzen von 2 und 5
> sind, hier also als direktes Produkt von Gruppen
> [mm]\IZ_{2^{k_1} }und \IZ_{5^{k_2}}.[/mm]
ok, das ist klar
> In der mir vorliegenden
> Version sagt der Satz auch etwas über die Anzahl der
> Möglichkeiten.
das kann ich bei meiner version des satzes irgendwie noch nicht wirklich entdrecken.. :(
> Wenn Du mit Deinen Bezeichnungen das meinst, was ich
> vermute, dann hast Du zuviele Klassen.
>
> Die Klassen sind [mm]\IZ_2\times\IZ_2\times \IZ_5[/mm] und
> [mm]\IZ_{2^2}\times\IZ_{5}.[/mm] Also bloß 2.
> (Es ist ja [mm]\IZ_{10}\cong\IZ_2\times\IZ_5,[/mm] wieder nach
> demselben Satz.)
ok, also wenn ich das für n=30 mache:
A= [mm] \IZ_2\times\IZ_3\times \IZ_5
[/mm]
B= [mm] \IZ_6\times \IZ_5
[/mm]
[mm] C=\IZ_2\times\IZ_15
[/mm]
D= [mm] \IZ_10\times\IZ_3
[/mm]
E= [mm] \IZ_30
[/mm]
dann sind B,C,D,E doch isomrph zu A also ist A die "Lösung", habe ich das richtig verstanden??
LG
und vielen dank
pythagora
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> ok, also wenn ich das für n=30 mache:
> A= [mm]\IZ_2\times\IZ_3\times \IZ_5[/mm]
> B= [mm]\IZ_6\times \IZ_5[/mm]
>
> [mm]C=\IZ_2\times\IZ_15[/mm]
> D= [mm]\IZ_10\times\IZ_3[/mm]
> E= [mm]\IZ_30[/mm]
> dann sind B,C,D,E doch isomrph zu A also ist A die
> "Lösung", habe ich das richtig verstanden??
Ja.
Gruß v. Angela
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Hallo ich sitze auch an diesem Beweis und komme leider nicht so ganz voran.
Zz. [mm] \exists [/mm] nur endlich viele Isomorphieklassen abelscher Gruppen der Ordnung n
nun weiß ich nur nicht direkt wie ich das zeige.
Wir haben ja ein Korollar, welches sagt, dass jede endlich erzeugte abelsche Gruppe eine direkte Summe zyklischer Gruppen ist, denn soweohl [mm] \IZ [/mm] als auch die endlichen Faktorgruppen [mm] \IZ_{p^{n_{j}}} [/mm] sind ja zyklisch.
von daher habe ich mir überlegt, dass ich in dem Beweis [mm] \IZ_{n} [/mm] als abelsche Gruppe wähle.
Denn habe ich mir gedacht, dass ich eine Fallunterscheiudung vornehme.
1. Fall n=prim
Wenn n=prim ist erhält man eine abelsche Gruppe [mm] \IZ_{p} [/mm] die genau p Elemente enthält. Da p nun eine Primzahl ist und nicht weiter zerlegbar ist, erhalte ich nur die eine Gruppe [mm] \IZ_{p}.
[/mm]
Daraus folgt wenn die Ordnung einer abelschen Gruppe prim ist, gibt es nur eine Isomorphieklasse und zwar [mm] \IZ_{p} [/mm] selbst.
Der 2. Fall wäre denn ja n= keine Primzahl
dieser Fall bereitet mir noch etwas Schwierigkeiten. Mir ist bewusst, dass ich hier die Primfaktorzerlegung nutzen muss. Jedoch bereitet es mir schwierigkeiten. Dies allgemein zu formulieren, kann mir jemand einen Tipp geben wie ich das am besten tue?
und ist der erste Fall so in ordnung oder muss ich an irgendeiner Stelle noch ausführlicher werden?
LG Schmetterfee
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> Hallo ich sitze auch an diesem Beweis und komme leider
> nicht so ganz voran.
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> Zz. [mm]\exists[/mm] nur endlich viele Isomorphieklassen abelscher
> Gruppen der Ordnung n
>
> nun weiß ich nur nicht direkt wie ich das zeige.
>
> Wir haben ja ein Korollar, welches sagt, dass jede endlich
> erzeugte abelsche Gruppe eine direkte Summe zyklischer
> Gruppen ist, denn soweohl [mm]\IZ[/mm] als auch die endlichen
> Faktorgruppen [mm]\IZ_{p^{n_{j}}}[/mm] sind ja zyklisch.
>
> von daher habe ich mir überlegt, dass ich in dem Beweis
> [mm]\IZ_{n}[/mm] als abelsche Gruppe wähle.
Hallo,
es ist sicher richtig, mit dem Satz von oben bzw. Verwandten davon zu arbeiten.
Aber Du kannst als Gruppe nicht einfach [mm] \IZ_n [/mm] wählen!
Wenn Du das tust und richtig bis zum Ende treibst, dann hast Du zwar gezeigt, wie man endliche zyklische Gruppen zerlegen kann, aber Du sollst es ja viel allgemeiner, für alle endlichen abelschen Gruppen, zeigen.
Nehmen wir an, Du hast eine abelsche Gruppe G der Ordnung n.
Sie ist sicher endlich erzeugt - Du kannst also Euren Hauptsatz, den Pythagora postete, anwenden.
Überlege Dir zunächst, warum [mm] \IZ [/mm] als Summand der Zerlegung nicht vorkommen kann.
Wie es nun weitergeht, hängt davon ab, was in Eurem Skript so alles steht.
Ich will und kann das nur grob andeuten:
man kann sich überlegen, daß für [mm] G_p [/mm] nur solche Primzahlen p infrage kommen, die n teilen.
Man weiß ja aus einem anderen Satz, daß man [mm] G_p [/mm] als Sume v. zyklischen Gruppen v. Primzahlpotenz schreiben kann, und müßte nun mithilfe von vorhandenen Sätzen oder eigenen Überlegungen feststellen, daß es dafür nur endlich viele Möglichkeiten gibt.
Gruß v. Angela
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| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 11:06 So 06.06.2010 | | Autor: | Schmetterfee |
> > Hallo ich sitze auch an diesem Beweis und komme leider
> > nicht so ganz voran.
> >
> > Zz. [mm]\exists[/mm] nur endlich viele Isomorphieklassen abelscher
> > Gruppen der Ordnung n
> >
> > nun weiß ich nur nicht direkt wie ich das zeige.
> >
> > Wir haben ja ein Korollar, welches sagt, dass jede endlich
> > erzeugte abelsche Gruppe eine direkte Summe zyklischer
> > Gruppen ist, denn soweohl [mm]\IZ[/mm] als auch die endlichen
> > Faktorgruppen [mm]\IZ_{p^{n_{j}}}[/mm] sind ja zyklisch.
> >
> > von daher habe ich mir überlegt, dass ich in dem Beweis
> > [mm]\IZ_{n}[/mm] als abelsche Gruppe wähle.
>
> Hallo,
>
> es ist sicher richtig, mit dem Satz von oben bzw.
> Verwandten davon zu arbeiten.
> Aber Du kannst als Gruppe nicht einfach [mm]\IZ_n[/mm] wählen!
> Wenn Du das tust und richtig bis zum Ende treibst, dann
> hast Du zwar gezeigt, wie man endliche zyklische Gruppen
> zerlegen kann, aber Du sollst es ja viel allgemeiner, für
> alle endlichen abelschen Gruppen, zeigen.
>
> Nehmen wir an, Du hast eine abelsche Gruppe G der Ordnung
> n.
> Sie ist sicher endlich erzeugt - Du kannst also Euren
> Hauptsatz, den Pythagora postete, anwenden.
> Überlege Dir zunächst, warum [mm]\IZ[/mm] als Summand der
> Zerlegung nicht vorkommen kann.
>
> Wie es nun weitergeht, hängt davon ab, was in Eurem Skript
> so alles steht.
> Ich will und kann das nur grob andeuten:
>
> man kann sich überlegen, daß für [mm]G_p[/mm] nur solche
> Primzahlen p infrage kommen, die n teilen.
> Man weiß ja aus einem anderen Satz, daß man [mm]G_p[/mm] als Sume
> v. zyklischen Gruppen v. Primzahlpotenz schreiben kann, und
> müßte nun mithilfe von vorhandenen Sätzen oder eigenen
> Überlegungen feststellen, daß es dafür nur endlich viele
> Möglichkeiten gibt.
>
aber folgt die Endlichkeit der Möglichkeiten nicht schon daraus, dass eine Primfaktorzerlegung immer endlich ist?...
LG Schmetterfee
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> > Nehmen wir an, Du hast eine abelsche Gruppe G der Ordnung
> > n.
> > Sie ist sicher endlich erzeugt - Du kannst also Euren
> > Hauptsatz, den Pythagora postete, anwenden.
> > Überlege Dir zunächst, warum [mm]\IZ[/mm] als Summand der
> > Zerlegung nicht vorkommen kann.
> >
> > Wie es nun weitergeht, hängt davon ab, was in Eurem Skript
> > so alles steht.
> > Ich will und kann das nur grob andeuten:
> >
> > man kann sich überlegen, daß für [mm]G_p[/mm] nur solche
> > Primzahlen p infrage kommen, die n teilen.
> > Man weiß ja aus einem anderen Satz, daß man [mm]G_p[/mm] als
> Sume
> > v. zyklischen Gruppen v. Primzahlpotenz schreiben kann, und
> > müßte nun mithilfe von vorhandenen Sätzen oder eigenen
> > Überlegungen feststellen, daß es dafür nur endlich viele
> > Möglichkeiten gibt.
> >
> aber folgt die Endlichkeit der Möglichkeiten nicht schon
> daraus, dass eine Primfaktorzerlegung immer endlich
> ist?...
Hallo,
ich weiß nicht, was Du mit "Primfaktorzerlegung ist endlich" meinst...
Vielleicht führst Du Deine Idee einfach mal genauer aus, machst also wirklich vor, was wie woraus folgt.
Dann kann man nämlich entscheiden, ob's richtig oder falsch ist. So kann ich's jedenfalls nicht.
Gruß v. Angela
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