Isomorphismus < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:26 So 24.06.2007 | | Autor: | Millili |
| Aufgabe | Laut Vorlesung ist P3 (der K-VR der Polynome vom Grad kleiner oder gleich 3) ein 4 dimensionaler K vektorraum, also isomorph zum [mm] K^4.
[/mm]
Finden Sie einen Isomorphismus F: P3 [mm] \to K^4 [/mm] und weisen Sie konkret nach, dass dieser linear , injektiv und surjektiv ist. |
Hallo alle zusammen...
Das Einzige , was ich an der Aufgabe bisher verstanden habe, ist dass ich eine lineare Abbildung finden soll von P3 [mm] \to K^4, [/mm] die isomorph ist...
Aber ich weiß leider nicht wie man an eine solche Aufgabe rangehen soll...
Wäre nett wenn mir da jemand helfen könnte
Millili
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Ein paar einfache Fragen, die dir vielleicht weiterhelfen: Wie sehen die Polynome dritten Grades aus? Von welchen Parametern werden sie bestimmt? Kann ich die Parameter als Vektor schreiben (das war schon ein Wink mit dem Zaunpfahl)? Ist das eine Abbildung? Wenn ja - ist sie bijektiv? Wann ist eine Abbildung linear?
Wenn du alle Fragen beantortet hast, ist deine Aufgabe gelöst. 
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:49 So 24.06.2007 | | Autor: | Millili |
> Ein paar einfache Fragen, die dir vielleicht weiterhelfen:
> Wie sehen die Polynome dritten Grades aus?
Also die Polynome von Grad drei sehen doch so aus: [mm] ax^3+bx^2+cx+d
[/mm]
, heißt sie werden von den Parametern a, b, c, d bestimmt . Und die kann ich im [mm] K^4 [/mm] als Vektor schreiben. Könnte ich also [mm] ax^3+bx^2+cx+d \to [/mm] (a, b, c, d) also Funktion nehmen?
Also eine Abbildung ist das denke ich mal. Nur wie zeige ich, das sie injektiv und surjektiv, bzw bijektiv ist?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:32 So 24.06.2007 | | Autor: | dormant |
Hi!
Es ist eine gute Idee nach einer Abbildung zwischen den Standardbasen zu suchen. Die Standard Basis in P3 ist {1, x, [mm] x^2, x^{3}\} [/mm] und die von [mm] K^4 [/mm] kennst du ja.
Z.B. ist [mm] ax^2+c=a*e_3 [/mm] + [mm] c*e_1.
[/mm]
Gruß,
dormant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:52 So 24.06.2007 | | Autor: | Millili |
Hey, ja die Idee ist gut.
Nur ich weiß jetzt nicht genau wie ich diese Funktion quasi formuliere.
Also ich muss ja jetzt von den Polynomen auf ein 4- Tupel kommen...
Habe ich dann [mm] (ax^3+bx^2+cx+d)\to [/mm] ((1, 0, 0, 0),(0, 1, 0, 0),(o, 0, 1, 0),(0,0,0,1)
oder muss ich die Koeffizienten jeweils berücksichtigen?
Hab gerade irgendwie ein Brett vorm kopf...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:36 So 24.06.2007 | | Autor: | dormant |
Hi!
Bist auf dem richtigen Weg. Du musst natürlich die Koeffizienten berücksichtigen. Außerdem bildet diese Abbildung, so wie sie da steht, P3 in [mm] (K^4)^4 [/mm] ab :)
Gruß,
dormant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:13 So 24.06.2007 | | Autor: | Millili |
oops, stimmt, da hab ich wohl was vergessen;)
also müsste das dann nich so aussehen?:
[mm] (ax^3+bx^2+cx+d) \to [/mm] a [mm] \* \vektor{1 \\ 0 \\ 0 \\ 0} [/mm] + b [mm] \* \vektor{0 \\ 1 \\ 0 \\ 0} [/mm] +c [mm] \* \vektor{0 \\ 0 \\ 1 \\ 0}+ [/mm] d [mm] \* \vektor{1 \\ 0 \\ 0 \\ 0}
[/mm]
Also diese Abbildung wäre zumindest schonmal linear:)
Nur ( falls sie jetzt so stimmen sollte) wie zeige ich dann dass sie bijektiv ist?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:24 So 24.06.2007 | | Autor: | dormant |
Hi!
Haargenau :)
Besser sieht es aus, wenn man einfach [mm] \vektor{a \\ b \\ c \\ d} [/mm] schreibt.
Zur Bijektivität - erst zeigen sie ist surjektiv und dann sie ist injektiv.
i) du hast einen beliebigen Vektor [mm] \vektor{a \\ b \\ c \\ d}\in K^4. [/mm] Gibt es dann ein Polynom, das auf diesen Vektor abgebildet wird?
ii) wenn du zwei beliebige Polynome [mm] p_1 [/mm] und [mm] p_{2} \in [/mm] P3, gilt es, dass wenn [mm] A(p_{1})=A(p_{2}), [/mm] dann ist [mm] p_{1}=p_{2}?
[/mm]
Gruß,
dormant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:07 So 24.06.2007 | | Autor: | Millili |
zu i)
Ich bin mir ziemlich sicher, dass es zu jedem [mm] \vektor{a \\ b \\ c \\d}
[/mm]
ein Polynom gibt, dass darauf abgebildet wird;) Das Problem ist nur, dass ich überhaupt nicht weiß, wie man das nachweist...
Genauso ist es leider bei der Injektivität.
Da hatte ich überlegt , man könnte z.b. ein Polynom p2 [mm] (bx^2+cx^+c) [/mm] nehmen und ein Polynom p3 mit [mm] (ax^3+bx^2+cx+d)
[/mm]
Also p1 [mm] \not= [/mm] p2 und annehmen , dass
p1 [mm] \not= [/mm] p2
A(p1)=A(p2) ist
Dem ist ja nicht so, also muss , wenn A(p1)=A(p2) gilt, auch p1=p2 sein...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:46 So 24.06.2007 | | Autor: | dormant |
Hi!
> zu i)
>
> Ich bin mir ziemlich sicher, dass es zu jedem [mm]\vektor{a \\ b \\ c \\d}[/mm]
>
> ein Polynom gibt, dass darauf abgebildet wird;) Das Problem
> ist nur, dass ich überhaupt nicht weiß, wie man das
> nachweist...
Gib einfach an, welches Polynom diesem Vektor entspricht.
> Genauso ist es leider bei der Injektivität.
> Da hatte ich überlegt , man könnte z.b. ein Polynom p2
> [mm](bx^2+cx^+c)[/mm] nehmen und ein Polynom p3 mit
> [mm](ax^3+bx^2+cx+d)[/mm]
> Also p1 [mm]\not=[/mm] p2 und annehmen , dass
> p1 [mm]\not=[/mm] p2
> A(p1)=A(p2) ist
> Dem ist ja nicht so, also muss , wenn A(p1)=A(p2) gilt,
> auch p1=p2 sein...
Das ist ein sehr heikler Widerspruchsbeweis. Geh davon aus, dass A(p1)=A(p2), etwas A(p1)=(0 0 c d)=A(p2), dann muss p1=cx+d=p2.
Gruß,
dormant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:10 So 24.06.2007 | | Autor: | Millili |
> Gib einfach an, welches Polynom diesem Vektor entspricht.
Das Polynom , dass dem vektor [mm] \vektor{a \\ b \\ c\\ d}
[/mm]
entspricht ist [mm] ax^3+bx2+cx+d....
[/mm]
Achso, damit hab ich ja quasi schon gezeigt, dass jeder Vekor aus dem [mm] K^4 [/mm] als Funktionswert vorkommt, oder?
>
> Das ist ein sehr heikler Widerspruchsbeweis. Geh davon aus,
> dass A(p1)=A(p2), etwas A(p1)=(0 0 c d)=A(p2), dann muss
> p1=cx+d=p2.
Gut, dem gibt es ja kaum noch etwas hinzuzufügen;)
Danke, Millili
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(Antwort) fertig | | Datum: | 02:07 Mo 25.06.2007 | | Autor: | dormant |
Hi!
> Achso, damit hab ich ja quasi schon gezeigt, dass jeder
> Vekor aus dem [mm]K^4[/mm] als Funktionswert vorkommt, oder?
Ja, genau.
Gruß,
dormant
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